В § 72 двухточечная характеристическая функция $S\left(x^{*}, x\right)$ была определена через лагранжеву функцию $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$ или уравнение энергии $\Omega(x, y)=0$. Мы видели, что она удовлетворяет детерминантному уравнению
\[
\operatorname{det} \frac{\partial^{2} S}{\partial x_{r} \partial x_{s}^{*}}=0 .
\]
В сущности говоря, это наиболее фундаментальное уравпение гамильтоновой теории, так как оно имеет одну форму для всех динамических систем, в то время как уравнение энергии меняет свою форму при переходе от одной динамической системы к другой.
Заметим, что уравнение (73.1) есть инвариант относительно преобразований одних только переменных $x$ нли $x^{*}$. Величины
\[
\frac{\partial^{2} S}{\partial x_{r} \partial x_{s}^{*}}
\]
(при фиксированном $s$ ) являются компонентами вектора, ковариантного по отношению к преобразованиям переменных $x$, а при фиксированном $r$ они являются компонентами вектора, ковариантного по отношению к преобразованиям переменных $x^{*}$. Будем предполагать, что ранг матрицы из величин (73.2) -равен $N$, что и будет иметь место в общем случае.
Мы покажем теперь, что любую выбранную функцию $S\left(x^{*}, x\right)$, удовлетворяющую уравнению (73.1), можно положить в основу динамики ${ }^{1}$ ). Пусть выбрана любая такая функция; пишем уравнения
72
\[
y_{r}=\frac{\partial S\left(x^{*}, x\right)}{\partial x_{r}}, \quad y_{r}^{*}=-\frac{\partial S\left(x^{*}, x\right)}{\partial x_{r}^{*}} .
\]
Так как имеет место уравнение (73.1), то можно исключить переменные $x_{r}^{*}$ из уравнений первой группы, и переменные $x_{r}$ — из второй группы (73.3); получаем уравнения вида
\[
\Omega(x, y)=0, \quad \Omega^{*}\left(x^{*}, y^{*}\right)=0 .
\]
Это — уравнения энергии, соответствующие двухточечной характеристической функции $S\left(x^{*}, x\right) ; \Omega$ и $\Omega^{*}$ — различные функции, так как мы предполагаем, что для начальной и конечной точек введены различные системы координат.
Но для получения лучей или траекторий уравнения энергии не нужны; их можно получить непосредственно из функции $S\left(x^{*}, x\right)$ следующим образом.
Во-первых, пусть заданы начальная точка $x_{r}^{*}$ и начальное направление $D^{*}$; луч или траектория определяется
тогда уравнениями
\[
\frac{\partial^{2} S\left(x^{*}, x\right)}{\partial x_{r} \partial x_{s}^{*}} d x_{s}^{*}=0,
\]
где $d x_{s}^{*}$ соответствуют направлению $D^{*}$. Эти уравнения позволяют выразить переменные $x$ через один параметр.
Во-вторых, пусть заданы две точки $x_{r}^{*}$ и $x_{r}$; луч или траектория, соединяющие их, определяются следующими уравнениями:
\[
\frac{\partial S\left(x^{*}, X\right)}{\partial X_{r}}+\frac{\partial S(X, x)}{\partial X}=0,
\]
где переменные $X$ — текущие координаты луча.
Однако важнее всего, по-видимому, отметить, что если мы исходим из уравнения энергии и выводим двухточечную характеристическую функцию (либо наоборот), то уравнения
\[
y_{r}^{*}=-\frac{\partial S\left(x^{*}, x\right)}{\partial x_{r}^{*}}
\]
являются уравнениями луча в конечной точке траектории, проходящей через начальную точку $x_{r}^{*}$ с начальным импульсом — энергией $y_{r}^{*}$, совместным, конечно, с уравнением $\Omega^{*}\left(x^{*}, y^{*}\right)=0$; у уравнениях (73.7) переменные $x$ означают текущие координаты.
