§ 11. Начальные данные на световом конусе

В § 10 были описаны основные. известные физические поля, включая гравитационное, в форме точных систем полей. Взаимодействия между полями могут описываться либо «полевыми уравнениями», такими, как (5.10.15), (5.10.17) и (5.10.25), либо «перестановочными соотношениями» для операторов [формулы (5.1.44) и (5.1.45)] (при таком подходе тождества Бианки считаются уравнениями поля). Формализм в целом удобнее строить, пользуясь полевыми величинами, а не потенциалами, зависящими от выбора калибровки. Тогда потенциал электромагнитного поля может вообще нигде не фигурировать в явной форме, как и гравитационные потенциалы (т. е. выражения для в заданном координатном базисе). В настоящем параграфе такая «геометрическая точка зрения» развивается дальше. Если все производные (5.10.3) в некоторой задайной точке О известны, то, предположив аналитичность всех интересующих нас величин, мы можем двигаться от одного события к другому и вычислять поля (5.10.1) и их производные (5.10.3) в любой точке (событии) пространства-времени, пользуясь степенными разложениями («теоремой Тейлора»). Это дает возможность исследовать пространство-время способом, который по крайней мере в принципе полностью независим от выбора координат. Правда, это, вообще говоря, не очень удобно на практике, но возможно, что усовершенствования технической стороны метода приведут к упрощениям.

В то же время данный метод приводит к важному заключению относительно условий, налагаемых на точные системы полей, и именно на этом мы и хотим здесь остановиться. Оказывается, что, как производные (5.10.3) позволяют «перемещаться» по пространству-времени, так и симметризованные производные (5.10.2) дают возможность «перемещать» по световому конусу с вершиной в событии О ту компоненту каждого поля, которая связана с изотропным направлением на конусе [136]. Условие точности системы полей означает, что для всякого поля эта компонента может быть задана произвольно на световом конусе с вершиной в точке О, тогда как условие говорит о что, зная эту функцию, мы можем вычислить поля всюду в

пространстве-времени. Таким образом, мы приходим к формулировке начальной задачи, в которой начальные данные произвольны (т. е. не содержат связей) на световом конусе. Здесь будет рассмотрен лишь простейший случай, когда все величины обладают необходимыми аналитическими свойствами. Результат, вероятно, имеет и более широкую область применимости, однако его доказательство в отсутствие предположения об аналитичности гораздо сложнее. При этом возникают вопросы об областях причинной связи, соотношениях когерентности, устойчивости и т. д., которые не удается решить развиваемыми здесь методами. Полное исследование увело бы нас слишком далеко от наших ближайших целей, тогда как сравнительно простого доказательства, основанного на аналитичности, вполне достаточно, чтобы проиллюстрировать важную роль понятия точной системы полей.

«Ряд Тейлора» на многообразии M

Будем предполагать, что пространство-время представляет собой аналитическое многообразие с аналитической метрикой Оператор также должен быть аналитичным (т. е.„ действуя на аналитическую функцию, давать снова аналитическую функцию). Разумеется, если представляет собой обычную производную Кристоффеля, то его аналитичность автоматически следует из аналитичности метрики Здесь мы будем предполагать также существование электромагнитных полей, включая их в определение оператора применительно к заряженным полям. Тогда требование аналитичности оператора означает, что электромагнитное поле (как и гравитационное) должно описываться аналитическими функциями. Других взаимодействий, кроме электромагнитного и гравитационного, здесь мы предполагать не будем (хотя включение полей Янга—Миллса не сильно усложнило бы рассуждения). Для простоты будем также предполагать кручение отсутствующим. Кручение неявно повлияло бы на определение геодезических в и мы предпочитаем не рассматривать здесь этого усложнения.

Пусть у — гладкая кривая в и пусть — касательный вектор, заданный в каждой точке кривой у. Предположим, что для некоторого поля выполняется условие

в каждой точке кривой у. Тогда будем говорить, что поле постоянно вдоль кривой у (по отношению к оператору и записывать

для двух точек Р и лежащих на кривой у. Если коммутаторы операторов V отличны от нуля, то определение (5.11.2) понятия «равенства» будет, вообще говоря, зависеть от выбора кривой у, соединяющей интересующие нас точки, [Если у — замкнутая кривая, начинающаяся и оканчивающаяся в одной точке , то запись (5.11.2), вообще говоря, не означает, что начальное и конечное поля в точке Р равны в обычном смысле слова. В случае бесконечно малой петли их различие непосредственно определяется коммутатором операторов V.]

Если само векторное поле может быть выбрано постоянным вдоль кривой т. е.

то у — геодезическая в Пусть — действительный параметр на геодезической у, масштаб которого выбран так, что

(Тогда — аффинный параметр на кривой величины и следует рассматривать как «незаряженные».) Фиксируем точку и пусть у — некоторая геодезическая, проходящая через точку О, причем в этой точке. Тогда можно задать положение некоторой точки X многообразия по отношению к точке О вектором

где — значение параметра в точке X. [Из равенств (5.11.3) и (5.11.4) сразу видно, что (5.11.5) не зависит от нормировки вектора Если то величина должна быть постоянной вдоль у, чтобы сохранялось равенство (5.11.3), а значит Следовательно, мы можем сказать, что — вектор положения точки X относительно точки О. Если у пробегает всевозможные геодезические, проходящие через О, то компоненты вектора по отношению к некоторому базису, выбранному в точке О, задают систему нормальных координат с началом в точке О. Это означает, что направление есть направление геодезической у, проведенной из точки О в точку X, а его длина (или «протяженность», если — изотропный вектор) равна длине отрезка у от О до X. [Это прямо следует из формул

Пусть поле аналитично в точке О; тогда для некоторой точки X, не слишком удаленной от О и лежащей на

геодезической будем иметь

Чтобы в этом убедиться [175], заметим, что если — параметр, ассоциируемый с бегущей точкой X между О и X на у, то величина

вычисленная в точке X, будет постоянна вдоль кривой у в силу условий (5.11.1), (5.11.3) и (5.11.4) (здесь у — постоянная величина, а удовлетворяет условию Равномерная сходимость разложения (5.11.7) в случае точек X, достаточно близких к точке О, неявно заложена в предполагаемых аналитических свойствах используемых величин, но мы здесь не будем вникать в этот вопрос. При мы получаем соответственно правую и левую части равенства (5.11.6).