Тензорная запись спинорных дифференциальных уравнений

В заключение данного параграфа мы еще раз вернемся к тому, что говорилось в гл. 3, § 4 о переходе к тензорной форме записи алгебраических спинорных операторов. Теперь мы можем рассмотреть вопрос о преобразовании производных от спиноров, а следовательно, спинорных дифференциальных уравнений. (Решение обратной задачи — преобразования тензорных производных и дифференциальных уравнений к спинорному виду — не представляет труда.) Мы покажем, что в принципе всякое спинорное дифференциальное уравнение чимеет эквивалентную тензорную форму (которая, правда, может быть очень сложной), определяемую с точностью до знака. Поскольку тензорные уравнения часто содержат квадраты соответствующих спиноров, может случиться, что в многосвязных областях

пространства-времени существуют глобальные решения тензорных уравнений и в то же время не существует непротиворечивого способа фиксировать знак в решениях спинорных уравнений. Поэтому тензорные и спинорные уравнения могут быть эквивалентными локально, но неэквивалентными глобально.

Наиболее естественно спинорные дифференциальные уравнения возникают в квантовой теории. Основываясь на теории представлений групп, требованиях лоренцевой инвариантности и принципе суперпозиции, полагают, что основные уравнения для свободных частиц должны быть линейными спинорными уравнениями. Однако в тензорной форме они часто принимают нелинейный вид. Таким образом, попытка рассматривать тензорные уравнения и тензоры, входящие в них, как фундаментальные, противоречит стандартному линейному формализму квантовой теории. Тем не менее возможность перехода от спиноров к тензорам в дифференциальных уравнениях — полезный теоретический результат.

Прежде чем рассматривать общую методику перехода, мы остановимся на двух важных примерах — уравнении Дирака — Вейля для нейтрино и уравнении Дирака для электрона. Предварительно мы докажем две леммы, справедливые для произвольного спинора Первая есть тождество

которое сразу же доказывается разложением первого слагаемого в левой части и заменой второго величиной Вторая лемма формулируется следующим образом: если есть антисамодуальный изотропный бивектор, соответствующий спинору

— вспомогательный вектор, такой, что

то

Доказательство вновь основано на правиле Лейбница:

Тогда уравнение Дирака — Вейля можно записать в виде [44, 48, 193]

Чтобы преобразовать его к тензорному виду, мы сначала введем еще один вспомогательный вектор

равенство нулю которого эквивалентно выполнению уравнения Дирака — Вейля, за исключением, может быть, областей, в которых (учитывая гладкость , мы продолжим на такие области по непрерывности). Далее, в тождестве (4.4.57) мы поднимем индекс В, заменим на выполняя тем самым свертку по В) затем умножим все выражение на результате получим чисто тензорное уравнение

Поскольку уравнение Дирака — Вейля эквивалентно условию мы заключаем, что оно эквивалентно тензорному уравнению

Требуется еще исключить вспомогательный вектор Для этого и была доказана вторая лемма. Таким образом, умножая (4.4.64) на и учитывая (4.4.60), мы, наконец, получаем

Разумеется, из (4.4.58) следует, что дополнительно бивектор удовлетворяет условиям

т. е. он должен быть кососимметричным, антисамодуальным к изотропным.

Система тензорных уравнений (4.4.65а) и (4.4.65б) эквивалентна уравнению Дирака — Вейля. Очевидно, что его структура гораздо сложнее структуры первоначального спинорного уравнения; в частности, оно нелинейно.

Уравнение Дирака можно записать в форме двух связанных двух компонентных спинорных уравнений [44, 95, 185]:

где — действительная константа . Заменяя А на В в первом из уравнений и умножая на мы видим, что оно эквивалентно уравнению

(всюду, кроме, может быть, областей, где Левая часть равенства (4.4.67) совпадает с вектором определенным в формуле (4.4.62). Вводя вектор

и используя (4.4.63), мы видим, что уравнение (4.4.67), а вместе с ним и первое из уравнений (4.4.66) эквивалентны уравнению

Вполне аналогично показывается, что второе из уравнений (4.4.66) эквивалентно уравнению

где связаны с так, как связаны с

Используя (4.4.60) и его -аналог, мы исключаем вспомогательные векторы из этих уравнений, получая (сложные связанные нелинейные) тензорные дифференциальные уравнения, эквивалентные уравнению Дирака:

Их, разумеется, следует дополнить двумя наборами алгебраических условий: (4.4.656) и аналогично для Бивекторы алгебраически независимы, но есть «вторичный» вектор, определяемый по с точностью до знака. Действительно,

т. е.

Рассуждения, представленные выше, заимствованы из работы [196]. Однако в этой работе окончательный результат сформулирован несколько искусственно в виде суммы (4.4.69) и уравнения, комплексно-сопряженного уравнению (4.4 70).

Далее мы кратко рассмотрим общий случай. Производные четных спиноров (четное число индексов) не вносят дополнительных трудностей (см. гл. 3, конец § 4). Производные одно-индексных спиноров, содержащие свертку по этому индексу, определяются чналогитно тому, как это сделано для уравнения Дирака — Вейля. Возможность греобразования спинорных дифференциальных уравнений, содержащих производные от нечетных спиноров, основана на использовании тождества

Чтобы преобразовать спинорное уравнение первого порядка, следует умножить его на соответствующее число нечетных спиноров. Затем нужно, используя (4.4.73), выразить продифференцированные нечетные спиноры через эквивалентные производные тензоры Окончательно переход к тензорной форме записи осуществляется помощью техники, изложенной в гл. 3, в конце § 4.

Преобразование уравнений второго порядка основано на обобщении тождества (4.4.73). Например,

и аналогично для высших порядков.