5. Поля в пространстве-времени

§ 1. Электромагнитное поле и обобщенный оператор производной

Гравитационное и электромагнитное поля имеют много общего. Это особенно ясно обнаруживается в спинорной формулировке, в которой каждое из этих полей представляется симметричным спинором: спинором в электромагнитном случае [формула 3.4.20)] и спинором в гравитационном [формула (4.6.41)]. Как будет видно далее, «полевые уравнения без источников» [под которыми в гравитационном случае мы подразумеваем уравнения (4.10.9), а не вакуумные уравнения Эйнштейна (4.10.10)] почти одинаковы в обоих случаях. Эта аналогия продолжается и далее в том, что в обоих случаях все полевые величины могут быть выражены через коммутатор производных. В гравитационном случае это — ковариантные производные [формулы (4.2.30) и (4.2.24), (4.9.15), (4.9.16)]. Чтобы представить электромагнитное поле таким же образом, необходимо изменить определение ковариантной производной. В квантовой теории в плоском пространстве-времени это обычно осуществляется добавлением к обычной производной, которую мы временно обозначим через да, 4-вектора электромагнитного потенциала с коэффициентом , где — заряд поля, на которое действует производная. Таким образом, действие обобщенной ковариантной производной

зависит от заряда, и потому нужно указать заряд каждого из полей системы.

В квантовой теории заряженная частица описывается волновой функцией, которая и есть заряженное поле. (Например, дираковское поле электрона есть пара заряженных спин-векторов, имеющих одинаковый заряд, см. формулу (4.4.66) и работу [35].) Взаимодействие этих заряженных полей с максвелловским полем вводится путем замены оператора да в соответствующих полевых уравнениях оператором (5.1.1).

Теперь нетрудно показать, что максвелловское поле представляющее собой ротор потенциала получается в

результате действия коммутатора на поле с зарядом

Поскольку мы хотим рассматривать электромагнитное и гравитационное поля совместно, вводимые операторы должны действовать в искривленном пространстве-времени. Следовательно, нужно заменить оператор в формуле (5.1.1) оператором обычной («элементарной») ковариантной производной [в результате чего в правой части равенства (5.1.1) появятся члены, зависящие от тензора кривизны, см. формулу (5.1.34) ниже].

Но в выражение (5.1.1) явно входит потенциал, а именно этого мы хотим избежать, так как значению потенциала в какой-либо точке нельзя приписать физического смысла. Это аналогично тому, что символы связности Гаьс не имеют прямого физического смысла в теории гравитации. Подобно ситуации с элементарной ковариантной производной, которая может быть введена путем добавления Г-членов к частной производной и последующего исключения операторов как не являющихся необходимыми в теории, в случае заряженных полей ковариантная производная действующая на заряженные поля, может служить лишь исходным объектом, но в последующем развитии теории должна быть исключена как калибровочно-зависимая величина, не имеющая физического смысла. В обоих случаях физически существенным объектом, который задают эти величины, является некий оператор, который мы в общем случае будем обозначать символом Наша цель, как и в случае элементарной ковариантной производной, построить такой аппарат, в котором все величины имели бы ясный физический или геометрический смысл. Поэтому в данной главе мы будем рассматривать свойства оператора общего вида с формально алгебраической точки зрения, как это мы делали в гл. 4, § 2 для чисто гравитационного случая. В соответствии с этим мы будем избегать использования электромагнитных потенциалов и оператора да. (Хотя так же, как и величины Г и производные их можно ввести при желании для большего удобства.) Свойствами оператора задаваемыми аксиоматически, определяются свойства тензора в соотношении (5.1.2) (обобщенного на случай искривленного пространства-времени), точно так же, как свойствами элементарной коварйантной производной определяются свойства тензора кривизны [формула (4.2.31)]. Эти свойства тензора позволяют отождествить его с тензором максвелловского поля.