Рассмотрим консервативную динамическую систему; время $t$ не входит явно в гамильтониан, так что имеем
$$H=H(q,p).$$

Тогда вдоль любой траектории выполняется уравнение
$$H(q,p)=E\text{. }$$

Будем называть $E$ полной энергией, так как $E$ имеет точно этот смысл в обыкновенных динамических системах.

Будем изучать изоэнергетическую динамику (ср. § 62) в пространстве $Q$; под изоэнергетической динамикой мы понимаем, что $E=$ const не только вдоль каждой траектории, но и для всей системы рассматриваемых траекторий, а также и для тех варьированных кривых, которые придется ввести в ходе исследования. Итак, $E$ — постоянная величина в изоэнергетической динамике.

Пусть $E$ — заданное число, и пусть мы начинаем рассматривать систему в точке $D^{\ast }$ пространства $Q$ в момент $t^{\ast }$ и с некоторыми начальными импульсами, удовлетворяющими условию (82.2). Пусть $\mathrm{\Gamma }$ — кривая, описанная точкой в пространстве $Q$ в соответствии с уравнениями движения. Затем, если $D$ — положение изображающей

точки на $\mathrm{\Gamma }$ в момент времени $t$, то гамильтоново действие от точки $D^{\ast }$ до точки $D$ согласно (68.1) равно
$$A_H(\mathrm{\Gamma })={\int }_{\mathrm{\Gamma }}(p_{\rho }d{q}_{\rho }-Hdt)={\int }_{\mathrm{\Gamma }}{p}_{\rho }d{q}_{\rho }-(t-t^{\ast })E.$$

Рассмотрим какую-нибудь близкую кривую ${\mathrm{\Gamma }}_1$, соединяющую точки $D^{\ast }$ и $D$, описанную в тот же интервал времени $(t^{\ast },t)$ и имеющую соотнесенное ей векторное поле $p_{\rho }$, удовлетворяющее уравнению (82.2) и почти такое же, как соответствующее векторное поле для $\mathrm{\Gamma }$. Тогда
$$A_H\left({\mathrm{\Gamma }}_1\right)={\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_1}{p}_{\rho }d{q}_{\rho }-(t-t^{\ast })E$$

и отсюда
$$\delta A_H=A_H\left({\mathrm{\Gamma }}_1\right)-A_H(\mathrm{\Gamma })=\delta \int p_{\rho }d{q}_{\rho }.$$

Но согласно принципу Гамильтона (68.12) имеем $\delta A_H=0$, поэтому траектория в пространстве $Q$ удовлетворяет (безотносительно ко времени $t$ ) следующему вариационному уравнению и условию:
$$\delta \int p_{\rho }d{q}_{\rho }=0,H(q,p)-E=0;$$

при этом концевые точки в пространстве $Q$ закреплены.
Если сравнить теперь эту изоэнергетическую динамику в $Q$ с общей динамикой в $QT$, основанной на вариационном уравнении (68.5), т. е. на
$$\delta \int y_{r}d{x}_r=0,\mathrm{\Omega }(x,y)=0,$$

то увидим полную тождественность двух динамик, за исключением тривиальных различий в размерности: $N$ — для случая (82.4) и $N+1$ — для (82.5). Переход от одной динамики к другой осуществляется следующим образом:
$$\begin{array}{c}{x}_r\to q_{\rho },y_r\to p_{\rho },\\ \mathrm{\Omega }(x,y)=0\to H(q,p)-E=0.\end{array}\}$$

Вся теория, развитая в гл. Д II для общей динамики в пространстве $QT$, сохраняется для изоэнергетической динамики в пространстве $Q$; некоторые аспекты ее мы обсудим в $\mathrm{\S }83$.

Заметим, тто время $t$ исчезло из уравнений (82.4), так что если мы не используем ничего, кроме них, то трудно ожидать, тто в дальнейшем время вновь появится в уравнениях. Однако дело обстоит именно так. В самом деле, если применить к уравнениям (82.4) метод, с помощью которого мы находили экстремали уравнения (68.5), то получаем уравнения
$$\frac{d{q}_{\rho }}{dw}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho }},\frac{d{p}_{\rho }}{dw}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho }},$$

где $w-$ некоторый специальный параметр. Однако мы знаем, что траектории удовлетворяют каноническим уравнениям (68.16), т. е. уравнениям
$$\frac{d{q}_{\rho }}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho }},\frac{d{p}_{\rho }}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho }}.$$

Сравнивая их с уравнениями (82.7), видим, что хотя мы исключили время $t$, оно войдет как специальный параметр в канонические дифференциальные уравнения, выведенные из (82.4).

Если мы решили динамическую проблему в пространстве $Q$, получив некоторую кривую и поле импульсов вдоль нее, то можно использовать какое-нибудь одно из уравнений системы (82.8) для того, чтобы найти время $t$; но можно для этой цели вывести и новое уравнение, например уравнение
$$dt=\frac{p_{0}d{q}_{\rho }}{p_{\sigma }\partial H/\partial p_{\sigma }}.$$

Имеется другой путь нахождения времени движения в изоэнергетической динамике, который, однако, может быть причиной немалой путаницы. Согласно этому методу каждой варьированной кривой ставится в соответствие параметр $t$ следующим образом. Пусть дано некоторое произвольное движение $q_{\rho }=q_{\rho }(t)$, вообще говоря, не

удовлетворяющее каноническим уравнениям (82.8), а естественный импульс (cp. (71.11) ) $p_{\rho }(t)$ пусть задан в виде
$$p_{\rho }=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{\rho }},$$

где $L$ — лагранжева функция. Подбирая параметр $t$, можно добиться, чтобы удовлетворялось уравнение $H(q,p)=E$; тогда можно записать вариационное уравнение (82.4) в более ограниченной форме, именно,
$$\delta \int \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{\rho }}{\dot{q}}_{\rho }dt=0,H(q,\frac{\partial L}{\partial \dot{q}})-E=0,$$

при варьировании концевые точки закрешлены в $Q$, но н е закреплены во времени, причем время $t$ на каждой кривой получается из второго уравнения (82.11). Это вариационное уравнение является более узким, чем (82.4), потому что равенства (82.10) накладывают более жесткие ограничения, чем уравнение $H(q,p)=E$. Видимо, все же будет меньше сомнений, если использовать более общее уравнение (82.4) и определять время только на траекториях с помощью уравнения (82.9) или каким-нибудь эквивалентным способом.