§ 5. Дифференцирование спинорных компонент
В § 4 мы дали абстрактное определение операции ковариантного дифференцирования спинора, не зависящее от выбора базиса. Теперь мы изучим действие соответствующего оператора на компоненты спинора. Явные выражения, которые мы получим, можно будет использовать для альтернативного доказательства существования оператора 
, действующего на спиноры и удовлетворяющего свойствам (4.4.7) - (4.4.20). В дальнейшем всюду (кроме § 7) оператор 
считается симметричным.
Пусть 
есть спинорная диада (не обязательно нормированная), а 
— ей дуальная. Введем также комплексносопряженный базис 
и дуальный ему базис 
Пусть 
имеет компоненты 
используя обозначения
запишем компоненты величины 
в виде
где
поскольку елвесл 
совпадает с дельта-символом Кронекера имеем 
Заметим, что
Отнесем 
к спиновой системе отсчета, т. е. положим 
так что
в этом случае мы имеем симметрию
поскольку
(Напомним, что спинорные индексы можно поднимать и опускать независимо от действия оператора V.) В этом случае величины 
образуют 12 независимых комплексных шсел в каждой точке. Они называются спиновыми, коэффициентами и
находят широкое приложение в практических вычислениях [25, 26, 30, 103, 123, 126, 129].
Если не предполагается нормировка (4.5.4), то симметрия (4.5.5) нарушается и мы имеем 16 независимых комплексных чисел 
в каждой точке. Иногда полезно сохранить такой произвол в выборе базиса, и, поскольку конечные формулы в этом случае не намного сложнее, мы будем чаще всего записывать уравнения в этом более общем виде. За величинами 
сохраняется название «спиновые коэффициенты». Полагая
мы имеем аналогично формуле (2.5.45)
вместо (4.5.4), где базис, дуальный к 
имеет вид 
как в формуле (2.5.50). Повторяя вычисления (4.5.5) с (4.5.7) вместо (4.5.4), получаем
т. е.
Эквивалентно
Важно отметить, что, хотя в спиновой системе отсчета (т. е. при 
операция поднятия и опускания индексов коммутирует с дифференцированием, в общем случае 
это не так. Например,
Далее, взяв ковариантный спин-вектор 
находим компоненты величины
путем вычислений, аналогичных выкладкам (4.5.1). Выполняя комплексное сопряжение в (4.5.1) и (4.5 12), получаем
соответствующие формулы для штрихованных спин-векторов 
Для спинора общего вида имеем
Эта формула проверяется непосредственно вычислением компонент в разложении величины 
