Пусть $D$ обозначает перемещение твердого тела. Предположим, что $D$ переводит некоторую точку тела из положения $A$ в положение $A^{\prime}$. Тогда $D$ может быть составлено из двух перемещений: (I) поступательное по $A A^{\prime}$ и (II) вращение вокруг точки $A^{\prime}$. Это — стандартный путь описания общего перемещения. Точку тела $A$ называют полюсом или опорной точкой ${ }^{1}$ ).

Множество ортогональных триәдров, оси которых параллельны между собой, остается таким же и после применения преобразования $D$. Отсюда ясно, что вращение (т. е. направление его оси и угол вращения) не зависит от выбора полюса. Однако от выбора ее зависит поступательное перемещение.

Теорем а III аля. Произвольное перемещение твердого тела в пространстве эквивалентно винтовому движению.

Винтовое движение определяется как результирующая вращения и поступательного перемещения тела в направлении, параллельном оси вращения. Легко видеть, что для винтового движения перенос и вращение коммута-

тивны. Для того чтобы доказать теорему Шаля, выберем какую-нибудь опорную точку и разобьем поступательное перемещение на два: одно (назовем его $T_{1}$ ) — параллельное оси вращения и другое (назовем его $T_{2}$ ) — перпендикулярное этой оси. Затем, так как перенос $T_{2}$ и вращение представляют собой плоские перемещения в общей плоскости, то их можно объединить в одно-единственное вращение с новой осью, параллельной прежней оси (ср. § 6). Взятые вместе, это вращение и $T_{1}$ образуют винтовое движение, что и доказывает теорему Шаля.

Общее перемещение твердого тела может быть получено двумя полуоборотами. Полуоборот — это вращение вокруг прямой на два прямых угла. Оси двух полуоборотов пересекают перпендикулярно ось эквивалентного винтового движения; они удалены от этой оси на расстояние в полшага винтового движения, а угол между ними равен половине угла вращения винтового движения ${ }^{1}$ ).

Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы: три — поступательного перемещения и три — вращательного движения. Его шестимерное пространство конфигураций имеет один нестягиваемый в точку контур и оно искривлено по отношению к кинематическому линейному элементу ( $\S 84$ ).

Мы уже отметили аналогию между плоским перемещением (перенос + вращение) и перемещением трехмерного твердого тела, имеющего неподвижную точку (вращение). Подобная аналогия существует между общим перемещением твердого тела (перенос + вращение) и перемещением четырехмерного твердого тела, имеющего неподвижную точку (вращение). Мы не встречаем четырехмерных твердых тел в ньютоновской физике, но в специальной теории относительности преобразования Лоренца с неподвижным началом координат (для этого нужно положить $B_{r}=0$ в преобразовании (107.5)) можно рассматривать как четырехмерное вращение, если, конечно, при этом принять во внимание особенности метрики пространства — времени.