Другие примеры

В качестве других примеров точных систем полей можно привести «свободные» поля Янга —Миллса, удовлетворяющие уравнениям (5.5.40) и (5.5.44) для различных групп симметрии, а также поля Янга — Миллса с подходящими источниками. Они попадают в класс полей, удовлетворяющих требованиям, которыми были определены точные системы в начале данного параграфа, при условии, что янг-миллсовские индексы рассматриваются как абстрактные индексы, не участвующие в симметризациях в формуле (5.10.2). Если же вводятся базис и янг-миллсовские потенциалы, то необходимо наложить калибровочные условия, чтобы получить точную систему полей. Ситуация аналогична случаю электромагнитного поля, где также необходимо дополнительное условие типа калибровочного условия Лоренца, чтобы сделать физическим закон распространения потенциалов при калибровочно-неинвариантном способе описания.

Наконец, некоторые наборы полей, которые сами по себе не составляют точной системы, могут быть дополнены до таковой включением определенных комбинаций производных от полей в качестве новых полей. Довольно тривиальным примером может служить уравнение Фока — Фейнмана — Гелл-Манна для частицы со спином 1/2 в пространстве Минковского М [63, 69]. Это поле описывается одним двухкомпонентным спинором который в присутствии электромагнитного поля подчиняется уравнению

Само по себе (при и вместе с поле не образует точной системы. Но если добавить поле то мы вернемся к уравнению Дирака (5.10.15), так как в силу формулы (5.1.43) имеем

и, следовательно, поля образуют точную систему.

В какой-то мере аналогичен этому случай уравнения Дирака (-Фирца) [45, 65], описывающего свободную частицу со спином в пространстве М, почти эквивалентного уравнению Рариты — Швингера [154] и обобщающего уравнения Даффина — Кеммера и т. д. [35]. Предположим, что электромагнитное и другие взаимодействия отсутствуют: Поле описывается двумя симметричными спинорами

валентностями, соответственно, удовлетворяющнми полевым уравнениям

Здесь, как и ранее, — масса, а спин поля равен Заметим, что симметрия обоих спиноров и уравнения (5.10.35) обеспечивают выполнение двух «дополнительных условий»

Как и ранее, мы имеем также соотношения

(поэтому параметр действительно представляет со бой массу). Мы можем, как и в случае уравнения Фока — Фейнмана-Гелл-Манна, рассматривать в качестве независимого лишь поле (например) и воспользоваться первым из соотношений (5.10.35) для нахождения Если выполнено первое из равенств (5.10.36), то мы получим с нужными свойствами симметрии; при этом второе из соотношений (5.10.35) окажется следствием первого из уравнений (5.10.37).

Два поля не образуют точной системы полей (как и одно поле . Однако нетрудно дополнить систему введением новых спиноров (каждый из которых симметричен по всем индексам), различающихся числом штрихованных и нештрихованных индексов: в естественном расположении эти спиноров образуют последовательность спиноров, каждый из которых получается из предыдущего дифференцированием со сверткой по одному индексу. Вместе эти спиноры образуют инвариантную точную систему. Например, имеем инвариантную точную систему полей удовлетворяющих уравнениям

Но если попытаться включить электромагнетизм (при или гравитацию (при ), то ситуация усложнится из-за условий совместности Фирца [67] и Бухдала [21], с которыми мы встретились в безмассовом случае [формула (5.8.2)]. В том виде, в котором они записаны, уравнения (5.10.35) несовместны с уравнением (5.1.43) (при ) и с уравнением (4.9.13) (при

). Рассмотренные рядом авторов уравнения, модифицированные с целью устранения противоречий, выходят за рамки нашей книги, и мы отсылаем читателя к литературе, цитированной здесь и в § 8.