§ 15. Сферические гармоники со спиновым весом

В качестве важного приложения изложенной теории 2-поверхностей рассмотрим случай, когда поверхность есть обычная 2-сфера в пространстве Минковского М. Покажем, как на основе полученных результатов строится теория сферических гармоник со спиновым весом. В дальнейшем будем полагать, что нормированный спинорный базис [формула (4.14.5)]. Пусть точка будет центром сферы Ф, а — направленный в будущее времениподобный единичный вектор (постоянный в М), который ортогонален гпрстранственноподобной 3-плоскости, содержащей 2-сферу Пусть — точка общего положения в компоненты вектора направленного в эту точку. Представим как пересечение светового конуса будущего (вершина ) со световым конусом прошлого (вершина N), рис. 4.4. Поскольку элемент в ортогонален образующим световых конусов наш спинорный базис определяется выражениями

где — величина типа а и — величина типа Считая радиус сферы равным получаем из равенства

соотношения

так как времениподобные расстояния и оба должны быть равны радиусу Из равенства (4.15.2) имеем

откуда

Поскольку свертка равенства (4.15.2) с Та дает

а свертка его с дает

Следовательно

Рис. 4.4. Обычная сфера в пространстве Минковского может быть представлена в виде пересечения двух световых конусов . [Геометрия для формулы (4.15.2).]

и аналогично

Использование как «координат» на

Рассмотрим теперь величину типа на , обозначенную через (где — «собирательный» индекс). Можно принять новую точку зрения и считать функцией комплексносопряженных спиноров (рассматриваемых как вспомогательные «координаты» на 9). Используя цепное правило, получаем из формул (4.15.2), (4.15.4), (4.15.7) и (2.5.54) для операторов, действующих на выражение

[Смысл частных производных по абстрактным индексам здесь очевиден (см. с. 188): при необходимости всегда можно отнести компоненты к постоянной спиновой системе отсчета — такая система отсчета будет рассмотрена в конце данного параграфа и вернуться к обозначениям с абстрактными индексами.]

Если же есть величина типа , где и — неположительные целые числа, то

есть величина типа и к ней применима формула (4.15.8). Записывая в (4.15.8) как и используя (4.12.28), получаем

Подставляя [формула (2.5.54)] в это соотношение, находим из него

Следовательно, при действии на этот оператор сводится к виду

Требуя, чтобы для выполнялось правило Лейбница, легко получаем, что соотношение (4.15.10) применимо к любой величине типа на , где — произвольные целые или даже дробные числа. (В отсутствие специальных оговорок будем считать и целыми или полуцелыми.) Выражение, комплексносопряженное с выражением (4.15.10), имеет вид

Любая величина типа на может быть представлена либо как функция спиноров о либо как функция спиноров причем связь между двумя представлениями получается из (4.15.6), (4.15.7) и (4.15.4). Повторяя предыдущие рассуждения с заменой о о на получаем

Мы можем убедиться в справедливости этих соотношений с помощью (4.14.20) и (4.14.21). Замечая, что слагаемые , входящие в кривизну 4-пространства, равны нулю, получаем

[с учетом формулы (4.15.3)]; следовательно, гауссова кривизна поверхности равна как это и должно быть в случае обычной сферы радиусом

Каждое из соотношений (4.15.10), (4.15.11) и (4.15.13) может быть записано в компонентах, что дает

В частности, отметим, что операторы, входящие в (4.15.17), есть эйлеровы однородные операторы. Таким образом, имеем:

Если — величина типа то она будет однородной функцией переменных о о соответственно степени и а также однородной функцией переменных соответственно степени