Можно не класть в основу динамики уравнения движения в форме (109.1), а построить релятивистскую динамику на лагранжиане или гамильтониане, употребляя методы гл. Д, которые достаточно общи и могут быть приложены к теории относительности: Так как мы рассматриваем только одну частицу, то полагаем $N=3$. Пространство конфигураций $Q$ становится мгновенным пространством галилеева наблюдателя, а пространство событий $Q T$ становится самим пространством – временем. Для описания релятивистской динамики полезны также другие пространства изображений, перечисленные в § 62 . В частности, кажется интересным 8-мерное пространство $Q T P H$, однако мы будем использовать только пространство $Q T$ и $P H$, со ссылками на пространство $Q$ для физической интерпретации формул.

Будем употреблять координаты Минковского (107.3); напоминаем, что маленькие латинские индексы принимают значения $1,2,3,4$, а греческие $-1,2,3$ и имеют место обычные условия суммирования. Все общие формулы легко перевести в действительные криволинейные координаты $x^{r}$ по (107.1).

Некоторые важные формулы гл. Д нужно вывести снова с некоторыми изменениями в знаках (ср. (110.4) и (110.8)). Это изменение в знаке обсуждается в § 111.

Рассмотрим в пространстве – времени некоторую времениподобную кривую с параметром $\chi$, возрастающим от прощлого к будущему. Пусть $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$ – заданный инвариантный однородный лагранжиан ${ }^{1}$ ), где $x_{r}^{\prime}=d x_{r} / d \chi$. Лагранжево действие есть
\[
A_{L}=\int \Lambda\left(x, x^{\prime}\right) d \chi
\]

его значение не зависит от выбора параметра $\chi$. Первая форма принципа Гамильтона имеет вид (ср. с (65.4))
\[
\delta \int \Lambda\left(x, x^{\prime}\right) d \chi=0,
\]

для фиксированных концевых событий. Это уравнение приводит к следующим уравнениям движения Лагранжа:
\[
\frac{d}{d \chi} \frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}^{\prime}}-\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}}=0,
\]

тождественно совпадающим с (65.7).
Итак, имеем релятивистскую динамику, основанную на выбранном лагранжиане. Релятивнзм проявляется только в требовании, что лагранжиан должен быть инвариантным относительно преобразований Лоренца.

Можно также построить релятивистскую динамику на гамильтониане. Пусть $y_{r}$ – гамильтонов 4-вектор ${ }^{1}$ ), соотнесенный событию $x_{r}$. Определим в пространстве времени гамильтоново действие вдоль какой-нибудь кривой интегралом (68.1) (изменив при этом знак )²)
\[
A_{H}=-\int y_{r} d x_{r}
\]

Пусть
\[
\Omega(x, y)=0
\]

есть инвариантное уравнение энергии. Принцип Гамильтона во второй форме имеет вид (ср. (68.5))
\[
\delta \int y_{r} d x_{r}=0, \quad \Omega(x, y)=0 .
\]

Он приводит к каноническим уравнениям Гамильтона в форме
\[
\frac{d x_{r}}{d w}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}, \quad \frac{d y_{r}}{d w}=-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}},
\]

где $w$ – специальный параметр. Пусть дано начальное событие $x_{r}$ и начальный гамильтонов 4-вектор $y_{r}$, удовлетворяющий условию (110.5); тогда уравнения (110.7) определяют мировую линию и поле векторов $y_{r}$ вдоль нее. Это устанавливает гамильтонову динамику, основанную на выбранном уравнении энергии. Релятивизм требует инвариантности этого уравнения относительно преобразований Лоренца.

Итак, имеются три различных пути для построения релятивистской динамики. Первый связан с 4 -силой (§ 109); второй – с выбором однородного лагранжиана $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$ и третий – с выбором уравнения энергии $\Omega(x, y)=0$.

Как и в § 69 , мы объединяем эти два последние пути. Изменяя знак соответственно сделанному изменению в $(110.4)$, переходим от $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$ к $\Omega(x, y)=0$, положив
\[
y_{r}=-\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}^{\prime}}
\]
(ср. с (69.3)) и исключив производные $x_{r}^{\prime}$. Мы можем перейти также от $\Omega(x, y)=0$ к $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$, написав (ср. с (69.14))
\[
x_{r}^{\prime}=\vartheta \frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}, \quad \Lambda=-y_{r} x_{r}^{\prime}, \quad \Omega(x, y)=0,
\]

и исключив из.этих уравнений $y_{r}$ и $\vartheta$. При таком объединении лагранжева и гамильтонова динамики представляют одно и то же, с общим для обеих форм динамики действием
\[
A=\int \Lambda\left(x, x^{\prime}\right) d \chi=-\int y_{r} d x_{r} .
\]

В лагранжевой динамике имеются два важных специальных случая выбора параметра $\chi$, а именно, $\chi=s$ и $\chi=t$. Первый, будучи лоренц-инвариантным, удобен

для общей теории; второй – удобен для того, чтобы провести сравнение между релятивистской и ньютоновой динамиками.
\[
\begin{array}{l}
\text { Если } \chi=s, \text { то } \\
\Lambda\left(x, x^{\prime}\right) d \chi=\Lambda(x, d x)=\Lambda(x, \lambda) d s,
\end{array}
\]

где $\lambda_{r}=d x_{r} / d s$ 4-скорость. Действие равно интегралу
\[
A=\int \Lambda(x, \lambda) d s,
\]

и уравнения Лагранжа принимают вид
\[
\frac{d}{d s} \frac{\partial \Lambda}{\partial \lambda_{r}}-\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}}=0
\]

при специальном условии
\[
\lambda_{r} \lambda_{T}=-1 .
\]

Здесь необходимо сделать некоторые замечания. Выполняя первое дифференцирование в уравнениях (110.13), мы должны взять $\Lambda$ в форме однородного лагранжиана первой стедени относительно 4-скорости. Если мы в какойлибо момент упростим $\Lambda$ посредством (110.14), нарушив формальную однородность, то для того, чтобы восстановить однородность (имевпую место до дифференцирования), мы должны опять применить то же уравнение.
Если $\chi=t$, то можно написать
\[
\Lambda\left(x, x^{\prime}\right) d \chi=\Lambda(x, d x)=L d t .
\]

Обыкновенный лагранжиан $L$, определенный таким образом, есть функция семи величин $x_{\rho}, t, \dot{x}_{\rho}$. Действие определяется следующим интегралом:
\[
A=\int L d t
\]

и уравнения Лагранжа имеют знакомую форму:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{\rho}}-\frac{\partial L}{\partial x_{\rho}}=0 .
\]

Отметим, что релятивистское требование состоит в лоренцинвариантности $L d t$, но не самой функции $L ; L$ есть

инвариант, разделенный на четвертую компоненту 4-вектора. Это любопытное требование выполняется автоматически, если мы выводим $L$ из инвариантного однородного лагранжиана (как в уравнениях (110.15)).

В методе Гамильтона можно разрешить уравнение $\Omega(x, y)=0$ относительно $y_{4}$, получив
\[
y_{4}-i \omega\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t, y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=0
\]
(четвертая компонента вектора Минковского $y_{4}$ – чисто мнимая). Определим $p_{\rho}$ и $H$ уравнениями
\[
p_{\rho}=y_{\rho}, \quad H=\frac{c y_{4}}{i} ;
\]

тогда выражение (110.18) приводит к гамидьтониану
\[
H=c \omega\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t, p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) .
\]

Трудно нодыскать какое-либо непретенциозное и недвусмысленное название длія 3 -вектора $p_{\rho}$. В случае свободной частицы (ср. § 111) $p_{\rho}$ есть релятивистский импульс или 3 -импульс, определенный в § 108 . Но когда заряженная частица движется в электромагнитном поле (ср. § 115), то поле каким-то образом входит в $p_{\rho}$. Возможно, для $p_{\rho}$ наиболее подходит название гамильтонов 3 -импульс.
Действие теперь имеет вид
\[
A=-\int y_{r} d x_{r}=\int\left(-p_{\rho} d x_{\rho}+H d t\right) .
\]

Это определение согласуется с обычным выражением (68.1) гамильтонова действия с точностью до знака. Выражение (110.21) дает положительный элемент действия для частищы, находящейся в мгновенном покое $\left(d x_{\rho}=0\right.$ ) при условии, что $H$ положительно.

Канонические уравнения Гамильтона имеют знакомую форму:
\[
\dot{x}_{\rho}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}, \quad p_{\rho}=-\frac{\partial H}{\partial x_{\rho}} .
\]

Отметим, что требование релятивизма состоит в том, что $H$ должна преобразоваться как четвертая компонента 4-вектора, но не в том, чтобы $H$ было лоренц-инвариантным,