Пусть $\Gamma(J)$ — некоторый контур в пространстве $Q P$, такой, что все переменные действия $J_{\rho}$ на нем постоянны. Положение изображающей точки $B$ в пространстве $Q P$ определяет положения изображающих точек $B_{\rho}$ в плоскостях $\Pi_{\rho}$ (рис. 46) и когда точка $B$ обходит один раз контур $\Gamma(J)$, эти точки $B_{\rho}$ обходят соответствующие контуры $\Gamma_{\rho}(J)$, возможно, по нескольку раз. В символической форме можно написать
\[
\Gamma(J)=n_{\rho} \Gamma_{\rho}(J),
\]

где коэффициенты $n_{\rho}$ — целые числа (положительные, отрицательные или равные нулю). В соотнопении (100.1) и ниже имеет место обычное условие суммирования от 1 до $N$.

При обходе контура $\Gamma$ точкой $B$ производящая функция $G^{*}(q, J)$ возрастает на
\[
\Delta_{\Gamma} G^{*}=\oint_{\Gamma(J)} \frac{\partial G^{*}}{d q_{\rho}} d q_{\rho}=\oint_{\Gamma(J)} p_{\rho} d q_{\rho} .
\]

Для того чтобы исследовать это выражение, пишем первую групну уравнений преобразования (99.14):
\[
p_{\mathbf{1}}=\frac{\partial G_{1}^{*}\left(q_{1}, J\right)}{\partial q_{1}}, \ldots, p_{N}=\frac{\partial G_{N}^{*}\left(q_{N}, J\right)}{\partial q_{N}} .
\]

Первое из этих уравнений устанавливает связь между $p_{1}$ и $q_{1}$, которая одинакова для точки $B$ на контуре $\Gamma(J)$ и для соответствующей точки $B_{1}$ на $\Gamma_{1}(J)$; поэтому согласно определению переменной $J_{1}^{\prime}(99.9)$ имеем
\[
\oint_{\Gamma(J)} p_{1} d q_{1}=n_{1} \oint_{\mathbf{r}_{1}(J)} p_{1} d q_{1}=n_{1} J_{1} .
\]

Таким образом, уравнение (100.2) дает следующее соотнопение:
\[
\Delta_{\Gamma} G^{*}=n_{\rho} J_{\rho} .
\]

Мы видим, что вследствие предноложений (явных и неявных) функции $G_{1}^{*}\left(q_{1}, J\right) \ldots G_{N}^{*}\left(q_{N}, J\right)$ необходимо представляют собой многозначные функции аргументов $q$.

При бесконечно малом варьировании переменных действия $J_{\rho}$ соответственно изменится контур $\Gamma(J)$. Коэффициенты $n_{\rho}$ в выражении (100.5), будучи целыми числами, не изменяются при этой бесконечно малой вариации; получаем поэтому
\[
\delta \Delta_{\Gamma} G^{*}=n_{\rho} \delta J_{\rho} .
\]
$\mathrm{C}$ другой стороны, из уравнения (100.2) имеем
\[
\delta \Delta_{\Gamma} G^{*}=\delta \oint_{\Gamma(J)} p_{\rho} d q_{\rho}=\oint_{\Gamma(J)}\left(\delta p_{\rho} d q_{\rho}-d q_{\rho} d p_{\rho}\right) .
\]

Последнее выражение есть билинейная форма, инвариантная относительно IfП (ср. § 96), и поэтому
\[
\delta \Delta_{\Gamma} G^{*}=\oint_{\Gamma}\left(\delta J_{\rho} d w_{\rho}-\delta w_{\rho} d J_{\rho}\right) .
\]

Но все $J_{\rho}$ постоянны ва контурах $\Gamma$ — варьированном и неварьированном; поэтому $d J_{\rho}=0$ и $\delta J_{\rho}=$ const и мы имеем новое уравнение,
\[
\delta \Delta_{\Gamma} G^{*}=\delta J_{\rho} \Delta_{\Gamma} w_{\rho},
\]

где $\Delta_{\Gamma} w_{\rho}$ — приращение переменной $w_{\rho}$ при одном обходе контура $\Gamma(J)$. Сравнивая это последнее уравнение с (100.6), мы можем сформулировать следующий результат. Если изобра жающая точка $B$ ободит в пространстве $Q P$ один ра некоторый контур Г $(J)$, на котором все переменные действия $J_{\rho}$ сохраняют постоянные значения, то приращение угловой переменной $w_{\rho}$ есть
\[
\Delta_{\Gamma} w_{\rho}=n_{\rho},
\]

где $n_{p}$ — число обходов, которое соверIIа ает точка $B_{\rho}$ по конт ур у $\Gamma_{p}(J)$ в плоскост и $\Pi_{\rho}$.

В частности, если все величины $(q, J)$, кроме $q_{1}$, фиксированы, то точка $B_{1}$ движется по кривой $\Gamma_{1}(J)$ в плоскости $\Pi_{1}$, а точки $B_{2}, \ldots, B_{N}$ остаются неподвижными. Это вынуждает изображающую точку $B$ в пространстве $Q P$ двигаться по некоторой кривой $\Gamma_{1}(J)$ и когда $B_{1}$ полностью обходит контур $\Gamma_{1}(J), B$ полностью обходит некоторый контур $\Gamma_{1}^{*}(J)$, для которого числа $n_{\rho}$ формулы (100.1) равны
\[
n_{1}=1, \quad n_{2}=\ldots=n_{N}=0 .
\]

Подставляя их в (100.10) и заменяя $\Gamma$ на $\Gamma_{1}^{*}$, имеем уравнения
\[
\Delta_{\Gamma_{1}^{*}} w_{1}=1, \Delta_{\Gamma_{1}^{*}} w_{2}=0, \ldots, \Delta_{\Gamma_{1}^{*}} w_{N}=0 .
\]

Отсюда получаем более общие соотношения, принимая введенные выше обозначения
\[
\Delta_{\Gamma}^{*} w_{\sigma}=\delta_{\rho \sigma} .
\]

Пусть теперь вторая группа уравнений (99.14) разрешена относительно $q_{\rho}$ :
\[
q_{\rho}=q_{\rho}(w, J) .
\]

Фиксируя все величины $(w, J)$, кроме $w_{1}$, мы оставляем тем самым изображающей точке в пространстве $Q P$ одну степень свободы. Что касается переменных $p_{p}$, то они задаются для этой одной степени свободы с помощью уравнений (100.3). Тогда $B$ движется по некоторой кривой в пространстве $Q P$, а «проектируемые» точки $B_{\rho}$ движутся по кривым $\Gamma_{\rho}(J)$. Пусть $w_{1}$ непрерывно возрастает от нуля до 1 , другие цеременные $w_{\rho}$, как мы договорились, остаются неизменными. Из уравнений (100.12) следует, что по выполнении этой операции точка $B_{1}$ обойдет один раз контур $\Gamma_{1}(J)$, а точки $B_{2}, \ldots, B_{N}$ будут оставаться на своих исходных положениях, не обходя соответствующих контуров. Это же рассуждение можно провести для возрастания на единицу каждой угловой переменной в отдель-

ности; заключаем, таким образом, что функци и (100.14) — периодические функци относительно каждой переменной $w_{p}$ с периодом $1^{1}$ ).

Можно поэтому разложить эти функции в ряды Фурье вида
\[
q_{\rho}=\sum_{(n)} A_{\rho ; n_{1}, \ldots, n_{N}} e^{2 \pi i\left(n_{1} w_{1}+\ldots+n_{N} w_{N}\right)} ;
\]

суммирование ведется по всем целочисленным значениям (положительным, отрицательным и равным нулю), а функции $A_{\rho}$ — комплексные функции переменных действия $J$, так что перемена знаков всех $n_{\rho}$ превращает $A$ в ее комплексно сопряженную величину. Тогда согласно (99.16) движение системы определяется уравнениями
\[
q_{\rho}=\sum_{(n)} B_{\rho ; n_{1}, \ldots, n_{N}} e^{2 \pi i\left(n_{1} v_{1}+\ldots+n_{N} v_{N}\right) t},
\]
$B$ — функции переменных $J$. В этом смысле величины $v_{\rho}$ являются «частотами». Если мы знаем фупцию $H^{*}(J)$, то частоты можно сразу вычислить из (99.17), дифференцируя эту функцию.

Предполагалось, что кривые в плоскостях $\Pi_{\rho}$, определяемые уравнениями (100.3) (при фиксированных значениях $J$ ), замкнутые; әти замкнутые кривые являются в действительности контурами $\Gamma_{\rho}(J)$. Это предположение отнюдь не означает, что движение системы периодическое: мы видим из (100.16), что оно периодическое тогда и только тогда, когда отношения частот $v_{\rho}$ — рациональные числа.

Система называется вырожденной, если частоты удовлетворяют соотношению вида
\[
s_{1} v_{1}+s_{2} v_{2}+\ldots+s_{N} v_{N}=0,
\]

где $s_{1}, \ldots, s_{N}$ — целые числа или нули, среди которых по крайней мере два отличны от нуля. Вырождение $\qquad$

появляется, когда гамильтониан $H^{*}(J)$ некоторым определенным образом содержит переменные действия. Поясним это следующим примером. Предположим, что гамильтониан имеет вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
H^{*}(J) & =f\left(K, J_{4}, J_{5}, \ldots, J_{\dot{N}}\right), \\
K & =m_{1} J_{1}+m_{2} J_{2}+m_{3} J_{3}
\end{array}\right\}
\]

где $m_{i}$ — целые числа. Тогда имеют место уравнения
\[
v_{1}=\frac{\partial H^{*}}{\partial J_{1}}=m_{1} \frac{\partial f}{\partial K}, \quad v_{2}=m_{2} \frac{\partial f}{\partial K}, \quad v_{3}=m_{3} \frac{\partial f}{\partial K},
\]

и мы получаем двойное вырождение:
\[
m_{2} v_{1}-m_{1} v_{2}=0, \quad m_{3} v_{1}-m_{1} v_{3}=0 .
\]

Как отмечалось в § 63 , изложение общей динамической теории (с точки зрения современной чистой математики) дано в этой книге на довольно низком уровне математической строгости. Пока дело касалось теории в малых областях, было нетрудно внести в нее добавления, которые делали се строгой теорией, но переменные действие угол выводят нас из бесконечно малых областей в конечные введением указанных выше контуров $\Gamma_{\rho}(J)$. Отсюда возникают очень сложные топологические вопросы, которых мы в этой книге не рассматриваем.