Положение твердого тела вполне определяется положением какой-нибудь плоскости его сечения, и то же верно относительно перемещений твердого тела, которые. параллельны фиксированной плоскости; их можно исследовать, рассматривая перемещения пластинки в своей плоскости.
Такое перемещение можно описать, указав, что две точки пластинки, занимавшие первоначально положения $A$ и $B$, переместились в положения $A^{\prime}$ и $B^{\prime}$.
Это перемещение можно разбить на два последовательных: I) поступательное церемещение точки из $A$ в точку $A^{\prime}$ и II) вращение вокруг $A^{\prime}$.
Можно также начать с вращения, а затем произвести поступательное перемещение.
Чтобы описать перемещения в плоскости, удобно использовать комплексные числа ( $z=x+$ iy). Перенос, представленный комплексным числом $t$, равносилен преобразованию $z^{\prime}=z+t$. Вращение на угол $\vartheta$ вокруг точки $c$ означает преобразование
\[
z^{\prime}-c=(z-c) e^{i \vartheta} .
\]
Если принять $T$ и $R$ за символы операций переноса и вращения, а комбиниронанные операции обозначить через $R T$ и $T R$ (читать справа налево), то мы имеем для двух последовательностей операций следующие
преобразования:
\[
\left.\begin{array}{rl}
R T: & z^{\prime}=c+(z+t-c) e^{i \vartheta}, \\
T R: & z^{\prime}=t+c+(z-c) e^{i \vartheta}
\end{array}\right\}
\]
Вообще говоря, это — различные преобразования $(R T
eq T R)$ и это, возможно, простейший пример некоммутативных операций в механике. Равенство $R T=T R$ имеет место только в тех исключительных случаях, когда $t=0$ или $\vartheta=0$.
Рассмотрим первое из преобразований (6.1). Чтобы найти неподвижную точку для перемещения $R T$, мы должны положить $z^{\prime}=z$; это дает уравнение для $z$ :
\[
z\left(1-e^{i \vartheta}\right)=c+t(t-c) e^{i \vartheta} .
\]
Если $\vartheta=0$ (или кратно $2 \pi$,) то уравнение имеет единственное решение. Отсюда при каждом жестком плоском перемещении (исключая чистое поступательное перемещение) имеется одна-единственная неподвижная точка. Утверждение, эквивалентное этому, может быть высказано так: любое жесткое плоское неремещение (исключая цоступательное) можно представить как вращение вокруг соответствующим образом выбранного центра.
Этот центр может быть найден (а приведенная теорема доказана) простым построением. Пусть перемещение переводит точку $A$ в $B$ и точку $B$ в $C$. Тогда, если только перемещение не есть чистое поступательное перемещение, перпендикуляры, проведенные через середины отрезков $A B$ и $B C$, пересекаются в некоторой точке $D ; D$ есть искомый центр.
Результат двух плоских перемещений ( $\left.D_{2} D_{1}\right)$ есть поэтому результат двух вращений ( $R_{2} R_{1}$ ), следовательно, это тоже вращение $\left(R_{3}\right)$ и можно написать
\[
R_{3}=R_{2} R_{1} .
\]
Два вращения вокруг различных центров некоммутативны $\left(R_{2} R_{1}
eq R_{1} R_{2}\right.$ ). Легко привести пример, который пллюстрирует это положение. Пусть $A_{1}, A_{2}$ — два центра $\vartheta_{1}, \vartheta_{2}$ — углы вращения. Тогда углы вращения $R_{1} R_{2}$ и $R_{2} R_{1}$ равны, а именно, $2 \varphi=\vartheta_{1}+\vartheta_{2}$, а их центрами
являются точки $C_{12}$ и $C_{21}$ (рис. 3 ); эти центры являются взаимными отражениями друг друга относительно прямой $A_{1} A_{2}$.
Тонкая пластинка, движущаяся в плоскости (или твердое тело, движущееся параллельно плоскости), имеет три степени свободы, так как положение пластинки определено, когда мы знаем две координаты какой-нибудь
Рис. 3. Результирующая двух вращений в плоскости. $C_{12}$ — центр вращения $R_{1} R_{2}$, а $C_{21}$ — центр вращения $R_{2} R_{1}$.
ее точки и угол, образуемый какой-нибудь прямой на ней с фиксированным направлением. Для такого движения пространство конфигураций трехмерно (§ 62). Оно того же типа связности, что и бесконечный цилиндр; это означает, что имеется один, нестягиваемый в точку, контур, соответствующий полному повороту пластинки (§ 63); это пространство — плоское по отношению к кинематическому линейному элементу (§ 84).
