КП, которые мы рассматривали, были конечными преобразованиями. Для того чтобы получить бесконечно малое КП, т. е. преобразование, близкое к тождественному, вспомним, что тождественное преобразование было дано формулами (88.22); соответственно следуя плану (88.20c), вводим производящую функцию
$$G_3(x,y^{\prime })=x_r{y}_r^{\prime }+F(x,y^{\prime })du,$$

где функция $F$ произвольна, а $du$ — бесконечно малая постоянная величина. Эта формула дает КП
$$y_r=y_r^{\prime }+du\cdot \frac{\partial F(x,y^{\prime })}{\partial x_r},x_r^{\prime }=x_r+du\cdot \frac{\partial F(x,y^{\prime })}{\partial y_r^{\prime }}$$

или, с точностью до членов первого порядка, выражения
$$\begin{array}{l}d{x}_r=x_r^{\prime }-x_r=du\cdot \frac{\partial F(x,y)}{\partial y_r},\\ d{y}_r=y_r^{\prime }-y_r=-du\cdot \frac{\partial F(x,y)}{\partial x_r}\cdot \end{array}\}$$

Здесь мы заменили в частных производных $y^{\prime }$ на $y$. Если напишем канонические уравнения (86.6) в форме
$$d{x}_r=dw\cdot \frac{\partial \mathrm{\Omega }(x,y)}{\partial y_r},d{y}_r=-dw\cdot \frac{\partial \mathrm{\Omega }(x,y)}{\partial x_r}$$

и сравним их с (90.3), то можно сказать, что канонические уравнения порождают бесконечно малое КII, приращение $dw$ специального параметра $w$ играет роль инфинитезимальной постоянной $du$, а функция энергии $\mathrm{\Omega }$ — роль функции $F$.

Однако здесь имеет место существенное изменениө в точке зрения, которое может быть источником серьезных недоразумений. До сих пор мы рассматривали КП как изменение, так сказать, «этикетки», прикрепленной к неподвижной точке в пространстве $QTPH$, а канонические уравнения — как описание движения изображающей

точки в QTPH в некоторой неподвижной системе координат. Этот дуализм интерпретации имеет место во всей теории преобразований, и мы сталкиваемся с ним, когда исследуем две возможные интерпретации КП.
I) Имеем совокупность геометрических объектов (точки в QTPH), которым могут быть сопоставлены различные групшы «әтикеток» $(x,y),(x^{\prime },y^{\prime })$.
II) Имеем евклидово пространство $E_{2N+2}$ с одной фиксированной системой прямоугольных координат и $(x,y),(x^{\prime },y^{\prime })$ — координаты двух различных точек этого пространства $E_{2N+2}$ в этой системе координат.

Согласно первой точке зрения преобразование $(x,y)\to (x^{\prime },y^{\prime })$ изменяет «этикетки», прикрепленные к неподвижным точкам; согласно второй — преобразование смещает точки, а пространство $E_{2N+2}$ в целом преобразуется в себя. Если положить $F=\mathrm{\Omega }$ и $du=dw$, то существует полная формальная согласованность между уравнениями (90.3) и (90.4); эту общую форму можно интерпретировать геометрически любым из указанных двух способов.

До сих пор мы изучали только бесконечно малые КП, порождаемые каноническими уравнениями. В приведенной выше интерпретации II) мы рассматриваем все точки пространства $E_{2N+2}$, как заданные бесконечно малыми перемещениями, соответствующими некоторому фиксированному бесконечно малому значению $dw$. Однако из грушповых свойств КП следует, что последовательное выполнение бесконечно малых КП есть опять КП и, следовательно, приходим к заключению, что если мы переместим точки пространства $E_{2N+2}$ вдоль лучей или траекторий с общим значением конечного приращения $\mathrm{\Delta }w$ для всех их, то тогда результирующее преобразование пространства $E_{2N+2}$ в себя будет конечным КП. Покажем теперь, как может быть построена производящая функция этого конечного КП (предшолагается, что канонические уравнения движения интегрируемы).

Для произвольной кривой $C$ в простравстве $QTPH$, вдоль которой задан монотонный параметр $u$, интеграл
$$G=\int \{y_{r}d{x}_r-\mathrm{\Omega }(x,y)du\}$$

имеет смысл. Полная вариация этого интеграла дает
$\delta G=[y_r\delta x_r-\mathrm{\Omega }\delta u]+$
$$+\int (\delta y_{r}d{x}_r-\delta x_{r}d{y}_r-\delta \mathrm{\Omega }du+d\mathrm{\Omega }\delta u).$$

Попытаемся отыскать те кривые $C$, для которых $\delta G=0$, если на вариацию кривой наложөны только следующиө условия:
1) концевые значения $x_r^{\ast },x_r$ постоянны,
2) приращение $\mathrm{\Delta }u$ параметра $u$ вдоль кривой постоянно.
Мы можем положить в (90.6) $\delta u=0$; тогда получим
$$\delta G=\int \{\delta x_r(-d{y}_r-\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_r}du)+\delta y_r(d{x}_r-\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial y_r}du)\}.$$

Поэтому искомые кривые удовлетворяют уравнениям
$$\frac{d{x}_r}{du}=\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial y_r},\frac{d{y}_r}{du}=-\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_r}.$$

Это означает, что такие кривые являются лучами или траекториями, а также, что параметр $u$ на любой из этих кривых есть специальный параметр ( $u=w$ ). Более того, из природы вариационного принципа, приведенного здесь, следует, что $2N+3$ величин $x^{\ast },x,\mathrm{\Delta }w$, выбранные произвольно, определяют значение интеграла
$$G(x^{\ast },x,\mathrm{\Delta }w)=\int \{y_{r}d{x}_r-\mathrm{\Omega }(x,y)dw\},$$

вычисленного вдоль луча или траектории (рис. 42).
Задавая произвольные вариации $2N+3$ величинам $(x^{\ast },x,\mathrm{\Delta }w)$, получаем из (90.6)
$$\frac{\partial G}{\partial x_r}=y_r,\frac{\partial G}{\partial x_r^{\ast }}=-y_r^{\ast },$$

а также
$$\frac{\partial G}{\partial \mathrm{\Delta }w}=-\mathrm{\Omega }(x,y)=-\mathrm{\Omega }(x^{\ast },y^{\ast }).$$

Вдоль луча или траектории $\mathrm{\Omega }=$ const, согласно уравнениям (90.8). Мы видим, что (90.10) совцадает с КП (88.20c) и, следовательно, заключаем, что для любого заданного значени q $\mathrm{\Delta }w$ функция $G(x^{\ast },x,\mathrm{\Delta }w)$, полученная интегрированием вдоль лучей или траекторий, является производлщей функцией конечного КП, которое преобразует пространство QTPH в себя. В самом деле, мы имеем однопараметрическое семейство КП с параметром $\mathrm{\Delta }w$.
Предполагая, что канонические уравнения (90.8) проинтегрированы, можно построить производящую функцию следующим образом:
I) Берем в пространстве QTPH произвольную точку $B^{\ast }$ с координатами $x^{\ast },y^{\ast }$.
II) Через точку $B^{\ast }$ проводим луч

Рис. 42. Построение производящей функции $G(x^{\ast },x,\mathrm{\Delta }\omega )$ в $QTPH$. или траекторию $C$, удовлетворяющую уравнениям (90.8), и продолжаем ее до тех пор, пока ео специальный параметр $w^{\text{не }}$ возрастет на заданную величину $\mathrm{\Delta }w$. Пусть $B(x,y)$ — точка, полученная таким образом. Тогда имеем функциональные соотношения
$$x_r=x_r(x^{\ast },y^{\ast },\mathrm{\Delta }w),y_r=y_r^{\ast }(x^{\ast },y^{\ast },\mathrm{\Delta }w).$$
III) Решаем первую систему этих уравнений, получая при этом
$$y_r^{\ast }=y_r^{\ast }(x^{\ast },x,\mathrm{\Delta }w).$$
IV) Вычисляем интеграл (90.9) от $B^{\ast }$ до $B$ по кривой $C$, причем $(x,y)$ — функции $(x^{\ast },y^{\ast },\mathrm{\Delta }w$ ) вида (90.12); таким образом, $G$ оказывается функцией $(x^{\ast },y^{\ast },\mathrm{\Delta }w)$.
V) Подставляем в (90.5) значения $y_r^{\ast }(90.13)$, чтобы получить $G(x^{\ast },x,\mathrm{\Delta }w)$.

Формулами (88.8) установлена инвариантность циркуляции действия относительно КП. Этот результат допускает двойную интерпретацию согласно тому способу, каким мы рассматриваем КП. В случае уравнений (88.8) это, как мы видели, было вопросом изменения «этикеток»

неподвижных точек. Чтобы получить другую точку зрения, проще всего начать все рассуждения снова.

Рис. 43 показывает контур $C$ в пространстве $QTPH$ и трубку, содержащую $C$; эта трубка состоит из лучей или траекторий (часть естественной конгруэнции). Удобно сохранить обозначение $d$ для смещения вдоль естественной конгруэнции, чтобы были справедливы уравнения
$$\begin{array}{l}d{x}_r=dw\cdot \frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial y_r},\\ d{y}_r=-dw\cdot \frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_r}\cdot \end{array}\}\text{ 90.14) }$$

Для обозначения перемещений вдоль контура $C$ мы будем употреблять знак $\delta$, так что циркуляция по $C$ равна
$$x(C)={\oint }_C{y}_r\delta x_r.(90.15)$$

Рис. 43. Контур $C$ и трубка, образованная кривыми естественной конгруэнции в QTP H.

Если переместить $C$ в положение $C_1$ вдоль естественной конгруэнции, то получим уравнение
$$\begin{array}{rl}x\left(C_1\right)-x(C)& =dx(C)=\\ =& d{\oint }_C{y}_r\delta x_r={\oint }_C(d{y}_r\delta x_r-d{x}_r\delta y_r)\end{array}$$

или, согласно (90.14),
$$dx(C)=-{\oint }_{C}dw\delta \mathrm{\Omega },$$

где переменная интегрирования $\mathrm{\Omega }$, a $dw$ — бесконечно малый скаляр, заданный вдоль $C$.

Если $dw=$ const, то для стягиваемого в точку контура получаем
$$dx(C)=-dw{\oint }_C\delta \mathrm{\Omega }=0.$$

Таким образом, циркуляция действия по стягиваемому в точку контуру остается неизменной при смещении этого контура вдоль естественной конгруэнции на фиксированное бесконечно малое приращение специальноео параметра, а следовательно, также и на фиксированное конечное приращение.

Отметим, как второй вывод из уравнения (90.17), что если $C$ проведен на поверхности энергии $\mathrm{\Omega }=0$ (или, более общий случай, на $\mathrm{\Omega }=$ const), то $\delta \mathrm{\Omega }=0$, и отсюда $dx(C)=0$. Нет необходимости полагать $dw$ постоянным, а поэтому циркуляция действия имеет общее значение для всех контуров (приводимых и неприводимых), проведенных на поверхности энергии, которая может быть деформирована в другую смещением вдоль естественной конгруэнции.

В обозначениях ( $q,t,p,H$ ) циркуляция по любому контуру есть
$$x(C)={\oint }_C{y}_r\delta x_r={\oint }_C(p_{\rho }\delta q_{\rho }-H\delta t).$$

Для контура на поверхности энергии $H$ задана как функция переменных $(q,t,p)$.
Так как имеет место условие
$${\oint }_C{y}_r\delta x_r=-{\oint }_C{x}_r\delta y_r$$

то этот же результат справедлив для циркуляции, определенной как
$${\text{oiint}}_c{x}_r\delta y_r={\text{oiint}}_c^{\bullet }(q_{\rho }\delta p_{\rho }-t\delta H).$$

Циркуляция действия есть пример относительного интегрального инварианта. Интегральные инварианты определяются следующим образом.

Пусть $S_M$ — некоторое $M$-мерное подпространство $QTPH$ или может быть само $QTPH$, так что $1⩽M⩽$ $⩽2N+2$. Проведем через $S_M$ естественную конгруәнцию и получим из $S_M$ систему подпространств $S_M(w)$, откладывая вдоль лучей или траекторий одни и те же зна-

чения $w$, начиная с $w=0$ на $S_M$; таким образом, $S_M=S_M(0)$. Если какой-либо интеграл, взятый по $S_M$, остается неизменным при такой операции, т. е. если $I$ для $S_M(w)$ не зависит от $w$, то $I$ называют интегральным инвариантом, абсолютным, если $S_M$ — открытое пространство, и относительным, если оно замкнутое (как для контура $C$, например). Интегральные инварианты в пространстве $QP$ будут обсуждены в § 98 .