Пространство конфигураций $Q$, в котором координатами изображающей точки являются $N$ обобщенных координат $q_{\rho}$ динамической системы, дает ее наиболее естественное геометрическое представление. Если система состоит из одной частицы, то изображающая точка в пространстве $Q$ совпадает с положением частицы в обычном пространстве. Всему, что сказано в гл. Д II о динамике в пространстве $Q T$, можно дать интерпретацию и в $Q$. Луч или траектория (которые были некоторой кривой в $Q T$ ) появляются в $Q$ как движущаяся точка; время $t$ здесь является только параметром, но не координатой; координаты $q_{\rho}$ и сопряженные им импульсы $p_{p}$ удовлетворяют каноническим уравнениям
\[
\dot{q}_{\rho}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}, \quad \dot{p}_{\rho}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}} .
\]

Однако хотя пространство $Q$ может показаться более наглядным, чем пространство QT, волны постоянного действия для когерентной системы, рассмотренные в § 75 , представляются в пространстве конфигураций более сложной движущейся картиной. В пространстве $Q T$ лучи

или траектории — это неподвижные кривые; волны неподвижные $N$-мерные поверхности, как показано на рис. 35 (стр. 246). В пространстве $Q$ первые представляют собой движущиеся точки, а последние — $N$-1-мерные движущиеся поверхности с уравнениями
\[
U(q, t)=\text { const, (81.2) }
\]

где $U$ — одноточечная характеристическая функция. На рис. 40 Г есть луч или траектория, а $D D^{\prime}$ положения изображающей точки на нем соответственно в моменты $t, t+d t$. $W$ — волна, которая проходит через точку $D$ в момент $t$, а $W^{\prime}$ — та же самая волна в момент $t+d t$. Необходимо отметить, что, вообще говоря, точка $D^{\prime}$ не лежит на $W^{\prime}$; другими словами, Гизображающал точка не переносится поверхностью волны.

Для того чтобы исследовать соотношение между скоростью изображающей точки (лучевой скоростью) и скоростью волны (волновой скоростью), заметим, во-первых, что лучевая скорость равна $\dot{q}_{\rho}$, но что для общей гамильтоновой динамической системы не существует метода, с помощью которого можно было бы превратить этот контравариантный вектор в инвариантную величину скорости. Для того чтобы исследовать волновую скорость, берем точку $E$ на поверхности $W^{\prime}$, близкую к точке $D$, и обозначим смещение $D E$ через $\delta q_{\rho}$. Так как речь идет об одной движущейся волне, то согласно (81.2) имеем уравнение
\[
\frac{\partial U}{\partial q_{\rho}} \delta q_{\rho}+\frac{\partial U}{\partial t} d t=0
\]

или, принимая во внимание (74.9), уравнение
\[
p_{\rho} \delta q_{\rho}-H d t=0 .
\]

Следуя обычному методу нахождения волновой скорости, нужно взять перемещение $\delta q_{\rho}$ вдоль нормали к волне $W$ в точке $D$. Как известно, существует нормаль, определенная производной $\partial U / \partial q_{\rho}\left(=p_{\rho}\right)$, однако это — ковариантный вектор, в то время как $\delta q_{\rho}$ — контравариантный. Поэтому, не умаляя общности динамической теории, нельзя (ни в каком инвариантном смысле) говорить о них как об имеющих одно и то же направление. Лучшее что мы можем сделать, это взять $\delta q_{\rho}$ вдоль луча (так чтобы $E$ совпало с $E^{\prime}$ на рис. 40 ), следовательно, будет иметь место уравнение
\[
R \delta q_{\rho}=d q_{\rho}=\dot{q}_{\rho} d t,
\]

где множитель пропорциональности $R$ может быть представлен с помощью следующего отношения:
\[
R=\frac{\text { лучевая скорость }}{\text { волновая скорость, измеренная вдоль луча }} \text {. }
\]

Умножая уравнение (81.5) на $p_{\rho}$ и принимая во внимание (81.4), получаем уравнение
\[
R=\frac{p_{\rho} \dot{q}_{\rho}}{H}=\frac{p_{\rho}}{H} \cdot \frac{\partial H}{\partial p_{\rho}} .
\]

Наше изложение до сих пор имело максимальную общность. Рассмотрим теперь обыкновенную динамическую систему ${ }^{1}$ ) (ОДС) § 66 и 70 ; имеем для нее
\[
\left.\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2} a_{\rho \sigma} \dot{q}_{\rho} \dot{q}_{\sigma}, \quad L=T-V(q), \\
H=\frac{1}{2} a^{\rho \sigma} p_{\rho} p_{\sigma}+V .
\end{array}\right\}
\]

Тензор $a_{\rho \sigma}$ позволяет ввести инвариантный кинематический линейный элемент $d s$ в пространстве $Q$, определенный следующим образом ${ }^{1}$ ):
\[
d s^{2}=a_{\rho \sigma} d q_{\rho} d q_{\sigma} .
\]

Естественно определить абсолютную величину лучевой скорости следующим образом:
\[
v^{2}=\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2}=a_{\rho \sigma} \dot{q}^{\rho} \dot{q}_{\sigma}=2 T=2(E-V),
\]

где $E$ — постоянная ${ }^{2}$ ) полная энергия ( $E=H=T+V$ ). Если воспользоваться метрикой (81.9), то волна $W$ имеет контравариантную единичную нормаль $n^{\rho}$, определяемую формулами
\[
\begin{array}{c}
n^{\rho}=\frac{a^{\rho \sigma} \frac{\partial U}{\partial q_{\rho}}}{\sqrt{a^{\mu
u} \frac{\partial U}{\partial q_{\mu}} \frac{\partial U}{\partial q_{v}}}}= \\
=\frac{a^{\rho \sigma} p_{\sigma}}{\sqrt{a^{\mu v} p_{\mu} p_{v}}}=\frac{a^{\rho \sigma} p_{\sigma}}{\sqrt{2 T}}=\frac{a^{\rho \sigma} p_{\sigma}}{\sqrt{2(E-V)}} .
\end{array}
\]

Для того чтобы найти нормальную скорость распространения волны, возьмем точку $E$ на нормали к $W$ и $D$, так что
\[
\delta q_{\rho}=a^{\rho \sigma} p_{\sigma} d \vartheta
\]

где $d \vartheta$ — бесконечно малый множитель, и уравнение (81.4) дает следующее соотношение:
\[
\frac{d \vartheta}{d t}=\frac{H}{a^{\rho \sigma} p_{\rho} p_{\sigma}} .
\]

Отсюда нормальная скорость $u$ волнь определяется выражениями
\[
\begin{aligned}
\dot{u}^{2} \frac{a_{\rho \sigma} \delta q_{\rho} \delta q_{\sigma}}{d t^{2}} & =a^{\rho \sigma} p_{\rho} p_{\sigma}\left(\frac{d \vartheta}{d t}\right)^{2}= \\
& =\frac{H^{2}}{a^{\rho \sigma} p_{\rho} p_{\sigma}}=\frac{H^{2}}{2(H-V)}=\frac{E^{2}}{2(E-V)} .
\end{aligned}
\]