Рассмотрим вновь системы РC и ОДС (§66).
В РС мы исходим из лагранжиана
\[
\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)=\sqrt{b_{r s} x_{r}^{\prime} x_{s}^{\prime}}+A_{r} x_{r}^{\prime} .
\]

Тогда уравнение (69.3) выглядит так:
\[
y_{r}=\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{v}^{\prime}}=\frac{b_{r s} x_{s}^{\prime}}{\sqrt{b_{m n} x_{m}^{\prime} x_{n}^{\prime}}}+A_{r},
\]

и псключепие $x_{r}^{\prime}$ дает уравнение энергии в следующем виде:
\[
\Omega(x, y) \equiv \frac{1}{2}\left[b^{r s}\left(y_{r}-A_{r}\right)\left(y_{s}-A_{s}\right)-1\right]=0,
\]

где $b^{r s} b_{r m}=\delta_{m}^{s} ; \quad$ множитель $\frac{1}{2}$ введен для удоб̈стпа записи.

Если исходить из уравнения энергии (70.3) и пытаться вывести из него функцию $\Lambda$, то надо записать уравнения (69.14), которые в данном случае принимают следующий вид:
\[
x_{r}^{\prime}=\vartheta b^{r s}\left(y_{s}-A_{s}\right), \quad \Lambda=y_{r} x_{r}^{\prime}, \quad \Omega(x, y)=0 .
\]

Отсюда следуют уравнения
\[
\left.\begin{array}{rl}
y_{r}-A_{r} & =\vartheta^{-1} b_{r s} x_{s}^{\prime}, \\
2 \Omega & =\vartheta^{-2} b_{r s} x_{r}^{\prime} x_{s}^{\prime}-1=0, \\
\vartheta & =\varepsilon \sqrt{b_{r s} x_{r}^{\prime} x_{s}^{\prime}},
\end{array}\right\}
\]

где $\varepsilon= \pm 1$ (все квадратные корни берутся положительными). Поэтому имеют место уравнения
\[
y_{r}=A_{r}+\frac{\varepsilon b_{r s} x_{s}^{\prime}}{\sqrt{b_{m n} x_{m}^{\prime} x_{n}^{\prime}}},
\]

и мы получаем два лагранжиана:
\[
\left.\begin{array}{l}
\Lambda_{+}\left(x, x^{\prime}\right)=A_{r} x_{r}^{\prime}+\sqrt{b_{r s} x_{r}^{\prime} x_{s}^{\prime}}, \\
\Lambda_{-}\left(x, x^{\prime}\right)=A_{r} x_{r}^{\prime}-\sqrt{b_{r s} x_{r}^{\prime} x_{s}^{\prime}} .
\end{array}\right\}
\]

При $k>0$ имеем тогда условие однородности
\[
\Lambda_{+}\left(x, k x^{\prime}\right)=k \Lambda_{+}\left(x, x^{\prime}\right), \quad \Lambda_{-}\left(x, k x^{\prime}\right)=k \Lambda_{-}\left(x, x^{\prime}\right),
\]

а при $k<0$ оно принимает вид
\[
\Lambda_{+}\left(x, k x^{\prime}\right)=k \Lambda_{-}\left(x, x^{\prime}\right), \quad \Lambda_{-}\left(x, k x^{\prime}\right)=k \Lambda_{+}\left(x, x^{\prime}\right) .
\]

Таким образом, уравнение энергии (70.3) дает два лаграпжиана; оба они положительно однородные первой степени, но не однородиые в общем случае, так как в случае отрицательного множителя $k$ в (70.9) возможен переход с одной ветви фуюкции на другую.

В ОДС мы начинаем рассуждения с обычного лагранжиана
\[
L(q, \dot{q})=\frac{1}{2} a_{\rho \sigma} \dot{q}_{\rho} \dot{q}_{\sigma}-V .
\]

Затем вследствие уравнения (69.8) получаем соотношения
\[
p_{\rho}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}}=a_{\rho \sigma} \dot{q}_{\sigma}, \quad \dot{q}_{\rho}=a^{\rho \sigma} p_{\sigma},
\]

I гамильтониан равен
\[
H(q, p)=\dot{q}_{\rho} p_{\beta}-L=\frac{1}{2} a^{\rho \sigma} p_{\beta} p_{\sigma}+V .
\]

Если исходить от этого гамильтониана, то имеют место уравнения вида (69.16)
\[
\dot{q}_{\rho}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}=a^{\rho \sigma} p_{\mathrm{\sigma}}, \quad p_{\rho}=a_{\rho \sigma} \dot{q}_{\sigma},
\]

и мы полутаем из них соотношение
\[
L(q, \dot{q})=\dot{q}_{\rho} p_{\rho}-H=\frac{1}{2} a_{\rho \sigma} \dot{q}_{\rho} \dot{q}_{\sigma}-V,
\]

придя, таким образом, вновь к лагранжиану (70.10).