Поведение спиновых коэффициентов при конформном изменении масштаба

Приведем формулы, описывающие преобразование спиновых коэффициентов при конформном изменении масштаба. Сначала выпишем преобразования спиновых коэффициентов (4.5.21) при растяжении диады общего вида

что означает также

Для удобства введем обозначение

так что [формула (5.6.14)]

Тогда, применяя (5.6.15) к определениям (4.5.21) и вводя обозначение находим

Особый интерес представляют четыре частных случая формулы (5.6.21)

в которых соотношение (5.6.25) имеет следующий вид:

Простота случаев I и II довольно обманчива, так как условие нормировки оказывается неинвариантным (т. е. преобразования изменения масштаба нельзя применять к спинопым системам отсчета). В случаях III и IV можно положить и тогда два средних столбца спиновых коэффициентов становятся противоположными по знаку [формула (4.5.29)]. Заметим, что «очевидный» выбор III, сохраняющий нормировку, приводит к несколько более сложным формулам, чем асимметричный выбор IV. Последний представляет больший интерес и удобен, например, при анализе асимптотического поведения гравитационного и других безмассовых полей (гл. 9, § 7). Можно также отметить, что случай обратного выбора IV описывается формулами (5.6.27) IV с заменой всех штрихованных величин нештрихованными и наоборот (при ).

Заметим [на основании соотношения (5.6.25)], что при любом выборе преобразований

Величины , а суть конформные плотности веса соответственно,

а также

Величина и мнимые части величин являются конформными плотностями веса, соответственно,

и, кроме того, при определенных масштабных преобразованиях некоторым из величин также могут быть приданы подобные свойства.