Спин-вектор

Чтобы уяснить себе переход от флага к спин-вектору, мы должны вникнуть в природу знаконеопределенности в представлении изотропного флага парой . С этой целью рассмотрим действие на изотропный флаг преобразований вида

где X — некоторое отличное от нуля комплексное число. Такие преобразования оставляют направление флагштока инвариантным, но могут изменять протяженность флагштока или направление полотнища флага. Положим

где Тогда в частном случае (т. е. при действительном преобразование (1.4.21) не вносит изменения в полотнище флага, а протяженность флагштока увеличивается, лриобретая мнбжитель в то же время, если (т. е. модуль числа А, равен единице), то преобразование (1.4.21) не влияет на флагшток, но полотнище флага поворачивается на угол в положительном направлении. Проще это можно пояснить, рассмотрев две бесконечно близкие разделенные точки на Пусть Р задается координатой координатой

. В результате преобразования (1.4.21) мы имеем откуда Поскольку протяженность флагштока изменяется обратно пропроционально бесконечно малому разделению первая часть нашего утверждения доказана. Вторая же часть явствует из того, что, как мы помним, сфера получена из аргандовой плоскости в результате конформной стереографической проекции.

Рассмотрим непрерывное вращение где в изменяется от 0 до . В конце мы получаем

но флаг возвращается к своему исходному положению, причем полотнище флага поворачивается на угол (т. е. делает один полный оборот вокруг флагштока). Если продолжить вращение, так что 0 будет далее изменяться от до то мы опять получим исходную пару Таким образом, чтобы вернуть к исходному положению, необходим поворот полотнища флага на угол Это показывает, что полное локальное геометрическое представление пары в пространстве V с учетом ее глобального знака невозможно. Всякая локальная структура в пространстве Минковского V, которую мы могли бы связать с изотропным флагом, тоже будет вращаться на угол , следовательно, возвращаться к своему исходному положению при преобразовании. (1.4.23). Чтобы это было яснее, заметим сначала, что для всякой конкретной пары мы можем осуществить изменение путем спинового преобразования, соответствующего одному вращению, при котором направление флагштока является инвариантным изотропным направлением. [Для простоты можно выбрать и выполнить преобразование (1.2.31).] Поскольку в изменяется непрерывно от 0 до , спиновое преобразование тоже изменяется непрерывно (при условии, что ось вращения фиксирована) и в конце концов оказывается преобразованием —I. Соответствующие преобразования Лоренца также изменяются непрерывно, но оканчиваются тождественным преобразованием Лоренца. Таким образом, любая геометрическая структура на V возвращалась бы в результате поворота в свое первоначальное положение, несмотря на то, что пара переходит в результате поворота в пару

Коль скоро, как мы установили, полное локальное геометрическое представление в V невозможно, становится яснее, как нам быть. В основном нам нужно расширить понятие геометрий в пространстве V, так чтобы «геометрическими» можно было считать и такие величины, которые не возвращаются в свое исходное положение при повороте вокруг некоторой оси на угол но они должны возвращаться в свое исходное положение

при повороте на угол Такие величины мы будем называть спинорными объектами. Спин-вектор отличается от изотропного флага только тем, что он представляет собой спинорный объект, и всякому изотропному флагу соответствуют два и только два спин-вектора. Следующий параграф посвящен развитию этих представлений.