§ 3. Базисы

В данном параграфе нас будут интересовать следствия, к которым приводит введение базиса в модуль Пока что на протяжении второй главы мы воздерживались от какого бы то ни было использования базисов. Отчасти это было сделано с тем, чтобы подчеркнуть, что изложение тензорной алгебры совершенно не нуждается во введении координат (несмотря на наличие индексов). Но, кроме того, это придает изложенному значительно большую общность (хотя бы в смысле формы), чем была бы, предположи мы существование конечного базиса, поскольку существует много вполне рефлексивных модулей, для которых базисы отсутствуют.

Конечный базис в есть некий набор элементов таких, что любой элемент имеет однозначное разложение

Скаляры называются компонентами элемента в этом базисе. Если модуль обладает конечным базисом, то всякий другой базис в должен иметь то же самое число своих элементов. Данное утверждение вытекает из того, что существование -элементного базиса в означает, что а содержит некоторый ненулевой антисимметричный элемент, тогда как содержит только нулевой антисимметричный элемент. (Мы пользуемся определением модуля типа I, и нам не нужно делать предположение, что этот модуль вполне рефлексивен.) Это может послужить для

определения независимо от базиса. Для доказательства данного свойства рассмотрим антисимметричный [Это означает, что меняет знак при перемене местами любых двух индексов (гл. 3 § 3).] Тогда

для произвольного поскольку перемена местами немых индексов изменяет знак. Рассмотрим полилинейное отображение, задаваемое произведением

Разлагая каждое из По базису (2.3.1) и перемножая их, мы видим, что каждый член содержит по крайней мере один повторяющийся базисный элемент и поэтому в силу (2.3.2) равен нулю. Таким образом, . В то же время мы можем определить ненулевой антисимметричный элемент (альтернирующий тензор) соотношением

где — компоненты элемента в базисе

Ясно, что это приводит к требуемому антисимметричному полилинейному отображению. Отметим также, что ибо если то результатом отображения будет единичный скаляр. Целое число мы называем размерностью -модуля

Если набор касательных векторов в одной точке многообразия, то представляет собой конечномерное векторное пространство (касательное пространство в рассматриваемой точке) и базис существует. Но когда под понимаются непрерывные векторные поля на -мерном многообразии, базис зачастую не существует. Происходит это потому, что базис теперь означает набор векторных полей, линейно независимых в каждой точке многообразия. Ясно, что в простом случае обычной

сферической 2-поверхности () такой базис построить невозможно. По хорошо известной теореме о неподвижной точке каждое из двух векторных полей на поверхности должно обращаться в некоторой точке в нуль, так что два соответствующих вектора должны там стать линейно зависимыми. То -многообразие, которое действительно обладает векторными полями, линейно независимыми в каждой точке, называется параллелизуемым. Таким образом, модуль касательных векторных полей обладает базисом в том и только в том случае, когда многообразие параллелизуемо. Как было отмечено в гл. 1, в конце § 5, 3-сфера () является (возможно, несколько неожиданно) параллелизуемой, а 4-сфера () таковой не является. (Более того, оказывается, что всякое ориентируемое 3-многообразие должно быть параллелизуемым, тогда как многие ориентируемые 4-многообразия не являются параллелизуемыми.) В силу (1.5.6.) все модели пространства-времени, глобально обладающего тем типом спинорной структуры, о котором идет здесь речь, и являющегося к тому же некомпактным (это требование существенно с физической точки зрения, поскольку компактные модели пространства-времени содержат замкнутые времениподобные кривые), параллелизуемы [76]. Таким образом, если есть модуль векторных полей на пространстве-времени, то имеются физические основания полагать, что имеет базис (в данном случае Более того, проводя в применении к модулю спин-векторных полей на пространстве-времени те же самые рассуждения [формула (1.5.6)], мы приходим к выводу, что существует и глобальный спинорный базис (здесь ).

Таким образом, глобальное существование базиса в тех случаях, которые представляют для нас сейчас интерес, может рассматриваться как разумное физическое требование.

Даже если нас интересуют многообразия, не являющиеся параллелизуемыми, то рассуждение о базисах будет небесполезным, поскольку оно может быть проведено локально (т. е. в некоторой координатной карте). Конечно, следует быть осторожными с выводами о глобальной природе, полученными на основе таких рассуждений. В § 4 мы увидим, что независимо от того, является или не является многообразие параллелизуемым (но при условии паракомпактности, являющемся излишним предположением в случае пространства-времени [76, 97]) модуль -векторных полей над -скалярными полями все же вполне рефлексивен.