Если мы хотим произвести в пространстве $Q T P$ преобразования координат, сохраняющие форму уравнений движения, то лучше всего свести все рассмотрение к форме Пфаффа (94.12); канонические уравнения, исследованные в § 87, могут быть применены в пространстве четного числа измерений. Таким пространством является фазовое пространство $Q P$. Поэтому мы возвратимся к каноническим преобразованиям координат при исследовании $Q P$ в гл. Д VII. Однако прежде чем перейти к рассмотрению фазового пространства, покажем, как движение системы, представленное в пространстве $Q T P$, может быть исследовано с помощью канонических преобразований между двумя поверхностями, на каждой из которых $t=$ const; эти поверхности, будучи четной размерности, преобразуются одна в другую каноническим преобразованием.
Вернемся к двухточечной характеристической функции $S\left(x^{*}, x\right)$ § 72 , которую запишем теперь в форме
\[
S=S\left(q^{*}, t^{*}, q, t\right) .
\]
Рассмотрим две поверхности $\Sigma^{*}, \Sigma$ в пространстве $Q T P$ с $t=$ const на каждой из них. Естественная конгруэнция устанавливает соответствие $\Sigma^{*} \leftrightarrow \Sigma$ между точками этих двух поверхностей; пусть $E^{*}$ и $E$ – точки пересечения поверхностей с одной из траекторий, как показано на рис. 44. Его нельзя смепивать с рис. $35 \S 75$, который показывает совокупность траекторий в $(N+1)$-мерном пространстве $Q T$, образующих когерентню систему ( $\infty^{N}$ множество кривых). На рис. 44 показаны изображающие кривые, взятые из конгруэнции всех траекторий $\left(\infty^{2 N}\right.$ множество кривых).
Согласно (72.12) имеем выражение
\[
\delta S=p_{\rho} \delta q_{\rho}-H \delta t-p_{\rho}^{*} \delta q_{\rho}^{*}+H^{*} \delta t^{*}
\]
для произвольных вариаций $E^{*}$ и $E$. Преобразование $E^{*} \rightarrow E$ задается поэтому уравнениями
\[
p_{\rho}=\frac{\partial S}{\partial q_{\rho}}, \quad p_{\rho}^{*}=-\frac{\partial S}{\partial q_{\rho}^{*}} ;
\]
при этом $t^{*}$ и $t$ – заданные постоянные значения, которые
Рис. 44. Каноническое преобразованиө $E^{*} \rightarrow E$, производимое естественной конгруэнцией траекторий в QTP.
$t$ имеет соответственно на поверхностях $\Sigma^{*}$ и $\Sigma$. Преобразование функции $H$ определяется уравнениями
\[
H=-\frac{\partial S}{\partial t}, \quad H^{*}=\frac{\partial S}{\partial t^{*}} .
\]
Мы видим, что (95.13) представляет собой каноническое преобразование
\[
\left(q^{*}, p^{*}\right) \rightarrow(q, p) ;
\]
величины $t^{*}$ и $t$ входят как параметры в прөизводящую функцию $S$. Если зафиксировать значение $t^{*}$ и изменить $t$, то получается множество канонических преобразований, которые преобразуют начальную изохронную поверхность ( $t=t^{*}$ ) во все последовательные изох ронные поверхности.
Для того чтобы вывести каноническое преобразование, можно использовать также характеристическую функцию в пространстве импульса – энергии $W\left(y^{*}, y\right)$ (§79). Выражая эту функцию в виде
\[
W=W\left(p^{*}, H^{*}, p, H\right),
\]
получим преобразование
\[
q_{\rho}=\frac{\partial W}{\partial p_{\rho}}, \quad q_{\rho}^{*}=-\frac{\partial W}{\partial p_{\rho}^{*}}
\]
(ср. с (79.14)). Поверхности, которые при этом канонически преобразуются одна в другую, являются поверхностями, на которых $H=$ const. Это преобразование теряет смысл, если $\partial H / \partial t=0$, так как тогда $H=$ const на каждом луче или траектории и, следовательно, эти уравнения не могут преобразовать одну поверхность $H=$ const в другую.
