§ 7. Безмассовые поля

Обратимся к рассмотрению важного класса спинорных уравнений, являющихся конформно-инвариантными: уравнениям для безмассовых свободных полей со спином , где — положительное целое число. Пусть спинор имеет индексов и симметричен:

Тогда уравнение для безмассового свободного поля со спином запишется в виде

Комплексно-сопряженное уравнение индексов)

также описывает безмассовое свободное поле со спином Если этими полями представляются волновые функции квантовых частиц в пространстве М, то обычно налагается условие положительной частотности, состоящее в требовании, чтобы в их фурье-разложениях присутствовали только члены вида где — вектор, направленный в будущее, а — координаты точки (см. также гл. 6, § 10). Тогда решения (5.7.2) описывают левополяризованные безмассовые частицы (спиральность а решения (5.7.3) — правополяризованные (спиральность ) [45, 66, 67, 137, 146].

Напомним, что тождества Бианки имеют именно такую форму в пустом пространстве, причем роль поля играет поле [формула (4.10.9)]. Поэтому их можно рассматривать как «полевые уравнения со спином 2 в искривленном пространстве-времени»; их тесная связь с уравнениями Эйнштейна уже отмечалась [см. замечание после формулы (4.10.10)]. Уравнения Максвелла без источников (5.1.57) тоже имеют такой вид, причем роль поля (спин 1) играет поле Уравнение Дирака — Вейля для нейтрино (4.4.61) также попадает в эту категорию, причем (спин 1/2), а именно

Спин 2: Гравитационные возмущения

Уравнение (5.7.2) в случае спина 2 представляет интерес и в пространстве Минковского М [67] как спинорный вариант «калибровочно-инвариантной» формы вакуумных уравнений Эйнштейна в пределе слабого поля [т. е. линеаризованной эйнштейновской теории, называемой иногда быстрым приближением («fast approximation»)]. Представим себе гладкое однопараметрическое семейство пространств-времен, удовлетворяющих вакуумным уравнениям Эйнштейна, такое, что значению параметра соответствует пространство при всяком фиксированном значении и мы имеем спинорное поле на таком многообразии, удовлетворяющее уравнению Поскольку это поле гладко стремится к нулю при можно ожидать, что величина имеет предел Фавсо при т. е. в пространстве Минковского, где эта величина удовлетворяет уравнению (5.7.2) для плоского пространства-времени. Такую процедуру действительно можно провести, но обычно линеаризованную теорию Эйнштейна формулируют, рассматривая действительное симметричное тензорное поле («потенциалов») на М, описывающее отклонение первого порядка метрики пространства-времени от плоской метрики

предположению есть метрика плоского пространства-времени). Вычисление кривизны (в первом порядке по и) приводит к следующему результату:

где — оператор производной в плоском пространстве-времени, обладающий свойством коммутативности.

Очевидно, что кривизна обладает симметриями тензора Римана

и уравнения Эйнштейна (4.6.30) принимают вид

где — линеаризованный тензор энергии-импульса . В отсутствие источников величина удовлетворяет уравнению

а потому совпадает с тензором Вейля в первом порядке и может быть представлена в виде [формула (4.6.41)]

где есть полностью симметричный спинор. Очевидным образом теизор удовлетворяет тождествам Бианки

которые в случае (5.7.7) эквивалентны [формула (4.10.9)] уравнению

Следовательно, если флвсо рассматривается как безмассовое поле, то полевые уравнения (5.7.10) соответствуют тождествам Бианки для тензора а его симметрия выражается соотношениями (5.7.5) и (5.7.7), включающими уравнения Эйнштейна. С физической точки зрения поле флвсй имеет более важное значение, нежели поскольку величины определены с точностью до «калибровочных преобразований». Последние индуцируются «бесконечно малыми преобразованиями координат» и имеют вид

Но тензор Каьсч инвариантен относительно таких преобразований, и то же самое относится к тензору флвсо. Можно считать уравнение (5.7.10) калибровочно-инвариантным уравнением для слабого гравитационного поля. Тензорный вариант этого уравнения с учетом свойств симметрии тензора флвсо представляет собой систему уравнений (5.7.5), (5.7.7) и (5.7.9).

Действительно, условие (5.7.9) [а в отсутствие источников условие (5.7.10)] является достаточным для того, чтобы тензор вида (5.7.8) можно было выразить в форме (5.7.4) через некоторый симметричный тензор Кроме того, для пустых областей вне области локализации источников достаточность условия (5.7.10) является глобальной, если только обращается в нуль некоторый набор из 10 интегралов [160, 181] (см. также гл. 6, § 4).

Независимо от того, имеются ли источники гравитационного поля, всегда выполняется соотношение

что с учетом равенства (5.7.4) дает соотношение между и флвсо.

При наличии источников, описываемых тензором энергии-импульса в пределе слабого поля, обобщение уравнения (5.7.10) имеет вид [формула (4.10.12)]

Полевое уравнение, которому удовлетворяет тензор может быть записано в виде

где

[формула оно сводится к виду

при выполнении калибровочного условия де Дондера

В этой калибровке в отсутствие источников можно опустить в формуле (5.7.12) скобки, обозначающие симметризацию (

поскольку симметрия по и следует из равенства симметрия по следует в вакуумном случае из равенства при наличии же источников можно написать

Как будет видно из дальнейшего, конформная инвариантность линеаризованной теории слабого гравитационного поля в отсутствие источников [т. е. формула (5.7.10)] наиболее очевидна при ее формулировке с использованием поля флвсо. Одиако это нетрудно, разумеется, показать и рассматривая поле

Важное обобщение формулы (5.7.4), относящейся к плоскому пространству, можно получить, рассматривая возмущения некоторого неплоского пространства-времени в предположении, что как так и возмущение удовлетворяют вакуумным уравнениям Эйнштейна. Тогда мы будем иметь некоторое фиксированное ненулевое поле Рдвсо фона и некоторое переменное поле флвсв, описывающее возмущения. Однако поле флвсо не будет «калибровочно-инвариантным» в том смысле, что если поле из которого оно получается, претерпевает преобразование (5.7.11), то поле флвсо, вообще говоря, будет изменяться. Не вдаваясь в детали, можно сказать, что это связано с неопределенностью в том, какая точка пространства-времени соответствует той или иной точке в возмущенном пространстве. Поскольку тензор Флвсо описывает разность возмущенной кривизны и ноля Рлвсв, эта неопределенность будет сказываться на получающемся значении флвсо во всех случаях, когда Кроме того, уравнение для свободного безмассового поля (5.7.10) в общем случае не выполняется. Для описания возмущений необходимо использовать в явном виде потенциалы -Тогда (вакуумные) полевые уравнения будут иметь вид

где величины определены с точностью до калибровочных преобразований (5.7.11), и вместо (5.7.12) и (5.7.10) мы будем иметь, соответственно,

и также

Под действием преобразования (5.7.11) поле Фавсо изменяется так:

(Эти соотношения заимствованы из работы [37].)