Свяжем сначала матрицы Паули с углами Эйлера. Три матрицы формулы (11.6) соответствуют следующим вращениям: на угол $\varphi$ вокруг оси $z$, на угол $\vartheta$ вокруг новой оси $y$ и на угол $\psi-$ вокруг новой оси $z$. Эти вращения соответствуют матрицам $\boldsymbol{U}_{3}(\varphi), \boldsymbol{U}_{2}(\vartheta), \boldsymbol{U}_{3}(\psi)$; в таком случае преобразование $\boldsymbol{r}^{\prime}=\boldsymbol{M r}$, где $\boldsymbol{M}$ задается формулой (11.6), то же самое, что и преобразование
\[
\boldsymbol{P}^{\prime}=\boldsymbol{T P T ^ { + }},
\]

где $\boldsymbol{P}$ – матрица вида $(14.4)^{1}$ ), а
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{T} & =\boldsymbol{U}_{3}(\varphi) \boldsymbol{U}_{2}(\boldsymbol{\vartheta}) \boldsymbol{U}_{3}(\psi)= \\
& =\left(\begin{array}{cc}
e^{-\frac{1}{2} i \varphi} & 0 \\
0 & e^{\frac{1}{2} i \varphi}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
\cos \frac{1}{2} \vartheta & -\sin \frac{1}{2} \vartheta \\
\sin \frac{1}{2} \vartheta & \cos \frac{1}{2} \vartheta
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
e^{-\frac{1}{2} i \psi} & 0 \\
0 & e^{\frac{1}{2} i \psi}
\end{array}\right)= \\
& =\left(\begin{array}{cc}
\cos \frac{1}{2} \vartheta e^{-\frac{1}{2} i(\varphi+\psi)} & -\sin \frac{1}{2} \vartheta e^{-\frac{1}{2} i(\varphi-\psi)} \\
\sin \frac{1}{2} \vartheta e^{\frac{1}{2} i(\varphi-\psi)} & \cos \frac{1}{2} \vartheta e^{\frac{1}{2} i(\varphi+\psi)}
\end{array}\right) \cdot
\end{aligned}
\]

Выражая $\boldsymbol{T}$ через стереографические параметры, имеем согласно (13.9)
\[
\boldsymbol{T}=\left(\begin{array}{rr}
\bar{p} & \bar{q} \\
-q & p
\end{array}\right),
\]

так что преобразование (15.1) можно написать в виде

Унитарность матрицы $T$ может быть показана без труда. Выражая $\boldsymbol{T}$ через параметры Эйлера, имеем согласно (13.9)
\[
\boldsymbol{T}=\left(\begin{array}{cc}
\varrho-i v & -i \lambda-\mu \\
-i \lambda+\mu & \varrho+i v
\end{array}\right)
\]

или
\[
T=-i \lambda \sigma_{1}-i \mu \sigma_{2}-i v \sigma_{3}+\varrho 1,
\]

так что преобразование (15.4) можно записать в следующей форме:
\[
\left.\begin{array}{c}
x^{\prime} \boldsymbol{\sigma}_{1}+y^{\prime} \boldsymbol{\sigma}_{2}+z^{\prime} \boldsymbol{\sigma}_{3}=\left(-i \lambda \sigma_{1}-i \mu \sigma_{2}-i v \boldsymbol{\sigma}_{3}+\varrho \mathbf{1}\right) \times \\
\times\left(x \sigma_{1}+y \sigma_{2}+z \sigma_{3}\right)\left(i \lambda \sigma_{1}+i \mu \sigma_{2}+i v \sigma_{3}+\varrho 1\right) \\
\lambda^{2}+\mu^{2}+v^{2}+\varrho^{2}=1
\end{array}\right\}
\]

Такое представление эквивалентно кватернионной формуле (12.6):
\[
\left.\begin{array}{c}
x^{\prime} i+y^{\prime} j+z^{\prime} k=(\lambda i+\mu j+v k+\varrho) \times \\
\times(x i+y j+z k)(-\lambda i-\mu j-v k+\varrho), \\
\lambda^{2}+\mu^{2}+v^{2}+\varrho^{2}=1 .
\end{array}\right\}
\]