Рассмотрим консервативную динамическую систему; время $t$ не входит явно в гамильтониан, так что имеем
\[
H=H(q, p) .
\]

Тогда вдоль любой траектории выполняется уравнение
\[
H(q, p)=E \text {. }
\]

Будем называть $E$ полной энергией, так как $E$ имеет точно этот смысл в обыкновенных динамических системах.

Будем изучать изоэнергетическую динамику (ср. § 62) в пространстве $Q$; под изоэнергетической динамикой мы понимаем, что $E=$ const не только вдоль каждой траектории, но и для всей системы рассматриваемых траекторий, а также и для тех варьированных кривых, которые придется ввести в ходе исследования. Итак, $E$ – постоянная величина в изоэнергетической динамике.

Пусть $E$ – заданное число, и пусть мы начинаем рассматривать систему в точке $D^{*}$ пространства $Q$ в момент $t^{*}$ и с некоторыми начальными импульсами, удовлетворяющими условию (82.2). Пусть $\Gamma$ – кривая, описанная точкой в пространстве $Q$ в соответствии с уравнениями движения. Затем, если $D$ – положение изображающей

точки на $\Gamma$ в момент времени $t$, то гамильтоново действие от точки $D^{*}$ до точки $D$ согласно (68.1) равно
\[
A_{H}(\Gamma)=\int_{\Gamma}\left(p_{\rho} d q_{\rho}-H d t\right)=\int_{\Gamma} p_{\rho} d q_{\rho}-\left(t-t^{*}\right) E .
\]

Рассмотрим какую-нибудь близкую кривую $\Gamma_{1}$, соединяющую точки $D^{*}$ и $D$, описанную в тот же интервал времени $\left(t^{*}, t\right)$ и имеющую соотнесенное ей векторное поле $p_{\rho}$, удовлетворяющее уравнению (82.2) и почти такое же, как соответствующее векторное поле для $\Gamma$. Тогда
\[
A_{H}\left(\Gamma_{1}\right)=\int_{\Gamma_{1}} p_{\rho} d q_{\rho}-\left(t-t^{*}\right) E
\]

и отсюда
\[
\delta A_{H}=A_{H}\left(\Gamma_{1}\right)-A_{H}(\Gamma)=\delta \int p_{\rho} d q_{\rho} .
\]

Но согласно принципу Гамильтона (68.12) имеем $\delta A_{H}=0$, поэтому траектория в пространстве $Q$ удовлетворяет (безотносительно ко времени $t$ ) следующему вариационному уравнению и условию:
\[
\delta \int p_{\rho} d q_{\rho}=0, \quad H(q, p)-E=0 ;
\]

при этом концевые точки в пространстве $Q$ закреплены.
Если сравнить теперь эту изоэнергетическую динамику в $Q$ с общей динамикой в $Q T$, основанной на вариационном уравнении (68.5), т. е. на
\[
\delta \int y_{r} d x_{r}=0, \quad \Omega(x, y)=0,
\]

то увидим полную тождественность двух динамик, за исключением тривиальных различий в размерности: $N$ – для случая (82.4) и $N+1$ – для (82.5). Переход от одной динамики к другой осуществляется следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{c}
x_{r} \rightarrow q_{\rho}, \quad y_{r} \rightarrow p_{\rho}, \\
\Omega(x, y)=0 \rightarrow H(q, p)-E=0 .
\end{array}\right\}
\]

Вся теория, развитая в гл. Д II для общей динамики в пространстве $Q T$, сохраняется для изоэнергетической динамики в пространстве $Q$; некоторые аспекты ее мы обсудим в $\S 83$.

Заметим, тто время $t$ исчезло из уравнений (82.4), так что если мы не используем ничего, кроме них, то трудно ожидать, тто в дальнейшем время вновь появится в уравнениях. Однако дело обстоит именно так. В самом деле, если применить к уравнениям (82.4) метод, с помощью которого мы находили экстремали уравнения (68.5), то получаем уравнения
\[
\frac{d q_{\rho}}{d w}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}, \quad \frac{d p_{\rho}}{d w}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}},
\]

где $w-$ некоторый специальный параметр. Однако мы знаем, что траектории удовлетворяют каноническим уравнениям (68.16), т. е. уравнениям
\[
\frac{d q_{\rho}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}, \quad \frac{d p_{\rho}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}} .
\]

Сравнивая их с уравнениями (82.7), видим, что хотя мы исключили время $t$, оно войдет как специальный параметр в канонические дифференциальные уравнения, выведенные из (82.4).

Если мы решили динамическую проблему в пространстве $Q$, получив некоторую кривую и поле импульсов вдоль нее, то можно использовать какое-нибудь одно из уравнений системы (82.8) для того, чтобы найти время $t$; но можно для этой цели вывести и новое уравнение, например уравнение
\[
d t=\frac{p_{0} d q_{\rho}}{p_{\sigma} \partial H / \partial p_{\sigma}} .
\]

Имеется другой путь нахождения времени движения в изоэнергетической динамике, который, однако, может быть причиной немалой путаницы. Согласно этому методу каждой варьированной кривой ставится в соответствие параметр $t$ следующим образом. Пусть дано некоторое произвольное движение $q_{\rho}=q_{\rho}(t)$, вообще говоря, не

удовлетворяющее каноническим уравнениям (82.8), а естественный импульс (cp. (71.11) ) $p_{\rho}(t)$ пусть задан в виде
\[
p_{\rho}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}},
\]

где $L$ – лагранжева функция. Подбирая параметр $t$, можно добиться, чтобы удовлетворялось уравнение $H(q, p)=E$; тогда можно записать вариационное уравнение (82.4) в более ограниченной форме, именно,
\[
\delta \int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}} \dot{q}_{\rho} d t=0, \quad H\left(q, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-E=0,
\]

при варьировании концевые точки закрешлены в $Q$, но н е закреплены во времени, причем время $t$ на каждой кривой получается из второго уравнения (82.11). Это вариационное уравнение является более узким, чем (82.4), потому что равенства (82.10) накладывают более жесткие ограничения, чем уравнение $H(q, p)=E$. Видимо, все же будет меньше сомнений, если использовать более общее уравнение (82.4) и определять время только на траекториях с помощью уравнения (82.9) или каким-нибудь эквивалентным способом.