а) Скорость точки. Рассмотрим движущуюся точку (не обязательно частицу). Уравнения ее мировой линии можно написать в виде
\[
x_{r}=x_{r}(\chi),
\]

где $\chi$ – монотонный параметр. 3 -скорость точки равна
\[
v_{\rho}=\frac{d x_{\rho}}{d t}=i c \frac{d x_{\rho}}{d x_{4}} .
\]

Отсюда абсолютная величина скорости $v$, определенная как
\[
v=\sqrt{v_{\rho} v_{\rho}},
\]

больше, равна или меньше, чем $c$, в зависимости от того, являетея 4-вектор $d x_{r} / d \chi$ пространственноподобным, нулевым или времениподобным.

Для материальной частицы этот 4-вектор времениподобный и мы определяем 4-скорость как времениподобный единичный вектор
\[
\lambda_{r}=\frac{d x_{r}}{d s},
\]

удовлетворяющий условию
\[
\lambda_{r} \lambda_{r}=-1 .
\]

Согласно определению (108.2) существуют следующие соотношения между 3-скоростью и 4-скоростью:
\[
\left.\begin{array}{c}
v_{\rho}=i c \frac{\lambda_{\rho}}{\lambda_{4}}, \quad \lambda_{\rho}=\frac{\gamma v_{\rho}}{c}, \quad \lambda_{4}=i \gamma, \\
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} .
\end{array}\right\}
\]

Для точки, движущейся быстрее, чем свет, 4-скорость можно определить уравнениями (108.4); в (108.5) надо заменить -1 на +1 , и соотношения для 3 -скорости имеют вид (108.6), с той только разницей, что $\gamma$ заменяется на $\gamma^{*}$, где
\[
\gamma^{*}=\frac{1}{\sqrt{\frac{v^{2}}{c^{2}}-1}} .
\]

Для фотона предполагаем, что $d x_{r} / d \chi$ есть нулевой вектор. Таким образом, абсолютная скорость фотона есть $c$. Он не имеет допускающей определение 4-скорости; выражение (108.4) нельзя использовать потому, что $d s=0$.
в) Волновая скорость. Уравнение
\[
F\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=0
\]

определяет 3 -пространство в пространстве – времени. Его можно назвать 3 -волной. Это есть, так сказать, история 2-волны; мгновенная 2-волна может быть получена, если положить $x_{4}=$ const в уравнении (108.8).

Легко видеть, что нормальная 3 -скорость 2 -волны ecть ${ }^{1}$ )
\[
u_{\rho}=-i c \frac{F_{, \rho} F_{, 4}}{F_{, \sigma} F_{, \sigma}},
\]

где $F,{ }_{r}=\partial F / \partial x_{r}$. Отсюда следует, что абсолютная величина скорости $u$ распространения волны удовлетворяет уравнению
\[
1-\frac{c^{2}}{u^{2}}=\frac{F,{ }_{r} F,{ }_{r}}{\left(F^{\prime}{ }_{, 4}\right)^{2}} .
\]

Так как $F,{ }_{4}$ – чисто мнимая, то $u$ больше, равна или меньше, чем $c$, в зависимости от того, является ли 4-вектор $F, r$ (который есть пространственновременна́я нормаль к 3-волне) времениподобным, нулевым или пространственноподобным.

ү) 4-ускорение. Для материальной частицы 4-ускорение есть 4-вектор:
\[
\frac{d \lambda_{r}}{d s}=\frac{d^{2} x_{r}}{d s^{2}} .
\]

Он ортогонален (в смысле пространства – времени) 4-скорости, потому что условие (108.5) дает
\[
\lambda_{r} \frac{d \lambda_{r}}{d s}=0 .
\]
3-ускорение, . определенное ньютоновым способом как
\[
a_{\rho}=\frac{d^{2} x_{\rho}}{d t^{2}},
\]

можно выразить следующим образом:
\[
a_{\rho}=\frac{c}{\gamma} \frac{d}{d s}\left(\frac{c}{\gamma} \lambda_{\rho}\right)=-\frac{c^{2}}{\lambda_{4}} \frac{d}{d s}\left(\frac{\lambda_{\rho}}{\lambda_{4}}\right),
\]

так как $j d s=c d t, \lambda_{i}=i j$.
б) Сложение скоростей. Пусть $S$ и $S^{\prime}$ – две галилеевы системы отсчета, связанные с помощью преобразования Лоренца соотношениями (107.10). Пусть частица движется со скоростью $(V, 0,0)$ относительно $S^{\prime}$. Тогда ее скорость относительно системы $S$ равна $(u, 0,0)$, где
\[
u=\frac{v+V}{1+\frac{v V}{c^{2}}} \text {. }
\]

Этот закон сложения скоростей можно выразить через гиперболические функции в форме
\[
\psi=\varphi+\Phi,
\]

где
\[
\text { th } \psi=\frac{u}{c}, \quad \operatorname{th} \varphi=\frac{v}{c}, \quad \operatorname{th} \Phi=\frac{V}{c} .
\]
в) 4-импульс. Мы связываем с частицей число $m-$ еө собственную массу, которая инвариантна относительно

преобразования Лоренда. 4-импульс частицы определяется как
\[
M_{r}=m \lambda_{r},
\]

где $\lambda_{r}$ есть 4-скорость. Все четыре компоненты имеют размерность массы, но можно прийти к размерности импульса или энергии, введя в правую часть множитель $c$ или $c^{2}$.

Обозначив $\gamma=\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}$, введем следующие определения:
релятивистская масса $=m \gamma$,
релятивистский импульс (3-импульс) $=m \gamma v_{\rho}$,
релятивистская энергия $=E=m \gamma c^{2}$,
собственная энергия $=E_{0}=m c^{2}$,
релятивистская кинетическая энергия $=T=m c^{2}(\gamma-1)$.
Разлагая по степеням $v / c$, получаем
\[
T=\frac{1}{2} m v\left(1+\frac{3}{4} \frac{v^{2}}{c^{2}}+\ldots\right) ;
\]

первый член совпадает со значением кинетической энергии в ньютоновой механике.

Четыре компоненты $M_{r}$ можно выразить через релятивистский импульс и энергию следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
M_{\rho}=m \lambda_{\rho}=\frac{m \gamma c_{\rho}}{c}, \\
M_{4}=m \lambda_{4}=i m \gamma=\frac{i E}{c^{2}} .
\end{array}
\]

Для фотона формула (108.18) теряет силу, так как для фотона $m=0$ и компоненты $\lambda_{r}$ становятся бесконечно большими.
Уравнение
\[
\varphi=\varphi_{0} \cos \frac{2 \pi v}{c}\left(n_{\rho} x_{\rho}-c t\right),
\]

где $n_{\rho} n_{\rho}=1$, представляет плоские волны частоты $v$, распространяющиеся в направлении единичного 3 -век-

тора $n_{\rho}$ с абсолютной скоростью $c$. Положим
\[
f_{\rho}=v n_{\rho}, \quad f_{4}=i v .
\]

Можно написать (108.21) в форме
\[
\varphi=\varphi_{0} \cos \frac{2 \pi}{c} f_{r} x_{r} .
\]

Для того чтобы фазовый множитель мог быть инвариантным относительно преобразований Лоренца, необходимо и достаточно, чтобы $f_{r}$ преобразовывался как 4-вектор. Таким образом, четыре величины (108.22) являются компонентами 4-вектора, т. е. при лоренцовом преобразовании (107.5) они преобразуются по закону
\[
f_{r}^{\prime}=A_{r s} f_{s} .
\]

Употребим этот 4-вектор частоты $f_{r}$ для того, чтобы определить 4-импульс $M_{r}$ фотона, положив
\[
M_{\rho}=\frac{h v}{c^{2}} n_{\rho}, \quad M_{4}=\frac{i h v}{c^{2}},
\]

где $h$ – постоянная Планка, $v$ – частота фотона и $n_{\rho}$ единичный 3 -вектор в направлении движения фотона, так что 3-скорость фотона есть $c n_{\rho}$.

Компоненты импульса $M_{r}$ имеют размерность массы. Мы определяем:
релятивистский импульс (3-импульс) фотона $=\frac{h v n_{\rho}}{c}$, энергию фотона $=E=h v$.

Отметим, что
\[
\left.\begin{array}{l}
M_{r} M_{r}=-m^{2} \text { для материальной частицы, } \\
M_{r} M_{r}=0 \text { для фотона. }
\end{array}\right\}
\]