Произведем общее преобразование
\[
(q, \quad t, p) \rightarrow(x)
\]

где $(x)$ означает совокупность $2 N+1$ переменных. Будем обозначать эти переменные через $x_{A}$, где индексы $A$ принимают значения $1,2, \ldots, 2 N+1$, и условимся суммировать по повторяющимся индексам. Тем самым мы приписываем точкам пространства QTP совершенно произвольные координаты.

При преобразовании (94.1) получаем
\[
p_{\rho} \delta q_{\rho}-H(q, t, p) \delta t=X_{A} \delta x_{A},
\]

где $X$ – функция шеременных $x_{A}$. Циркуляция по контуру $C$ равна теперь
\[
x(C)=\oint_{C} X_{A} \delta x_{A},
\]

и если придать $C$ произвольное смещение $d$, то получим
\[
d x(C)=\oiint_{C}\left(d X_{A} \delta x_{A}-d x_{A} \delta X_{A}\right) ;
\]

преобразуем это выражение, обозначив $\partial X_{A} / \partial x_{B}=X_{A},{ }_{B}$,
\[
\begin{aligned}
d x(C)=\oint_{C} X_{A, B} & \left(d x_{B} \delta x_{A}-d x_{A} \delta x_{B}\right)= \\
= & \oint_{C}\left(X_{A, B}-X_{B, A}\right) d x_{B} \delta x_{A} .
\end{aligned}
\]

Если $d x_{A}$ – перемещение вдоль естественной конгруэнции, то $d x(C)=0$ для произвольного контура $C$ (cp. с § 93); поэтому траектории должны удовлетворять уравнениям
\[
\left(X_{A, B}-X_{B, A}\right) d x_{B}=0 .
\]

Это есть форма, которую принимают канонические уравнения, если используется общая координатная система в пространстве $Q T P$.

Этот важный результат можно рассмотреть несколько иначе; $d x_{A}$ – компоненты контравариантного вектора относительно произвольных преобразований (можно писать $d x^{A}$, чтобы подчеркнуть этот факт); $X_{A, B}-X_{B, A}-$ компоненты кососимметричного тензора; поэтому уравнения (94.6) представляют собой векторные уравнения, справедливые при любом выборе координат, если они справедливы для одной системы координат ${ }^{1}$ ). Однако если

координаты $x_{A}$ выбраны следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{rl}
x_{1} & =q_{1}, \ldots, x_{N}=q_{N}, \\
x_{N+1} & =p_{1}, \ldots, x_{2 N}=p_{N}, \\
x_{2 N+1} & =t,
\end{array}\right\}
\]

то, принимая во внимание тождество (94.2), мы видим, что имеют место равенства
\[
\left.\begin{array}{rl}
X_{1} & =p_{1}, \ldots, X_{N}=p_{N}, \\
X_{N+1} & =0, \ldots, X_{2 N}=0, \\
X_{2 N+1} & =-H(q, t, p) .
\end{array}\right\}
\]

Подставляя эти выражения в (91.6), получаем канонические уравнения (93.2), поэтому (94.6) представляют траектории во всех системах координат, так как это уравнения траекторий в системе координат (94.7).

В уравнениях (94.6) мы имеем $2 N+1$ однородных уравнений для $2 N+1$ дифференциала; мы знаем (совершенно независимо. от предыдущего доказательства), что они совместны, так как матрица коэффициентов, будучи кососимметричной и нечетного порядка, имеет самое большее ранг $2 N$ (другими словами, ее детерминант обращается в нуль). Имеем тогда новый подход к динамике в пространстве $Q T P$, основанный на форме Пфаффа ${ }^{1}$ )
\[
X_{A} \delta x_{A} ;
\]

здесь $X_{A}$ – функции переменных $x_{A}$. Любой такой пфаффиан одределяет траектории посредством уравнений (94.6). Это – инвариантный метод, не зависящий от какого бы то ни было частного выбора координат $x_{A}$.
Если имеем две формы Пфаффа,
\[
X_{A} \delta x_{A} \quad \text { и } \quad X_{A} \delta x_{A}+\frac{\partial G(x)}{\partial x_{A}} \delta x_{A},
\]

где $G$ – функция положения в пространстве $Q T P$, то система (94.6) определяет одни и те же траектории для этих двух форм. Другими словами, траектории не изменяются, если к форме Пфаффа прибавить полный дифференциал.

Пусть $(q, t, p)$ – канонические переменные в пространстве $Q T P$, так что траектории удовлетворяют уравнениям
\[
\frac{d q_{\rho}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}, \quad \frac{d p_{\rho}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}} .
\]

Ассоциированная форма Пфаффа имеет вид
\[
p_{\rho} \delta q_{\rho}-H(q, t, p) \delta t .
\]

Применим преобразование $(q, t, p) \rightarrow\left(q^{\prime}, t^{\prime}, p^{\prime}\right)$. В преобразованном пфаффиане появятся члены, выраженные через $\delta q_{\rho}^{\prime}, \delta p_{\rho}^{\prime}, \delta t^{\prime}$, и коэффициент при $\delta q_{\rho}^{\prime}$, вообще говоря, не будет совпадать с $p_{\rho}^{\prime}$. Но предположим, что преобразование таково, что в преобразованном пфаффиане можно выделить полный дифференциал, оставив пфаффиан, не содержащий дифференциала $\delta p_{\rho}^{\prime}$ с соэффициентом при $\delta q_{\rho}^{\prime}$, равным $p_{\rho}^{\prime}$. Коэффициент при $\delta t^{\prime}$ будет функцией переменных $\left(q^{\prime}, t^{\prime}, p^{\prime}\right)$; обозначая его через $-H^{\prime}\left(q^{\prime}, t^{\prime}, p^{\prime}\right)$, получим
$p_{\rho} \delta q_{\rho}-H(q, t, p) \delta t=p_{\rho}^{\prime} \delta q_{\rho}^{\prime}-H^{\prime}\left(q^{\prime}, t^{\prime}, p^{\prime}\right) \delta t^{\prime}+\delta G ;$

$\delta G$ – полный дифференциал, и канонические уравнения (94.11) преобразуются в следующие ${ }^{1}$ ):
\[
\frac{d q_{\rho}^{\prime}}{d t^{\prime}}=\frac{\partial H^{\prime}}{\partial p_{\rho}^{\prime}}, \quad \frac{d p_{\rho}^{\prime}}{d t^{\prime}}=-\frac{\partial H^{\prime}}{\partial q_{\rho}^{\prime}} .
\]