§ 14. Приложение к двумерным поверхностям

Модифицированный формализм спиновых коэффициентов, введенный в § 12, особенно полезен при изучении двумерных пространственноподобных поверхностей. Одна из причин этого в том, что любой пространственноподобный элемент 2-поверхности однозначно выделяет два изотропных направления в каждой точке, а именно направления, ортогональные элементу , но длина изотропного вектора вдоль этих направлений остается произвольной. Выбор ориентации элемента (при заданной пространственной и временной ориентации многообразия ) эквивалентен упорядочению изотропных направлений. Мы условимся выбирать направления флагштоков спиноров так, чтобы элемент принадлежал локальной -плоскости с ее обычной ориентацией. Аналогичный выбор использовался в гл. 3 [формулы (3.1.20) и (3.1.21)]. Таким образом, пространственная проекция вектора (ось времени направлена вдоль ) совпадает с положительным направлением нормали к элементу в 3-пространстве (а именно с направлением вектора , т. е. . Пространственная проекция совпадает с отрицательной нормалью к элементу в 3-пространстве (а именно с направлением т. е. ) (рис. 4.1). Нормировка спинорного базиса не играет здесь никакой роли. «Калибровочное» преобразование очевидно, оставляет ориентацию элемента 69 неизменной (хотя приводит к изменению пространственной проекции). Однако операция «штрих» приводит к обращению ориентации элемента [см. текст после формулы (4.5.17)].

Модифицированный формализм спиновых коэффициентов применйм и к изучению времениподобных 2-поверхностей. То, что любой времениподобный элемент 2-поверхности выделяет два изотропных направления, есть даже более наглядный

Рис. 4.1. Геометрическое соотношение между спиновой системой отсчета и ориентированным элементом поверхности

факт, чем в предыдущем случае: это те направления, вдоль которых элемент пересекает изотропный конус. Теперь векторы образуют базис для касательной плоскости к элементу тогда как элемент принадлежал ортогональному дополнению к этой плоскости, а соответствующий базис был образован векторами и та. Мы не станем детально рассматривать времениподобный случай, поскольку наиболее важные приложения связаны с пространственноподобными 2-поверхностями. Однако из наших формул легко получить соответствующие результаты для времениподобного случая, используя операцию «звездочка» Сакса [формулы (4.12.47) — (4.12.55)]. При этой операции пары и меняются местами. Лишь некоторые глобальные результаты для пространственноподобных 2-поверхностей (например, те, что мы получим при изучении сферических гармоник) не имеют аналогов для времениподобных поверхностей. Например, такая поверхность не может иметь топологию двумерной сферы. Из существования фиксированной пары изотропных направлений в каждой точке следует, что любая ориентированная компактная времениподобная 2-поверхность имеет топологию тора, а неориентируемая — топологию бутылки Клейна.

Одно из преимуществ модифицированного метода спиновых коэффициентов по сравнению с обычным в том, что он применим глобально к любой пространственноподобной 2-поверхности независимо от ее топологии. Если бы мы работали в рамках обычного формализма, изложенного в § 11, то мы должны были бы выбрать в каждой точке поверхности специальное касательное направление, соответствующее условию [которое в совокупности с затем фиксировало бы

Если, в частности, имеет топологию двумерной сферы, такой выбор нельзя осуществить непрерывно на всей поверхности, так как при этом возникают сингулярные точки, в которых наше описание неприменимо. (Разумеется, эта трудность присуща любому координатному описанию и методу подвижного репера, а не только методу спиновых коэффициентов.)

В модифицированном формализме не требуется фиксировать векторы та и указанная трудность не возникает. Однако проблема не столь проста. Можно думать, что хотя модифицированный формализм инвариантен относительно изменения фаз векторов , тем не менее определенный выбор должен быть сделан и, поскольку любой выбор приводит к появлению сингулярностей, проблема остается. Однако эти соображения ошибочны. Можно рассмотреть покрытие поверхности набором открытых множеств, в каждом из которых выбрано гладкое поле векторов та. Поскольку формализм инвариантен относительно преобразований, возникающих на пересечении этих множеств, он просто «не заметит» этих преобразований. Этой идее можно дать строгое математическое обоснование на языке теории расслоений (гл. 5, § 4), но здесь мы не станем заниматься подобным обоснованием. Конечно, если мы хотим иметь явное координатное представление векторов та, то, действительно, определенный выбор должен быть сделан с учетом топологии поверхности . Однако такие явные описания не являются необходимой составной частью «чистого» модифицированного формализма, поскольку они нарушают требования инвариантности. В следующем параграфе (в связи со сферическими гармониками) мы увидим примеры того, как возможность явного локального описания согласуется с глобальной применимостью общего формализма.

Особенно важную роль при изучении пространственноподобных 2-поверхностей играет коммутатор (4.12.35)

действующий на скалярную величину типа где [см. текст после формулы (4.12.9)]. Формула (4.14.1) применима в том случае, когда диада не сосредоточена на поверхности а определена в некоторой ее окрестности. С учетом предыдущих замечаний можно также

рассматривать поле элементов 2-поверхности , распределенных в окрестности поверхности Отметим, однако, что в левую часть равенства (4.14.1) входят лишь операторы действие которых определено на самой поверхности . Поэтому формула (4.14.1) относится лишь к внутренним свойствам поверхности , следовательно, результат не зависит от выбора поля диад или поля элементов в окрестности поверхности . Операторы же и V, фигурирующие в правой части равенства (4.14.1), определены в окрестности поверхности и результат их действия зависит от этого выбора. Действительно, поскольку и действуют вдоль независимых направления (которые служат базисом для только в начале координат), их коэффициенты должны независимо обращаться в нуль. Таким образом, мы имеем

Предложение

Если изотропные векторы ортогональны пространственноподобной 2-поверхности то обе величины действительны на .

[В гл. 7, формулы (7.1.48), (7.1.58), (7.1.60), мы заново выведем этот результат и обсудим его геометрический Применяя операцию «звездочка» к предыдущим формулам, мы получаем

Предложение

Если изотропные векторы касательны к времениподобной 2-поверхности , то на

Внутренние величины на P

Чтобы объяснить смысл остальных слагаемых в правой части равенства (4.14.1), мы сначала покажем, что при действии операторов на величины, бустовый вес которых равен нулю, так что

получаются две компоненты ковариантной производной на Для простоты будем предполагать, что есть спинорный базис, т. е. что

Тогда тензор

который удовлетворяет условиям

а также условию

действует как проекционный оператор на касательное пространство к поверхности в каждой ее точке, а тензор играет роль отрицательно определенного метрического тензора поверхности . Если — произвольный вектор в фиксированной точке поверхности , то

есть его проекция на , равная в том и только в том случае, когда этот вектор касателен к поверхности . Тогда ковариантная производная вектора на совпадает с проекцией вектора на т. е.

[в этом можно убедиться непосредственно, используя свойства ковариантной производной (4.2.2) и (4.2.3), равенство нулю кручения и условие (4.3.46) в применении к касательным векторам поверхности ].

Полагая, что — величины типа и замечая, что тогда из (4.12.15) следуют равенства получаем, что компоненты величины (4.14.11) по отношению к та и та равны

Векторы в (4.14.12) коммутируют с , поскольку из (4.12.28) следуют равенства

и комплексно-сопряженные равенства, тогда как

ибо вектор касателен к поверхности . Следовательно, компоненты (4.14.12) величины равны

где величины типа которые определяются равенствами

(В случае действительных имеем

Аналогично находятся компоненты производной от любой тензорной величины типа на 9

которая касательна к

Они имеют вид

где — различные компоненты тензора с по отношению к Отметим, что все величины имеют тип где принимает все положительные и отрицательные значения, по модулю не превышающие полной валентности тензора чем и доказывается утверждение (4.14.4). (См. также

Взяв величину из формулы (4.14.16), так что и действуя на нее оператором (4.14.1), получаем

где

(Поскольку теперь имеем Из равенства (4.14.19) следует

Предложение

Действительно,

а в силу формулы (4.2.30) коммутатор в правой части дает кривизну 2-пространства:

где — гауссова кривизна поверхности . Подставляя (4.14.23) в (4.14.22), получаем что и требовалось доказать. [Легко убедиться, что в случае единичной сферы см. формулу (4.15.14) ниже.]

Мы видим, что действие операторов на величины нулевого бустового веса (т. е. величины типа на поверхности выражается через величины, характеризующие внутреннюю геометрию поверхности . При этом индексы вообще не

появляются, а тензорный характер рассматриваемых величин определяется их спиновым весом

В случае двумерных поверхностей это исчисление фактически есть аналог развитого нами 2-компонентного спинорного исчисления в пространстве-времени. Как указывается в приложении к т. 2, «редуцированные спиноры» в -мерном пространстве имеют компонент. Здесь , следовательно, мы имеем однокомпонентные объекты. Таким образом, «нештрихованный» -компонентный спинор на есть скаляр типа тогда как «штрихованный» однокомпонентный спинор на есть скаляр типа Тензоры высшей валентности (т. е. с большими спиновыми весами) получаются как произведения таких базисных «спиноров». [В гл. 6 и гл. 9, § 3 и 4, в связи с теорией твисторов мы увидим, что представляет интерес также теория четырехкомпонентных «редуцированных спиноров» в шестимерном пространстве