Рассмотрим динамическую систему с $N$ обобщенными координатами ${ }^{1}$ ) $q^{\rho}$ и лагранжевой функцией
\[
L=T-V, \quad T=\frac{1}{2} a_{\rho \sigma}(q) \dot{q}^{\rho} \dot{q}^{\sigma}, \quad V=V(q) ;
\]

система движется согласно лагранжевым уравнениям движения
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}^{\rho}}-\frac{\partial T}{\partial q^{\rho}}=-\frac{\partial V}{\partial q^{\rho}} .
\]

Это — обыкновенная динамическая система § 66 (ОДС).
Рассмотрим задачу в пространстве конфигураций $Q$. Изображающая точка описывает траекторию в соответствии с уравнениями (101.2), траектория определяется начальной точкой $q^{\rho}$ и пачальной скоростью $\dot{q}^{\rho}$. Если в некоторой точке пространства $Q$ имеем соотношение
\[
\frac{\partial V}{\partial q^{\rho}}=0,
\]

тогда, если скорость обращается в нуль, никакого движения нет. Эти $N$ уравнений определяют конфигурации $\qquad$

равновесия и можно ожидать, вообще говоря, что будет найдено дискретное множество таких точек в пространстве $Q$, так как число уравнений равно числу координат. Рассмотрим теперь малые колебания около положения равновесия.

Изменив систему координат, можно сделать положение равновесия началом координат 0 (тогда $q^{\rho}=0$ ) и положить также, что $V=0$ в точке $O$ (так как потенциальная энергия всегда определена с точностью до аддитивной постоянной). Раскладывая $V$ и $a_{\rho \sigma}(q)$ в степенны́е ряды в окрестности точки $O$, получаем главные части функций $T$ и $V$ :
\[
T=\frac{1}{2} a_{\rho \sigma} \dot{q}^{\rho} \dot{q}^{\sigma}, \quad V=\frac{1}{2} b_{\rho \sigma} q^{\rho} q^{\sigma} .
\]

Здесь коэффициенты — постоянные и $a_{\rho \sigma}=a_{\sigma \rho}, b_{\rho \sigma}=$ $=b_{\sigma \rho}$. Уравнения движения (101.2) теперь примут вид
\[
a_{\rho \sigma} \ddot{q}^{\sigma}+b_{\rho \sigma} q^{\sigma}=0 .
\]

Ради математической ясности стоит забыть, что мы имеем дело с приближениями и рассматривать уравнения (101.4) и (101.5) как точные уравнения,определяющие напу задачу с конечными $q_{\rho}$; однородность системы позволяет это.

Непосредственный практический метод решения системы (101.5) состоит в том, чтобы подставить значения
\[
q^{\rho}=\alpha^{\rho} e^{i \omega t},
\]

где $\alpha^{\rho}$ — постоянные комплексные амплитуды и $\omega$ — круговая частота. Исключая $\alpha^{\rho}$ из уравнений (101.5), получаем вековое уравнение
\[
\operatorname{det}\left(a_{\rho \sigma} \omega^{2}-b_{\rho \sigma}\right)=0,
\]

из которого надо определить значения $\omega$. Любой положительный корень $\omega^{2}$ дает действительное значение $\omega$. Это — нормальная круговая частота, а соответствующая нормальная мода колебания является действительной частью $q^{9}$ (101.6); амплитуды являются решениями уравнений
\[
\left(a_{0 \sigma} \omega^{2}-b_{
u \sigma}\right) \alpha^{\sigma}=0 .
\]

Отношения величин $\alpha$ — действительные числа, но они имеют некоторый общий произвольный комплексный множитель.

Приведенному методу трудно следовать, если вековое уравнение (101.7) имеет кратные корни; кроме того, мы достигаем значительно более глубокого проникновения в математическую структуру проблемь, представленной уравнениями (101.4) и (101.5), начиная с начала и используя геометрию пространства $Q$. Предполагаем, что кинетическая энергия — положительно определенная функция (что и имеет место в случае всех естественных систем); тогда квадратичная форма
\[
A=a_{\rho \sigma} q^{\rho} q^{\sigma}
\]

также положительно определенная и существует линейное однородное преобразование $(q) \rightarrow\left(q^{\prime}\right)$, которое превращает $\left.{ }^{1}\right) A$ в квадратичную форму:
\[
A=q_{1}^{\prime 2}+q_{2}^{\prime 2}+\ldots+q_{N}^{\prime 2} .
\]

Если обозначить конечные приращения знаком $\Delta$, то формула
\[
D^{2}=a_{\rho \sigma} \Delta q^{0} \Delta q^{\sigma}=\Delta q_{1}^{\prime 2}+\ldots+\Delta q_{N}^{\prime 2}
\]

определяет конечное евклидово расстояние $D$ между некоторыми двумя точками пространства $Q$. (Это интегрируемая форма кинематического линейного элемента § 84.) Кинетическая энергия выражается следующим образом:
\[
T=\frac{1}{2} a_{\rho \sigma} \dot{q}^{\rho} \dot{q}^{\sigma}=-\frac{1}{2}\left(\ddot{q}_{1}^{\prime 2}+\ddot{q}_{2}^{2}+\ldots+\dot{q}_{N}^{2}\right) .
\]

Можно теперь рассматривать $Q$ как евклидово $N$-мерное пространство, $q^{\rho}$ — как косоугольные, а $q_{\rho}^{\prime}$ — прямоугольные декартовы координаты. Мы хотим определить геометрическую форму эквипотенциальных поверхностей, которые имеют уравнения
\[
B=b_{\rho \sigma} q^{\rho} q^{\sigma}=b_{\rho \sigma}^{\prime} q_{\rho}^{\prime} q_{\sigma}^{\prime}=\text { const },
\]

где $b_{\rho \sigma}^{\prime}$ — новые коэффициенты, полученные в результате преобразования.

Для того чтобы исследовать главные оси эквипотенциальных поверхностей и выяснить, какого типа әти поверхности, эллиптического или гиперболического, проведем следующее рассуждение. Удобно иметь перед собой одновременно выражения в обеих координатных системах ( $q$ ) и ( $\left.q^{\prime}\right)$. Будем записывать слевапервые, справа — вторые уравнения. На сфере $S_{N-1}$, уравнение которой
\[
\begin{array}{c}
a_{\rho \sigma} q^{\rho} q^{\sigma}=1 \quad \text { или } \\
q_{1}^{\prime 2}+q_{2}^{\prime 2}+\ldots+q_{N}^{\prime 2}=1,
\end{array}
\]

Рис. 47. Приведение к нормальным координатам методом максимума (случай, когда $N=3$ ).
$B$ есть функция положения; она достигает магсимального значения (обозначим его $\lambda_{1}$ ) в двух или более точках сферы $S_{N-1}$. Пусть $U^{(1) \rho}$ (или $U_{\rho}^{\prime(1)}$ ) — координаты такой точки (рис. 47).

Теперь пересечем сферу $S_{N-1}$ плоскостью, ортогональной этому последнему вектору; уравнение плоскости
\[
a_{\rho \sigma} U^{(1) \rho} q^{\rho}=0 \quad \text { или } \quad U_{\rho}^{\prime(1)} q_{\rho}^{\prime}=0,
\]

получаем при этом $N-2$-мерную сферу (обозначим ее $S_{N-2}$ ). На сфере $S_{N-2}$ величина $B$ достигает максимума $\left(\lambda_{2}\right)$ в двух или более точках; пусть $U^{(2) \rho}$ (или $U_{\rho}^{\prime 2}$ ) координаты такой точки. Имеем условие ортогональности
\[
a_{\rho \sigma} U^{(1) \rho} U^{(2) \sigma}=0 \quad \text { или } \quad U_{\rho}^{\prime(1)} U_{\rho}^{\prime(2)}=0 .
\]

Пересечем затем сферу $S_{N-2}$ плоскостью, ортогональной $U^{(2) \rho}$, получаем сферу $S_{N-3}$ и продолжаем те же рассуждения. Придем в конце концов к окружности $S_{1}$ и, наконед, к паре точек $S_{0}$.

Таким образом, мы получаем систему $N$ взаимно ортогональных единичных векторов $U^{(\sigma)} \varrho$ или $U_{\rho}^{\prime(\sigma)}$ и числа $\lambda_{\sigma}$,

связанные с ними; $\lambda_{\sigma}$ — это максимумы функции $B$ при условиях, установленных выше. Затем с помощью ортогонального преобразования
\[
q_{\rho}^{\prime}=A_{\rho \sigma} q_{\sigma}^{\prime \prime}, \quad A_{\rho \sigma} A_{\rho \tau}=\delta_{\sigma \tau},
\]

перейдем к новым прямоугольным декартовым координатам $q_{\rho}^{\prime \prime}$, оси которых совпадают с полученными выше ортогональными векторами. Благодаря свойствам максимума легко показать, что в форме $B$ отсутствуют все произведения членов, когда $B$ выражена через координаты $q_{\rho}^{\prime \prime}$.

Опуская два птриха в конечных координатах, можно выразить этот результат так. Даны две квадратичные формы $A$ и $B$, причем $A$ — положительно определенная, тогда существует линейное однородное преобразование,-которое превращает $A$ в сумму квадратов переменных, а $B$ в квадратичную форму, в которой отсутствуют произведения членов; соответственно этому кинетическую и потенциальную энергии (101.41) можно преобразовать к следующим выражениям:
\[
\left.\begin{array}{rl}
T & =\frac{1}{2}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\ldots+\dot{q}_{N}^{2}\right), \\
V & =\frac{1}{2}\left(\lambda_{1} q_{1}^{2}+\lambda_{2} q_{2}^{2}+\ldots+\lambda_{N} q_{N}^{2}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Эти последние координаты называются нормальными координатами. В этих рассуждениях несущественно, являются ли $\lambda_{i}$ положительными или их знаки различны; все они конечные действительные числа ${ }^{1}$ ), так как наша аргументация не выходила за пределы вещественной области.

Как только энергии приведены к нормальной форме (101.18), исследование движения становится предельно шростым, ибо уравнения движения (101.2) принимают вид
\[
\ddot{q}_{1}+\lambda_{1} q_{1}=0, \ldots \quad \ddot{q}_{N}+\lambda_{N} q_{N}=0,
\]

в котором переменные разделены. Любое из этих уравнений имеет следующее решение (в зависимости от знака числа $\lambda$, входящего в уравнение):
\[
\left.\begin{array}{lll}
q=a \cos \sqrt{\lambda} t+b \sin \sqrt{\lambda} t, & \text { если } & \lambda>0, \\
q=a t+b, & \text { если } & \lambda=0, \\
q=a \operatorname{ch} \sqrt{-\lambda} t+b \operatorname{sh} \sqrt{-\lambda} t, & \text { если } & \lambda<0
\end{array}\right\}
\]

где $a$ и $b$ — постоянные.
Равновесие устойчиво при любом из следующих эквивалентных условий:
I) Все $\lambda$ — положительны.
II) $b_{\rho \sigma} q^{\rho} q^{\sigma}$ — положительно определенная форма.
III) $V$ — потенциальная энергия — достигает истинного минимума в равновесии.

Если одно из чисел $\lambda$ равно нулю или отрицательно, то равновесие неустойчиво. В случае устойчивости эквипотенциальные -поверхности — эллиптического типа; в случае неустойчивости они либо эллиптические ( $V$ имеет максимум в центре), либо гиперболические, либо цилиндрические.

Предположим равновесие устойчивым так, что каждая нормальная координата изменяется синусоидально как в первом случае в (101.20). Тогда н о р м а ль н а я мод а колебания есть та, в которой колеблется только одна нормальная координата, а другие равны нулю, а нормальные частоты $\gamma_{\rho}$ и нормальные круговые частоты $\omega_{\rho}$ равны соответственно
\[
v_{\rho}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\lambda_{\rho}}, \quad \omega_{\rho}=\sqrt{\lambda_{\rho}} .
\]

Если две (или более) из этих частот совпадают, то систему называют вы р о ж д е н н й ${ }^{1}$ ). В нормальной моде изображающая точка пространства $Q$ совершает гармоническое колебание по прямой линии. Эти пря- $\qquad$

мые являются главными осями эквипотенциальных поверхностей (101.13), когда эти поверхности отнесены к координатной системе $\left(q^{\prime}\right)$. В невырожденной системе эти прямые фиксированы в пространстве. Для вырожденной системы они частично не определены; известно, что они лежат в плоскости двух или более измерений (соответственно степени вырождения) и нормальную моду можно представить на любой одной из этих линий, причем нормальные координаты в этом случае останутся тастично не определенными. В совершенно вырожденной системе направление нормальной моды колебания совершенно произвольное. В этом случае эквипотенциальные поверхности являются сферами в системе координат $\left(q^{\prime}\right)$.

При произвольных начальных условиях система совершает движение, которое есть наложение всех нормальных мод. Вообще говоря, орбита в пространстве $Q$ есть очень сложная кривая и движение является периодическим тогда и только тогда, когда отношения нормальных частот — рациональные числа.
Корни уравнения
\[
\operatorname{det}\left(a_{\rho \sigma} \lambda-b_{\rho \sigma}\right)=0
\]

инвариантны относительно линейных преобразований координат $q$. Для нормальных координат, как в случае (101.18), эти уравнения принимают вид
\[
\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right) \ldots\left(\lambda-\lambda_{N}\right)=0 .
\]

Следовательно, $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{N}$ являются корнями уравнения (101.22). В самом деле, они представляют собой собственные значения матрицы $b_{\rho \sigma}$ относительно матрицы $a_{\rho \sigma}$. Если $\lambda$ — какое-нибудь одно из этих собственных значений, то уравнения
\[
\lambda a_{\rho \sigma} U^{\sigma}=b_{\rho \sigma} U^{\sigma}
\]

определяют соответствующие собственные векторы для любой системы координат. Из инвариантности этих уравнений легко увидеть, используя нормальные координаты, что направления собственных векторов совпадают с направлениями нормальных мод колебания. Так как

(101.22)-то же уравнение, что и (101.8) (за исключением тривиальных изменений в обозначениях), то становится ясной математическая важность простой подстановки (101.6), которая остается самым практичным методом для исследования задачи теории колебаний. На вырождение указывает наличие кратных корней векового уравнения (101.7).