Моментом импульса ${ }^{1}$ ) частицы для точки $O$ называют выражение
\[
\boldsymbol{h}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{M}=\boldsymbol{r} \times m \boldsymbol{v}=m(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{v}),
\]

где $m$ – масса частицы, $v$ – ее абсолютная скорость ${ }^{2}$ ) и $r$ – ее радиус-вектор относительно точки $O$. Его три компоненты имеют вид
\[
\left.\begin{array}{l}
h_{x}=m\left(y v_{z}-z v_{y}\right), \\
h_{y}=m\left(z v_{x}-x v_{z}\right), \\
h_{z}=m\left(x v_{y}-y v_{x}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Абсолютное значение момента импульса относительно прямой, проходящей через точку $O$, есть ортогональная проекция вектора $h$ на эту прямую. Таким образом, еслии $V$ – единичный вектор этой прямой, то абсолютная величина момента импульса равна
\[
\boldsymbol{V} \cdot(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{M})=\boldsymbol{r} \cdot(\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{V})=\boldsymbol{M} \cdot(\boldsymbol{V} \times \boldsymbol{r}) .
\]

Момент импульса системы есть сумма моментов импульса ее частей:
\[
\boldsymbol{h}=\sum_{i} \boldsymbol{r}_{i} \times m_{i} \boldsymbol{v}_{i}=\sum_{i} m_{i}\left(\boldsymbol{r}_{i} \times \boldsymbol{v}_{i}\right) .
\]

Точка $O$, для которой вычисляют момент импульса, может быть закрепленной или движущейся. Для того чтобы исследовать влияние перехода от одной такой точки к другой, рассмотрим две точки $O, O^{*}$, абсолютные скорости которых $v, v^{*}$, и пусть $\overrightarrow{O O}^{*}=r$ (рис. 8). Пусть имеется некоторая система частиц $P_{i}$ с радиусами-векторами $\boldsymbol{r}_{i}, \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}$ соответственно относительно точек $O$, $O^{*}$, так что
\[
r_{i}=r_{i}+r_{i}^{\prime} .
\]

Тогда моменты импульса соответственно для точек $O, O^{*}$ равны

Рис. 8. Момент количества дви-
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{h} & =\sum_{i} m_{i} \boldsymbol{r}_{i} \times \boldsymbol{v}_{i}, \\
\boldsymbol{h}^{*} & =\sum m_{i} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times \boldsymbol{v}_{i},
\end{aligned}
\]
жения.

где $v_{i}$ – абсолютная скорость частицы $P_{i}$. Пусть $v_{i}^{\prime}$ скорость частицы $P_{i}$ относительно точки $O^{*}$, так что
\[
v_{i}=v^{*}+v_{i}^{\prime}
\]

тогда выражения моментов импульса можно преобразовать к виду
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{h} & =\sum_{i} m_{i}\left(\boldsymbol{r}_{i}^{\prime}+\boldsymbol{r}\right) \times\left(\boldsymbol{v}^{*}+\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}\right), \\
\boldsymbol{h}^{*} & =\sum_{i} m_{i} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times\left(\boldsymbol{v}_{i}^{*}+\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}\right) ;
\end{aligned}
\]

и отсюда
\[
\boldsymbol{h}=m \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{v}^{*}+\boldsymbol{r} \times \sum_{i} m_{i} \boldsymbol{v}_{i}^{\prime}+\boldsymbol{h}^{*},
\]

где $m$ – полная масса системы. Эта формула особенно полезна, когда $O^{*}$ – центр масс. В этом случае средний член исчезает, и мы имеем выражение
\[
\boldsymbol{h}=\boldsymbol{h}_{0}+\boldsymbol{h}^{*},
\]

где
\[
\boldsymbol{h}_{0}=\boldsymbol{r} \times m \boldsymbol{v}^{*}, \quad h^{*}=\sum_{i} \boldsymbol{r}_{i}^{\prime} \times\left(m_{i} \boldsymbol{v}_{i}^{\prime}\right) .
\]

Вектор $h_{0}$ можно назвать орбитальным моментом импульса, а $h^{*}$ – спиновым моментом импульса, заимствуя термины, принятые в квантовой механике. Отметим, что $h_{0}$ есть момент импульса для точки $O$ некоторой воображаемой частицы массы $m$, движущейся вместе с центром масс системы. Отметим также, что $h^{*}$ – момент импульса системы для центра масс; действительно, при вычислении $h^{*}$ безразлично, используем ли мы скорости частиц относительно центра масс (как в формулах (24.11)) или абсолютные скорости.

Нужно ходчеркнуть, что при конкретном вычислении момента импульса необходимо точно указать I) систему отсчета, относительно которой измеряются скорости, и II) точку, для которой взяты моменты.

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки $O$ с угловой скоростью $\omega$, момент импульса для точки $O$ равен
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{h}=\sum_{i} m_{i} \boldsymbol{r}_{i} \times \boldsymbol{v}_{i} & =\sum_{i} m_{i} \boldsymbol{r}_{i} \times\left(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_{i}\right)= \\
& =\boldsymbol{\omega} \sum_{i} m_{i} \boldsymbol{r}_{i}^{2}-\sum m_{i} \boldsymbol{r}_{i}\left(\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{r}_{i}\right)
\end{aligned}
\]

Это векторное уравнение можно представить в виде следующих уравнений для его трех компонент по осям некоторого ортогонального триэдра:
\[
\left.\begin{array}{l}
h_{1}=A \omega_{1}-H \omega_{2}-G \omega_{3}, \\
h_{2}=-H \omega_{1}+B \omega_{2}-F \omega_{3}, \\
h_{3}=-G \omega_{1}-F \omega_{2}+C \omega_{3},
\end{array}\right\}
\]

где $\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\right)$ – компоненты вектора $\boldsymbol{\text { и }} A, B, C, G$, $H$ – моменты и произведения инерции относительно триәдра.

Если оси триәдра совпадают с главными осями инерции, то уравнения упрощаются и приводятся к следующему виду:
\[
h_{1}=A \omega_{1}, \quad h_{2}=B \omega_{2}, \quad h_{3}=C \omega_{3} .
\]

Для того чтобы эти простые выражения имели место в течение всего движения, необходимо, вообще говоря, закрепить триәдр в теле. Однако в случае симметрии $(A=B)$ достаточно, чтобы один из векторов триәдра

совпадал с осью симметрии. Тогда триэдр ве закреплен ни в пространстве, ни в теле. Заметим, что в уравнениях (24.14) компоненты угловой скорости – это компоненты угловой скорости тела, а не триэдра.