Рассмотрим $N+1$-мерное пространство событий $Q T$ с координатами $q_{1}, \ldots, q_{N}, t$. Ради удобства обозначений, а также имея в виду приложения к теории относительности; положим
\[
q_{\rho}=x_{p}, \quad t=x_{N+1},
\]

так что координатами в пространстве $Q T$ являются $x_{r}$ (см. обозначения § 62).

Пусть $\Gamma$ – какая-нибудь кривая в пространстве $Q T$, уравнения которой имеют вид
\[
x_{r}=x_{r}(u) .
\]

Мы предполагаем, что эти функции гладкие (класс $C^{2}$ ) и что все производные
\[
x_{r}^{\prime} \equiv \frac{d x_{r}}{d u}
\]

не обращаются в нуль одновременно ни при каких рассматриваемых значениях $u$. Параметр $u$ не имеет особого значения; в нашем распоряжении имеется целый класс параметров, полученных один из другого преобразованием $C^{2}$ с необращающейся в нуль положительной первой производной, так что все параметры возрастают одновременно. Итак, имеется кривая Г в пространстве QT с некоторым определенным направлением на ней, но без какой-либо частной параметризации, так что перед нами геометрический объект; он соответствует возможному движению систөмы.

Введем однородную паеранжеву ${ }^{1}$ ) функцию
\[
\Lambda\left(x_{1}, \ldots, x_{N+1}, x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{N+1}^{\prime}\right) \quad\left(x_{r}^{\prime}=\frac{d x_{r}}{d u}\right),
\]

которую обозначим ради краткости через $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$. Потребуем, чтобы эта функция была положительной и однородной первой степени относительно производных $x_{r}^{\prime}$, так что выполняется условие
\[
\Lambda\left(x, k x^{\prime}\right)=k \Lambda\left(x, x^{\prime}\right) \quad(k>0),
\]

и согласно теореме Эйлера для однородных функций имеют место соотношения
\[
x_{r}^{\prime} \frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}^{\prime}}=\Lambda \text {. }
\]

Что касается гладкости, то мы будем предполагать существование и непрерывность производных до того порядка, который может потребоваться. Если все-таки разрывы появляются при рассмотрении того или иного вопроса, то их можно обсудить особо.

В области пересечения координатных систем $\Lambda$ преобразуется как инвариант в смысле тензорного исчисления. Если $x_{r}^{*}$ и $x_{r}$ – две системы координат, а $\Lambda^{*}$ и $\Lambda$ два лагранжиана, то
\[
\Lambda^{*}\left(x^{*}, x^{*}\right)=\Lambda\left(x, x^{\prime}\right) .
\]

Лагранжево действие ${ }^{2}$ ) вдоль некоторой направленной кривой $\Gamma$, проведенной из точки $B^{*}$ (где $u=u_{1}$ ) в точку $B$

(где $u=u_{2}>u_{1}$ ), определяется следующим образом:
\[
A_{L}\left(\mathrm{I}^{\prime}\right)=\int_{u_{1}}^{u_{2}} \Lambda\left(x, x^{\prime}\right) d u,
\]

так что $A_{L}(\Gamma)$ – функционал; он зависит от выбора кривой $\Gamma$. Вследствие однородности $\Lambda, A_{L}(\Gamma)$ не зависит от параметризации. Элемент лагранжева действия есть
\[
d A_{L}=\Lambda\left(x, x^{\prime}\right) d u=\Lambda(x, d x) .
\]

Вообще говоря, между действием от точки $B^{*}$ к $B$ и действием от точки $B$ к $B^{*}$ не существует никакой связи, даже если кривая одна и та же в обоих случаях.

Определяя в пространстве $Q T$ элемент действия $\Lambda(x, d x)$, мы превращаем его в пространство Финслера (выражаясь на геометрическом языке). Если $\Lambda(x, d x)$ квадратный корень из однородной дифференциальной квадратичной формы, то QT – пространство Римана.

Элемент лагранжева действия (64.8) можно написать более подробно так:
\[
d A_{L}=\Lambda\left(x_{1}, \ldots, x_{N}, x_{N+1}, x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{N}^{\prime}, x_{N+1}^{\prime}\right) d u .(64.9)
\]

Вследствие однородности $\Lambda$ элемент лагранжева действия $d A_{L}$ не зависит от выбора параметра $u$. Примем $u=t$; тогда согласно (64.1) справедливо равенство
\[
d A_{L}=\Lambda\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, t, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, 1\right) d t .
\]

Определим функцию $L(q, t, \dot{q})$ следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
L\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, t, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)= \\
\quad=\Lambda\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, t, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, 1\right) .
\end{array}
\]

Элемент лагранжева действия равен тогда
\[
d A_{L}=L(q, t, \dot{q}) d t .
\]

Эта функция $L(q, t, \dot{q})$ назывдется обыкновенной лагранжевой функцией (ср. § 46).

Две функции, $\Lambda$ (функция $2 N+2$ переменных, положительная и однородная первой степени относительно

последних $N+1$ из них) и $L$ (функция $2 N+1$ переменной, не ограниченная никаким таким условием), эквивалентны друг другу в том смысле, что одна определяет другую. Если дана функция $\Lambda$, мы получим функцию $L$ из уравнений (64.11); наоборот, пусть задана $L$, мы получим функцию $\Lambda$, приравняв $(64.9$ ) и (64.12) и разделив на $d u$. Таким образом,
\[
\begin{array}{c}
\Lambda\left(x_{1}, \ldots, x_{N}, x_{N+1}, x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{N}^{\prime}, x_{N+1}^{\prime}\right)= \\
=L\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, t, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}\right) t^{\prime}= \\
=L\left(x_{1}, \ldots, x_{N}, x_{N+1}, \frac{x_{1}^{\prime}}{x_{N+1}^{\prime}}, \ldots, \frac{x_{N}^{\prime}}{x_{N+1}^{\prime}}\right) x_{N+1}^{\prime}
\end{array}
\]

что удовлетворяет требованию однородности.
Для того чтобы найти соотношения между частными производными функций $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$ и $L(q, t, \dot{q})$, варьируем $x_{r}$ и $x_{r}^{\prime}$ в $(64.13)$. Получаем
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}} \delta x_{r} & +\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}^{\prime}} \delta x_{r}^{\prime}= \\
& =t^{\prime}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{\rho}} \delta q_{\rho}+\frac{\partial L}{\partial t} \delta t+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}} \delta \dot{q}_{\rho}\right)+L \delta t^{\prime} .
\end{aligned}
\]

Ho
\[
\dot{q}_{\rho}=\frac{q_{\rho}^{\prime}}{t^{\prime}}, \quad \delta \dot{q}_{\rho}=\frac{\delta q_{\rho}^{\prime}}{t^{\prime}}-\frac{q_{\rho}^{\prime} \delta t^{\prime}}{t^{\prime 2}} .
\]

Подставляя эти значения в (64.14), заменяя $\delta q_{\rho}$ на $\delta x_{\rho}$, а $\delta q_{\rho}^{\prime}$ – на $\delta x_{\rho}^{\prime}, \delta t^{\prime}$ – на $\delta x_{N+1}^{\prime}$ и приравнивая коэффициенты при $2 N+2$ независимых вариациях $\delta x_{r}, \delta x_{r}^{\prime}$, получаем
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial \Lambda}{d x_{\rho}}=t^{\prime} \frac{\partial L}{\partial q_{\rho}}, \frac{\partial \Lambda}{\partial x_{N+1}}=t^{\prime} \frac{\partial L}{\partial t}, \\
\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{\rho}^{\prime}}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}}, \frac{\partial \Lambda}{\partial x_{N+1}^{\prime}}=1-\dot{q}_{\rho} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}} \cdot
\end{array}\right\}
\]