КП, которые мы рассматривали, были конечными преобразованиями. Для того чтобы получить бесконечно малое КП, т. е. преобразование, близкое к тождественному, вспомним, что тождественное преобразование было дано формулами (88.22); соответственно следуя плану (88.20c), вводим производящую функцию
\[
G_{3}\left(x, y^{\prime}\right)=x_{r} y_{r}^{\prime}+F\left(x, y^{\prime}\right) d u,
\]

где функция $F$ произвольна, а $d u$ – бесконечно малая постоянная величина. Эта формула дает КП
\[
y_{r}=y_{r}^{\prime}+d u \cdot \frac{\partial F\left(x, y^{\prime}\right)}{\partial x_{r}}, \quad x_{r}^{\prime}=x_{r}+d u \cdot \frac{\partial F\left(x, y^{\prime}\right)}{\partial y_{r}^{\prime}}
\]

или, с точностью до членов первого порядка, выражения
\[
\left.\begin{array}{l}
d x_{r}=x_{r}^{\prime}-x_{r}=d u \cdot \frac{\partial F(x, y)}{\partial y_{r}}, \\
d y_{r}=y_{r}^{\prime}-y_{r}=-d u \cdot \frac{\partial F(x, y)}{\partial x_{r}} \cdot
\end{array}\right\}
\]

Здесь мы заменили в частных производных $y^{\prime}$ на $y$. Если напишем канонические уравнения (86.6) в форме
\[
d x_{r}=d w \cdot \frac{\partial \Omega(x, y)}{\partial y_{r}}, \quad d y_{r}=-d w \cdot \frac{\partial \Omega(x, y)}{\partial x_{r}}
\]

и сравним их с (90.3), то можно сказать, что канонические уравнения порождают бесконечно малое КII, приращение $d w$ специального параметра $w$ играет роль инфинитезимальной постоянной $d u$, а функция энергии $\Omega$ – роль функции $F$.

Однако здесь имеет место существенное изменениө в точке зрения, которое может быть источником серьезных недоразумений. До сих пор мы рассматривали КП как изменение, так сказать, «этикетки», прикрепленной к неподвижной точке в пространстве $Q T P H$, а канонические уравнения – как описание движения изображающей

точки в QTPH в некоторой неподвижной системе координат. Этот дуализм интерпретации имеет место во всей теории преобразований, и мы сталкиваемся с ним, когда исследуем две возможные интерпретации КП.
I) Имеем совокупность геометрических объектов (точки в QTPH), которым могут быть сопоставлены различные групшы «әтикеток» $(x, y),\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$.
II) Имеем евклидово пространство $E_{2 N+2}$ с одной фиксированной системой прямоугольных координат и $(x, y),\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ – координаты двух различных точек этого пространства $E_{2 N+2}$ в этой системе координат.

Согласно первой точке зрения преобразование $(x, y) \rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ изменяет «этикетки», прикрепленные к неподвижным точкам; согласно второй – преобразование смещает точки, а пространство $E_{2 N+2}$ в целом преобразуется в себя. Если положить $F=\Omega$ и $d u=d w$, то существует полная формальная согласованность между уравнениями (90.3) и (90.4); эту общую форму можно интерпретировать геометрически любым из указанных двух способов.

До сих пор мы изучали только бесконечно малые КП, порождаемые каноническими уравнениями. В приведенной выше интерпретации II) мы рассматриваем все точки пространства $E_{2 N+2}$, как заданные бесконечно малыми перемещениями, соответствующими некоторому фиксированному бесконечно малому значению $d w$. Однако из грушповых свойств КП следует, что последовательное выполнение бесконечно малых КП есть опять КП и, следовательно, приходим к заключению, что если мы переместим точки пространства $E_{2 N+2}$ вдоль лучей или траекторий с общим значением конечного приращения $\Delta w$ для всех их, то тогда результирующее преобразование пространства $E_{2 N+2}$ в себя будет конечным КП. Покажем теперь, как может быть построена производящая функция этого конечного КП (предшолагается, что канонические уравнения движения интегрируемы).

Для произвольной кривой $C$ в простравстве $Q T P H$, вдоль которой задан монотонный параметр $u$, интеграл
\[
G=\int\left\{y_{r} d x_{r}-\Omega(x, y) d u\right\}
\]

имеет смысл. Полная вариация этого интеграла дает
$\delta G=\left[y_{r} \delta x_{r}-\Omega \delta u\right]+$
\[
+\int\left(\delta y_{r} d x_{r}-\delta x_{r} d y_{r}-\delta \Omega d u+d \Omega \delta u\right) .
\]

Попытаемся отыскать те кривые $C$, для которых $\delta G=0$, если на вариацию кривой наложөны только следующиө условия:
1) концевые значения $x_{r}^{*}, x_{r}$ постоянны,
2) приращение $\Delta u$ параметра $u$ вдоль кривой постоянно.
Мы можем положить в (90.6) $\delta u=0$; тогда получим
\[
\delta G=\int\left\{\delta x_{r}\left(-d y_{r}-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}} d u\right)+\delta y_{r}\left(d x_{r}-\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}} d u\right)\right\} .
\]

Поэтому искомые кривые удовлетворяют уравнениям
\[
\frac{d x_{r}}{d u}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}, \quad \frac{d y_{r}}{d u}=-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}} .
\]

Это означает, что такие кривые являются лучами или траекториями, а также, что параметр $u$ на любой из этих кривых есть специальный параметр ( $u=w$ ). Более того, из природы вариационного принципа, приведенного здесь, следует, что $2 N+3$ величин $x^{*}, x, \Delta w$, выбранные произвольно, определяют значение интеграла
\[
G\left(x^{*}, x, \Delta w\right)=\int\left\{y_{r} d x_{r}-\Omega(x, y) d w\right\},
\]

вычисленного вдоль луча или траектории (рис. 42).
Задавая произвольные вариации $2 N+3$ величинам $\left(x^{*}, x, \Delta w\right)$, получаем из (90.6)
\[
\frac{\partial G}{\partial x_{r}}=y_{r}, \quad \frac{\partial G}{\partial x_{r}^{*}}=-y_{r}^{*},
\]

а также
\[
\frac{\partial G}{\partial \Delta w}=-\Omega(x, y)=-\Omega\left(x^{*}, y^{*}\right) .
\]

Вдоль луча или траектории $\Omega=$ const, согласно уравнениям (90.8). Мы видим, что (90.10) совцадает с КП (88.20c) и, следовательно, заключаем, что для любого заданного значени q $\Delta w$ функция $G\left(x^{*}, x, \Delta w\right)$, полученная интегрированием вдоль лучей или траекторий, является производлщей функцией конечного КП, которое преобразует пространство QTPH в себя. В самом деле, мы имеем однопараметрическое семейство КП с параметром $\Delta w$.
Предполагая, что канонические уравнения (90.8) проинтегрированы, можно построить производящую функцию следующим образом:
I) Берем в пространстве QTPH произвольную точку $B^{*}$ с координатами $x^{*}, y^{*}$.
II) Через точку $B^{*}$ проводим луч

Рис. 42. Построение производящей функции $G\left(x^{*}, x, \Delta \omega\right)$ в $Q T P H$. или траекторию $C$, удовлетворяющую уравнениям (90.8), и продолжаем ее до тех пор, пока ео специальный параметр $w^{\text {не }}$ возрастет на заданную величину $\Delta w$. Пусть $B(x, y)$ – точка, полученная таким образом. Тогда имеем функциональные соотношения
\[
x_{r}=x_{r}\left(x^{*}, y^{*}, \Delta w\right), \quad y_{r}=y_{r}^{*}\left(x^{*}, y^{*}, \Delta w\right) .
\]
III) Решаем первую систему этих уравнений, получая при этом
\[
y_{r}^{*}=y_{r}^{*}\left(x^{*}, x, \Delta w\right) .
\]
IV) Вычисляем интеграл (90.9) от $B^{*}$ до $B$ по кривой $C$, причем $(x, y)$ – функции $\left(x^{*}, y^{*}, \Delta w\right.$ ) вида (90.12); таким образом, $G$ оказывается функцией $\left(x^{*}, y^{*}, \Delta w\right)$.
V) Подставляем в (90.5) значения $y_{r}^{*}(90.13)$, чтобы получить $G\left(x^{*}, x, \Delta w\right)$.

Формулами (88.8) установлена инвариантность циркуляции действия относительно КП. Этот результат допускает двойную интерпретацию согласно тому способу, каким мы рассматриваем КП. В случае уравнений (88.8) это, как мы видели, было вопросом изменения «этикеток»

неподвижных точек. Чтобы получить другую точку зрения, проще всего начать все рассуждения снова.

Рис. 43 показывает контур $C$ в пространстве $Q T P H$ и трубку, содержащую $C$; эта трубка состоит из лучей или траекторий (часть естественной конгруэнции). Удобно сохранить обозначение $d$ для смещения вдоль естественной конгруэнции, чтобы были справедливы уравнения
\[
\left.\begin{array}{l}
d x_{r}=d w \cdot \frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}, \\
d y_{r}=-d w \cdot \frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}} \cdot
\end{array}\right\} \text { 90.14) }
\]

Для обозначения перемещений вдоль контура $C$ мы будем употреблять знак $\delta$, так что циркуляция по $C$ равна
\[
x(C)=\oint_{C} y_{r} \delta x_{r} .(90.15)
\]

Рис. 43. Контур $C$ и трубка, образованная кривыми естественной конгруэнции в QTP H.

Если переместить $C$ в положение $C_{1}$ вдоль естественной конгруэнции, то получим уравнение
\[
\begin{aligned}
x\left(C_{1}\right)-x(C) & =d x(C)= \\
= & d \oint_{C} y_{r} \delta x_{r}=\oint_{C}\left(d y_{r} \delta x_{r}-d x_{r} \delta y_{r}\right)
\end{aligned}
\]

или, согласно (90.14),
\[
d x(C)=-\oint_{C} d w \delta \Omega,
\]

где переменная интегрирования $\Omega$, a $d w$ – бесконечно малый скаляр, заданный вдоль $C$.

Если $d w=$ const, то для стягиваемого в точку контура получаем
\[
d x(C)=-d w \oint_{C} \delta \Omega=0 .
\]

Таким образом, циркуляция действия по стягиваемому в точку контуру остается неизменной при смещении этого контура вдоль естественной конгруэнции на фиксированное бесконечно малое приращение специальноео параметра, а следовательно, также и на фиксированное конечное приращение.

Отметим, как второй вывод из уравнения (90.17), что если $C$ проведен на поверхности энергии $\Omega=0$ (или, более общий случай, на $\Omega=$ const), то $\delta \Omega=0$, и отсюда $d x(C)=0$. Нет необходимости полагать $d w$ постоянным, а поэтому циркуляция действия имеет общее значение для всех контуров (приводимых и неприводимых), проведенных на поверхности энергии, которая может быть деформирована в другую смещением вдоль естественной конгруэнции.

В обозначениях ( $q, t, p, H$ ) циркуляция по любому контуру есть
\[
x(C)=\oint_{C} y_{r} \delta x_{r}=\oint_{C}\left(p_{\rho} \delta q_{\rho}-H \delta t\right) .
\]

Для контура на поверхности энергии $H$ задана как функция переменных $(q, t, p)$.
Так как имеет место условие
\[
\oint_{C} y_{r} \delta x_{r}=-\oint_{C} x_{r} \delta y_{r}
\]

то этот же результат справедлив для циркуляции, определенной как
\[
\oiint_{c} x_{r} \delta y_{r}=\oiint_{c}^{\bullet}\left(q_{\rho} \delta p_{\rho}-t \delta H\right) .
\]

Циркуляция действия есть пример относительного интегрального инварианта. Интегральные инварианты определяются следующим образом.

Пусть $S_{M}$ – некоторое $M$-мерное подпространство $Q T P H$ или может быть само $Q T P H$, так что $1 \leqslant M \leqslant$ $\leqslant 2 N+2$. Проведем через $S_{M}$ естественную конгруәнцию и получим из $S_{M}$ систему подпространств $S_{M}(w)$, откладывая вдоль лучей или траекторий одни и те же зна-

чения $w$, начиная с $w=0$ на $S_{M}$; таким образом, $S_{M}=S_{M}(0)$. Если какой-либо интеграл, взятый по $S_{M}$, остается неизменным при такой операции, т. е. если $I$ для $S_{M}(w)$ не зависит от $w$, то $I$ называют интегральным инвариантом, абсолютным, если $S_{M}$ – открытое пространство, и относительным, если оно замкнутое (как для контура $C$, например). Интегральные инварианты в пространстве $Q P$ будут обсуждены в § 98 .