Определим действие Мопертюи ${}^1$ ) в изоэнергетической динамике в пространстве $Q$ следующим

образом:
$$\overline{A}=\int p_{\rho }d{q}_{\rho },$$

где переменные $p$ и $q$ удовлетворяют уравнению энергии
$$H(q,p)=E\text{. }$$

Если, кроме того, ограничиться только естественными импульсами $p_p$ вида (82.10), то будем иметь уравнение
$$\overline{A}=\int \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{\rho }}{\dot{q}}_{\rho }dt$$

Для системы ОДС при условиях (81.8) имеем
$$\overline{A}=2\int Tdt.$$

Iродолжая аналогию с общей гамильтоновой динамикой в пространстве $QT$, определим в изоэнергетической динамике в $Q$ двухточечную характеристическую функцию следующим образом:
$$\overline{S}(D^{\ast },D)=\int p_{\rho }d{q}_{\rho },$$

где интеграл берется вдоль луча или траектории, соединяющей точки $D^{\ast }$ и $D$. Вариация концевых точек дает уравнение
$$\delta \overrightarrow{S}=p_{\rho }\delta q_{\rho }-p_{\rho }^{\ast }\delta q_{\rho }^{\ast }.$$

Отсюда, если допустимы произвольные вариации (как это имеет место в общем случае), получим систему
$$\frac{\partial \overline{S}}{\partial q_{\rho }}=p_{\rho },\frac{\partial \overline{S}}{\partial q_{\rho }^{\ast }}=-p_{\rho }^{\ast }.$$

Из уравнения (83.2) следует, что $S$ удовлетворяет двум уравнениям в частных производных:
$$H(q,\frac{\partial \overrightarrow{S}}{\partial q})=E,H(q^{\ast },-\frac{\partial \overrightarrow{S}}{\partial q^{\ast }})=E.$$

Это уравнение Гамильтона — Якоби в форме (78.2).

В изоэнергетической динамике в пространстве $Q$, в которой время исключено, когерентная система лучей или траекторий представляет собой семейство неподвижных кривых, а соответствующие им волны — семейства неподвижных поверхностей, причем две волны отстоят одна от другой на постоянную величину действия Мопертюи.

Так же как в пространстве $QT$ можно с піомощью уравнений (69.14) перейти от уравнения энергии $\mathrm{\Omega }(x,y)=0$ к однородному лагранжиану $\mathrm{\Lambda }(x,x^{\prime })$, так в изоэнергетической динамике можно найти однородный лагранжиан $\overline{\mathrm{\Lambda }}(q,q^{\prime })$ (где $q_{\rho }^{\prime }=d{q}_{\rho }/du$, а $u$-любой параметр), исключив $\vartheta$ и $p_{\rho }$ из $N+2$ уравнений
$$q_{\rho }^{\prime }=\vartheta \frac{\partial H(q,p)}{\partial p_{\rho }},\overline{\mathrm{\Lambda }}=p_{\rho }{q}_{\rho }^{\prime },H(q,p)-E=0.$$

Лучи или траектории в пространстве $Q$ удовлетворяют вариационному уравнению
$$\delta \int \overline{\mathrm{\Lambda }}(q,q^{\prime })du-0,$$

при закрепленных концевых точках в $Q$.
Проведем эти рассуждения для системы с лагранжевой функцией
$$L(q,\dot{q})=\frac{1}{2}{a}_{\rho \sigma }{\dot{q}}_{\rho }{\dot{q}}_{\sigma }+a_{\rho }{\dot{q}}_{\rho }-V,$$

где $a_{\rho \sigma }(=a_{\sigma \rho }),a_{\rho }$ и $V$ зависят только от переменных $q$. (Это немного более общий случай; чем ОДС в § 66 и (81.8), где $a_{\rho }=0$.) Прежде всего находим гамильтонову функцию следующим образом:
$$\begin{array}{r}{p}_{\rho }=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{\rho }}=a_{\rho \sigma }{\dot{q}}_{\sigma }+a_{\rho },{\dot{q}}_{\rho }=a^{\rho \sigma }(p_{\sigma }-a_{\sigma }),\\ H(q,p)={\dot{q}}_{\rho }\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{\rho }}-L=\frac{1}{2}{a}_{\rho \sigma }{\dot{q}}_{\rho }{\dot{q}}_{\sigma }+V=\\ =\frac{1}{2}{a}^{\rho \sigma }(p_{\rho }-a_{\rho })(p_{\sigma }-a_{\sigma })+V.\end{array}\}$$

Далее, согласно (83.9), получаем следующие соотношения:
$$\begin{array}{c}{q}_{\rho }^{\prime }=\vartheta a^{\rho \sigma }(p_{\sigma }-a_{\sigma }),p_{\rho }=a_{\rho }={\vartheta }^{-1}{a}_{\rho \sigma }{q}_{\sigma }^{\prime },\\ H(q,p)-E=\frac{1}{{\vartheta }^{-2}{a}_{\rho \sigma }{q}_{\rho }^{\prime }{q}_{\sigma }^{\prime }+V-E=0,}\\ {\dot{\vartheta }}^2=\frac{\frac{1}{2}{a}_{\rho \sigma }{q}_{\rho }^{\prime }{q}_{\sigma }^{\prime }}{E-V},\\ \overline{\mathrm{\Lambda }}=p_{\rho }{q}_{\rho }^{\prime }=q_{\rho }^{\prime }({\vartheta }^{-1}{a}_{\rho \sigma }{q}_{\sigma }^{\prime }+a_{\rho }).\end{array}\}$$

Гаким образом, получаем однородный лагранжиан для изоэнергетической динамики в пространстве $Q$ :
$$\overline{\mathrm{\Lambda }}(q,q^{\prime })=\sqrt{2(E-V)}\sqrt{a_{\rho \sigma }{q}_{\rho }^{\prime }{q}_{\sigma }^{\prime }}+a_{\rho }{q}_{\rho }^{\prime }.$$

Вариационное уравнение (83.10) можно записать в виде
$$\delta \int (\sqrt{2(E-V)}\sqrt{a_{\rho \sigma }d{q}_{\rho }d{q}_{\sigma }}+a_{\rho }d{q}_{\rho })=0.$$

Если положить $a_{\rho }=0$, так что система становится ОДС, и использовать кинематический линейный әлемент (81.9), то уравнение принимает следующий вид:
$$\delta \int \sqrt{(E-V)}ds=0.$$

Это уравнение известно как принцип наименьшего действия Якоби ${}^1$ ).

Его можно интерпретировать геометрически, сказав, что траектории являются геодезическими в пространстве $Q$, если в нем задан риманов линейный элемент
$$d{s}_1^2=(E-V)d{s}^2=(E-V)a_{\rho \sigma }d{q}_{\rho }d{q}_{\sigma },$$

который можно назвать линейным элементом действия. Эта метрика обладает особенностью при $V=E$, которая соответствует состоянию мгновенного покоя системы, так как $V=E$ заключает в себе $T=0$.
§ 84. Кинематический линейный элемент. В этом и следующих параграфах мы временно оставляем гамильтонову динамику. Рассмотрим динамическую систему с кинетической энергией
$$T=\bar{2}{g}_{\rho \sigma }{\dot{q}}^{\rho }{\dot{q}}^{\sigma }.$$

Так как все рассуждения проводятся с помощью тензорного исчисления, то лучше обозначить координаты через $q^{\rho }$ (нежели через $q_{\rho }$ ), так как $d{q}^{\rho }$ — контравариантный вектор. Мы представляем систему точкой в пространстве $Q$, в котором задан кинематический линейный әлемент ${}^1$ )
$$d{s}^2=2Td{t}^2=g_{\rho \sigma }d{q}_{\text{a }}^{\rho }d{q}^{\sigma },$$

который мы уже вводили в (81.9). (Здесь $a$ заменены на $g$ для того, чтобы не было путаницы с ускорением.)

Прежде чем вводить силы, рассмотрим кинематическую сторону проблемы. Любое движение $q^{\rho }=q^{\rho }(t)$ определяет кривую в пространстве $Q$, и в каждой точке кривой — контравариантный вектор скорости
$$v^{\rho }={\dot{q}}^{\rho },$$

который можно написать в виде
$$v^{\rho }=v{\lambda }^{\rho },$$

где
$${\lambda }^{\rho }=\frac{d{q}^{\rho }}{ds}$$

— единичный вектор касательной к кривой. Имеөтся также контравариантный вектор ускорения
$$a^{\rho }=\frac{\delta v^{\rho }}{\delta t}.$$

который равен аб́солютной производной скорости $v^{\rho }$; абсолютная производная векторного поля $V^{\rho }(u)$ вдоль кривой $q^{\rho }(u)$ равна следующему выражению ${}^1$ ):
$$\frac{\delta {\mathit{V}}^{\rho }}{\delta u}=\frac{d{\mathit{V}}^{\rho }}{du}+\left\{\begin{array}{c}\varrho \\ \mu v\end{array}\right\}{\mathit{V}}^{\mu }\frac{d{q}^u}{du}.$$

Подставляя значение скорости (84.4) в (84.6), получаем
$$a^{\rho }=\dot{v}{\lambda }^{\rho }+x{v}^{2}v\varrho =v\frac{dv}{ds}{\lambda }^{\rho }+x{v}^2{v}^{\rho },$$

где $v^{\rho }$ — единичный вектор главной нормали к кривой движения и $x$ — кривизна ${}^2$ ), определенная формулами
$$\frac{\delta {\lambda }^{\rho }}{\delta s}=x{v}^{\rho },g_{\rho \sigma }{v}^{\rho }{v}^{\sigma }=1,x⩾0.$$

Таким образом, ускорение изображающей точки можно разложить по касательной и главной нормали и прийти к выражениям, аналогичным формуле (18.2) для движущейся частицы.

Так как мы имеем фундаментальный тензор $g_{\rho \sigma }$ в пространстве $Q$ и контравариантный сопряженный ему тензор $g^{\rho \sigma }$, то можно перейти от контравариантных компонент к ковариантным и обратно. Ковариантное ускорение выражается следующей формулой:
$$a_{\rho }=g_{\rho \sigma }{a}^{\sigma }=\frac{\delta v_{\rho }}{\delta t}=\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}^{\rho }}-\frac{\partial T}{\partial q^{\rho }}.$$

Переходя от кинематики к динамике, мы вводим обоб-

щенную силу $Q_{\rho }$, ковариантный вектор которой определен следующим образом:
$$Q_p\delta q^{\rho }=\delta W,$$

где $\delta W$ — работа, произведенная при перемещении $\delta q^{\rho }$ ( $\delta W$ есть инвариант). Лагранжевы уравнения движения имеют вид
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}^{\rho }}-\frac{\partial T}{\partial q^{\rho }}=Q_{\rho },$$

и могут быть переписаны в виде
$$a_{\rho }=Q_{\rho }\text{ или }{a}^{\rho }=Q^{\rho },$$

где $Q^{\rho }$ — ковариантный вектор силы. Выраженные словами, эти уравнения означают: ускорение $=$ силе ${}^1$ ). Нужно заметить, что в то время как физические размерности отдельных компонент вектора зависят от выбора координат, величина $v$ вектора скорости имеет размерность $\left[M^{\frac{1}{2}}L{T}^{-2}\right]$, а величина $a$ вектора ускорения имеет размерность $\left[M^{\frac{1}{2}}L{T}^{-2}\right]$.

Можно построить геометрическую картину проблемы устойчивости; пусть на рис. $41\mathrm{\Gamma }$ и ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ — две близкие траектории. Соответствие между их точками можно установить одним из следующих способов:
I) изохронное соответствие, при котором сопоставляются точки с одним и тем же значением $t$; бесконечно

малый вектор девиации (отклонения) изображен вектором ${\xi }^{\circ }$, рис. 41 ;
(II) нормальное соответствие, при котором бесконечно малый вектор отклонения ${\eta }^p$ ортогонален траектории $\mathrm{\Gamma }$, т. е.
$${\eta }^{\rho }{v}_{\rho }=0.$$

Между этими двумя типами векторов отклонения существует соотношение
$${\xi }^{\rho }={\eta }^{\rho }+\vartheta v^{\rho },$$

в котором вследствие условия (84.14)
$$\vartheta =\frac{{\xi }^{\sigma }{v}_{\sigma }}{v^2}.$$

Изохронный вектор ${\xi }^{\rho }$ удовлетворяет уравпению девиации ${}^1$ )
$$\frac{\delta {\xi }^{\rho }}{\delta t^2}+R_{\cdot \sigma \mu v}^{\rho }{v}^{\sigma }{\xi }^{\mu }{v}^v=Q_{1\sigma }^{\rho }{\xi }^{\sigma },$$

где $R_{\sigma \mu u}^0$ — тензор кривизны в пространстве $Q$ с метрикой (84.2):
$$\begin{array}{l}{R}_{\cdot \sigma \mu u}^{\rho }=\frac{\partial }{\partial q^{\mu }}\left\{\begin{array}{c}\varrho \\ \sigma v\end{array}\right\}-\frac{\partial }{\partial q^u}\left\{\begin{array}{c}\varrho \\ \sigma \mu \end{array}\right\}+\\ +\left\{\begin{array}{c}\tau \\ \sigma u\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}\varrho \\ \tau \mu \end{array}\right\}-\left\{\begin{array}{c}\tau \\ \sigma \mu \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}\varrho \\ \tau u\end{array}\right\},\end{array}$$

а $Q_{1\sigma }^{\varrho }$ — ковариантная производная контравариантной

силы
$$Q_{1\sigma }^{\rho }=\frac{\partial Q^{\rho }}{\partial q^{\sigma }}=\left\{\begin{array}{c}\varrho \\ \mu \sigma \end{array}\right\}{Q}^{\mu }.$$

Уравнение девиации для нормального соответствия несколько более сложно. Подставляя значение (84.15) в (84.17), получаем с помощью соотношений (84.13) следующее уравнение:
$$\frac{{\delta }^2{\eta }^{\rho }}{\delta t^2}+\frac{d^2\vartheta }{d{t}^2}{v}^{\rho }+2\frac{d\vartheta }{dt}{Q}^{\rho }+R_{.\sigma \mu v}^{\rho }{v}^{\sigma }{\eta }^{\mu }{v}^u=Q_{1\sigma }^{\rho }{\eta }^{\sigma };$$

вместе с соотношением (84.14) имеем $N+1$ уравнений для величин $\vartheta$ и ${\eta }^{\rho }$.
§ 85. Наименьшая кривизна. Сохраняя обозначения § 84, определим для произвольного кинематически возможного движения с ускорением $a^{\rho }$ при наличии заданных сил $Q^{\rho }$ динамическую кривизну $K$, как положительный квадратный корень из выражения
$$K^2=g_{\rho \sigma }(a^{\rho }-Q^{\rho })(a^{\sigma }-Q^{\sigma }).$$

Так как кинетическая энергия — положительно определенная функция, то это выражение неотрицательно; $K=0$ тогда и только тогда, когда удовлетворяются уравнения движения (84.13).

Наложим на систему связи (вообще говоря, неголономные) с уравнениями
$$A_{c\rho }{v}^{\rho }+A_c=0$$
(cр. (46.2)). Все $A$ — функции координат и $t$, а индекс $c$ принимает значения $1,2,\dots ,M$, так что система со связями имеет $N-M$ степеней свободы. Дифференцирование дает соотношения
$$A_{c\rho }{a}^p+B_c=0$$

для любого движения со связями; $B_c$ не зависит от ускорения.

Зададимся теперь вопросом: какое из ускорений $a^0$, удовлетворяющих уравнениям (85.3), обращает $K$ в минимум? Если считать $a^{\rho }$ прямоугольными декартовыми координатами в $N$-мерном евклидовом пространстве, то эта задача эквивалентна задаче о нахождении точки касания эллипсоида (85.1) (с заданным центром $Q$ и положением) и гиперплоскости, представленной уравнением (85.3). Легко видеть, что искомые минимизирующие $a^{\rho }$ удовлетворяют уравнениям
$$g_{\rho \sigma }(a^{\sigma }-Q^{\sigma })=\sum _{c=1}^M{\vartheta }_c{A}_{c\rho },$$

где ${\vartheta }_c$ — неопределенные множители. Но эти уравнения точно совпадают с лагранжевыми уравнениями движения (46.15), и мы заключаем, что подчиненная связям траектория, удовлетворяющая уравнениям движения, обращает в минимум динамическую кривизну $К$, если сравнивать ее с кривизной для произвольных связанных движений с теми же положениями и скоростью.

Для системы частиц выражение (85.1) в обычных обозначениях выглядит как
$$K^2=\sum m[{(\ddot{x}-\frac{X}{m})}^2+{(\ddot{y}-\frac{Y}{m})}^2+{(\ddot{z}-\frac{Z}{m})}^2];$$

суммирование производится по всем частицам, а ( $X,Y,Z$ ) — заданная сила, действующая на частицу. Если $K$ имеет эту форму, то теорема $K=$ minimum известна под названием гауссовой теоремь наименьшей кривизны или наименьшего принуж дения ${}^1$ ).

Для более ограниченного случая склерономных связей имеет место условие
$$A_{c\rho }{v}^{\rho }=0,$$

где $A_{c\rho }$ зависит только от координат. Остается справедливой теорема о минимуме кривизны, когда кривизна

понимается в геометрическом смысле § 84. Рассмотрим:
$C$ — траекторию при заданных силах $Q_{\rho }$, в том случае, когда на движение не наложены связи;
$C^{\prime }$ — произвольное движение, подчиненное связям;
$C^{\prime \prime }$ — траекторию, подчиненную связям при наличии заданных сил $Q_{\rho }$.
Все три движения имеют общую конфигурацию и скорость. По-шрежнему определяем вектор кривизны равенством (84.9), т. е.
$$x^{\rho }=\frac{\delta {\lambda }^{\rho }}{\delta s}=x{v}^{\rho }$$

и определим $k^{\prime }$ и $k^{\prime \prime }$, которые представляют соответственно кривизны $C^{\prime }$ и $C^{\prime \prime }$ относительно $C$, следующим образом:
$$\begin{array}{l}{k}^2=g_{\rho \sigma }(x^{\prime \rho }-x^{\rho })(x^{\prime \sigma }-x^{\sigma }),\\ k^{\prime 2}=g_{\rho \sigma }(x^{\prime \rho }-x^{\rho })(x^{\prime \prime }-x^{\sigma }).\end{array}$$

Тогда
$$\begin{array}{rl}{k}^{\prime 2}-k^{\prime 2}=& g_{\rho \sigma }(x^{\prime \rho }-x^{\prime \prime \rho })(x^{\prime \sigma }-x^{\prime \prime \sigma })+\\ & +2g_{\rho \sigma }(x^{\prime \rho }-x^{\prime \prime })(x^{\prime \prime }-x^{\sigma }).\end{array}$$

Из уравнений движения для $C$ и $C$ \» имеем, согласно (84.8) и (84.13), следующие уравнения:
$$\begin{array}{rl}{x}^{\rho }{v}^2& =Q^{\rho }-\dot{v}{\lambda }^{\rho }=Q^{\rho }-{\lambda }^{\rho }{Q}^{\sigma }{\lambda }_{\sigma },\\ x^{\prime \rho }{v}^2& =Q^{\rho }-{\lambda }^{\rho }{Q}^{\sigma }{\lambda }_{\sigma }+Q^{\prime \rho },\end{array}$$

где $Q^{\prime \rho }$ — сила реакции связи, а отсюда
$$(x^{\prime \prime \rho }-x^{\rho })v^2=Q^{\prime \rho };$$

для связанных движений $C^{\prime },C^{\prime \prime }$ имеем
$$\begin{array}{l}{A}_{c\rho }{\lambda }^{\prime \rho }=0,\\ A_{c\rho }{\lambda }^{\prime \prime \rho }=0;\end{array}\}$$

дифференцирование этих уравнений дает
$$A_{c\rho }(x^{\prime \rho }-x^{\prime \prime \rho })=0.$$

Но согласно (46.15) или (85.4) сила реакции связи есть
$$Q_{\rho }^{\prime }=\sum _{c=1}^M{\vartheta }_c{A}_{c\rho },$$

где ${\vartheta }_c$ — неопределенный множитель; из уравнений (85.11) и (85.13) следует, что последний член в (85.9) обращается в нуль. Имеем тогда
$$k^{\prime 2}-k^{\prime 2}=g_{\rho \sigma }(x^{\prime \rho }-x^{\prime \prime \rho })(x^{\prime \sigma }-x^{\prime \prime \sigma })⩾0;$$

из всех подчиненных связям движений, с заданными конфигурацией и скоростью, действительная траектория имеет наименьшую геометрическую кривизну по сравнению с траекторией, на которую не наложены связи.