Определим действие Мопертюи ${ }^{1}$ ) в изоэнергетической динамике в пространстве $Q$ следующим

образом:
\[
\bar{A}=\int p_{\rho} d q_{\rho},
\]

где переменные $p$ и $q$ удовлетворяют уравнению энергии
\[
H(q, p)=E \text {. }
\]

Если, кроме того, ограничиться только естественными импульсами $p_{p}$ вида (82.10), то будем иметь уравнение
\[
\bar{A}=\int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}} \dot{q}_{\rho} d t
\]

Для системы ОДС при условиях (81.8) имеем
\[
\bar{A}=2 \int T d t .
\]

Iродолжая аналогию с общей гамильтоновой динамикой в пространстве $Q T$, определим в изоэнергетической динамике в $Q$ двухточечную характеристическую функцию следующим образом:
\[
\bar{S}\left(D^{*}, D\right)=\int p_{\rho} d q_{\rho},
\]

где интеграл берется вдоль луча или траектории, соединяющей точки $D^{*}$ и $D$. Вариация концевых точек дает уравнение
\[
\delta \vec{S}=p_{\rho} \delta q_{\rho}-p_{\rho}^{*} \delta q_{\rho}^{*} .
\]

Отсюда, если допустимы произвольные вариации (как это имеет место в общем случае), получим систему
\[
\frac{\partial \bar{S}}{\partial q_{\rho}}=p_{\rho}, \quad \frac{\partial \bar{S}}{\partial q_{\rho}^{*}}=-p_{\rho}^{*} .
\]

Из уравнения (83.2) следует, что $S$ удовлетворяет двум уравнениям в частных производных:
\[
H\left(q, \frac{\partial \vec{S}}{\partial q}\right)=E, \quad H\left(q^{*},-\frac{\partial \vec{S}}{\partial q^{*}}\right)=E .
\]

Это уравнение Гамильтона — Якоби в форме (78.2).

В изоэнергетической динамике в пространстве $Q$, в которой время исключено, когерентная система лучей или траекторий представляет собой семейство неподвижных кривых, а соответствующие им волны — семейства неподвижных поверхностей, причем две волны отстоят одна от другой на постоянную величину действия Мопертюи.

Так же как в пространстве $Q T$ можно с піомощью уравнений (69.14) перейти от уравнения энергии $\Omega(x, y)=0$ к однородному лагранжиану $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$, так в изоэнергетической динамике можно найти однородный лагранжиан $\bar{\Lambda}\left(q, q^{\prime}\right)$ (где $q_{\rho}^{\prime}=d q_{\rho} / d u$, а $u$-любой параметр), исключив $\vartheta$ и $p_{\rho}$ из $N+2$ уравнений
\[
q_{\rho}^{\prime}=\vartheta \frac{\partial H(q, p)}{\partial p_{\rho}}, \quad \bar{\Lambda}=p_{\rho} q_{\rho}^{\prime}, \quad H(q, p)-E=0 .
\]

Лучи или траектории в пространстве $Q$ удовлетворяют вариационному уравнению
\[
\delta \int \bar{\Lambda}\left(q, q^{\prime}\right) d u-0,
\]

при закрепленных концевых точках в $Q$.
Проведем эти рассуждения для системы с лагранжевой функцией
\[
L(q, \dot{q})=\frac{1}{2} a_{\rho \sigma} \dot{q}_{\rho} \dot{q}_{\sigma}+a_{\rho} \dot{q}_{\rho}-V,
\]

где $a_{\rho \sigma}\left(=a_{\sigma \rho}\right), a_{\rho}$ и $V$ зависят только от переменных $q$. (Это немного более общий случай; чем ОДС в § 66 и (81.8), где $a_{\rho}=0$.) Прежде всего находим гамильтонову функцию следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{r}
p_{\rho}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}}=a_{\rho \sigma} \dot{q}_{\sigma}+a_{\rho}, \quad \dot{q}_{\rho}=a^{\rho \sigma}\left(p_{\sigma}-a_{\sigma}\right), \\
H(q, p)=\dot{q}_{\rho} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}}-L=\frac{1}{2} a_{\rho \sigma} \dot{q}_{\rho} \dot{q}_{\sigma}+V= \\
=\frac{1}{2} a^{\rho \sigma}\left(p_{\rho}-a_{\rho}\right)\left(p_{\sigma}-a_{\sigma}\right)+V .
\end{array}\right\}
\]

Далее, согласно (83.9), получаем следующие соотношения:
\[
\left.\begin{array}{c}
q_{\rho}^{\prime}=\vartheta a^{\rho \sigma}\left(p_{\sigma}-a_{\sigma}\right), \quad p_{\rho}=a_{\rho}=\vartheta^{-1} a_{\rho \sigma} q_{\sigma}^{\prime}, \\
H(q, p)-E=\frac{1}{\vartheta^{-2} a_{\rho \sigma} q_{\rho}^{\prime} q_{\sigma}^{\prime}+V-E=0,} \\
\dot{\vartheta}^{2}=\frac{\frac{1}{2} a_{\rho \sigma} q_{\rho}^{\prime} q_{\sigma}^{\prime}}{E-V}, \\
\bar{\Lambda}=p_{\rho} q_{\rho}^{\prime}=q_{\rho}^{\prime}\left(\vartheta^{-1} a_{\rho \sigma} q_{\sigma}^{\prime}+a_{\rho}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Гаким образом, получаем однородный лагранжиан для изоэнергетической динамики в пространстве $Q$ :
\[
\bar{\Lambda}\left(q, q^{\prime}\right)=\sqrt{2(E-V)} \sqrt{a_{\rho \sigma} q_{\rho}^{\prime} q_{\sigma}^{\prime}}+a_{\rho} q_{\rho}^{\prime} .
\]

Вариационное уравнение (83.10) можно записать в виде
\[
\delta \int\left(\sqrt{2(E-V)} \sqrt{a_{\rho \sigma} d q_{\rho} d q_{\sigma}}+a_{\rho} d q_{\rho}\right)=0 .
\]

Если положить $a_{\rho}=0$, так что система становится ОДС, и использовать кинематический линейный әлемент (81.9), то уравнение принимает следующий вид:
\[
\delta \int \sqrt{(E-V)} d s=0 .
\]

Это уравнение известно как принцип наименьшего действия Якоби ${ }^{1}$ ).

Его можно интерпретировать геометрически, сказав, что траектории являются геодезическими в пространстве $Q$, если в нем задан риманов линейный элемент
\[
d s_{1}^{2}=(E-V) d s^{2}=(E-V) a_{\rho \sigma} d q_{\rho} d q_{\sigma},
\]

который можно назвать линейным элементом действия. Эта метрика обладает особенностью при $V=E$, которая соответствует состоянию мгновенного покоя системы, так как $V=E$ заключает в себе $T=0$.
§ 84. Кинематический линейный элемент. В этом и следующих параграфах мы временно оставляем гамильтонову динамику. Рассмотрим динамическую систему с кинетической энергией
\[
T=\overline{2} g_{\rho \sigma} \dot{q}^{\rho} \dot{q}^{\sigma} .
\]

Так как все рассуждения проводятся с помощью тензорного исчисления, то лучше обозначить координаты через $q^{\rho}$ (нежели через $q_{\rho}$ ), так как $d q^{\rho}$ — контравариантный вектор. Мы представляем систему точкой в пространстве $Q$, в котором задан кинематический линейный әлемент ${ }^{1}$ )
\[
d s^{2}=2 T d t^{2}=g_{\rho \sigma} d q_{\text {a }}^{\rho} d q^{\sigma},
\]

который мы уже вводили в (81.9). (Здесь $a$ заменены на $g$ для того, чтобы не было путаницы с ускорением.)

Прежде чем вводить силы, рассмотрим кинематическую сторону проблемы. Любое движение $q^{\rho}=q^{\rho}(t)$ определяет кривую в пространстве $Q$, и в каждой точке кривой — контравариантный вектор скорости
\[
v^{\rho}=\dot{q}^{\rho},
\]

который можно написать в виде
\[
v^{\rho}=v \lambda^{\rho},
\]

где
\[
\lambda^{\rho}=\frac{d q^{\rho}}{d s}
\]

— единичный вектор касательной к кривой. Имеөтся также контравариантный вектор ускорения
\[
a^{\rho}=\frac{\delta v^{\rho}}{\delta t} .
\]

который равен аб́солютной производной скорости $v^{\rho}$; абсолютная производная векторного поля $V^{\rho}(u)$ вдоль кривой $q^{\rho}(u)$ равна следующему выражению ${ }^{1}$ ):
\[
\frac{\delta \boldsymbol{V}^{\rho}}{\delta u}=\frac{d \boldsymbol{V}^{\rho}}{d u}+\left\{\begin{array}{c}
\varrho \\
\mu v
\end{array}\right\} \boldsymbol{V}^{\mu} \frac{d q^{
u}}{d u} .
\]

Подставляя значение скорости (84.4) в (84.6), получаем
\[
a^{\rho}=\dot{v} \lambda^{\rho}+x v^{2} v \varrho=v \frac{d v}{d s} \lambda^{\rho}+x v^{2} v^{\rho},
\]

где $v^{\rho}$ — единичный вектор главной нормали к кривой движения и $x$ — кривизна ${ }^{2}$ ), определенная формулами
\[
\frac{\delta \lambda^{\rho}}{\delta s}=x v^{\rho}, \quad g_{\rho \sigma} v^{\rho} v^{\sigma}=1, \quad x \geqslant 0 .
\]

Таким образом, ускорение изображающей точки можно разложить по касательной и главной нормали и прийти к выражениям, аналогичным формуле (18.2) для движущейся частицы.

Так как мы имеем фундаментальный тензор $g_{\rho \sigma}$ в пространстве $Q$ и контравариантный сопряженный ему тензор $g^{\rho \sigma}$, то можно перейти от контравариантных компонент к ковариантным и обратно. Ковариантное ускорение выражается следующей формулой:
\[
a_{\rho}=g_{\rho \sigma} a^{\sigma}=\frac{\delta v_{\rho}}{\delta t}=\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}^{\rho}}-\frac{\partial T}{\partial q^{\rho}} .
\]

Переходя от кинематики к динамике, мы вводим обоб-

щенную силу $Q_{\rho}$, ковариантный вектор которой определен следующим образом:
\[
Q_{p} \delta q^{\rho}=\delta W,
\]

где $\delta W$ — работа, произведенная при перемещении $\delta q^{\rho}$ ( $\delta W$ есть инвариант). Лагранжевы уравнения движения имеют вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}^{\rho}}-\frac{\partial T}{\partial q^{\rho}}=Q_{\rho},
\]

и могут быть переписаны в виде
\[
a_{\rho}=Q_{\rho} \text { или } a^{\rho}=Q^{\rho},
\]

где $Q^{\rho}$ — ковариантный вектор силы. Выраженные словами, эти уравнения означают: ускорение $=$ силе $^{1}$ ). Нужно заметить, что в то время как физические размерности отдельных компонент вектора зависят от выбора координат, величина $v$ вектора скорости имеет размерность $\left[M^{\frac{1}{2}} L T^{-2}\right]$, а величина $a$ вектора ускорения имеет размерность $\left[M^{\frac{1}{2}} L T^{-2}\right]$.

Можно построить геометрическую картину проблемы устойчивости; пусть на рис. $41 \Gamma$ и $\Gamma^{\prime}$ — две близкие траектории. Соответствие между их точками можно установить одним из следующих способов:
I) изохронное соответствие, при котором сопоставляются точки с одним и тем же значением $t$; бесконечно

малый вектор девиации (отклонения) изображен вектором $\xi^{\circ}$, рис. 41 ;
(II) нормальное соответствие, при котором бесконечно малый вектор отклонения $\eta^{p}$ ортогонален траектории $\Gamma$, т. е.
\[
\eta^{\rho} v_{\rho}=0 .
\]

Между этими двумя типами векторов отклонения существует соотношение
\[
\xi^{\rho}=\eta^{\rho}+\vartheta v^{\rho},
\]

в котором вследствие условия (84.14)
\[
\vartheta=\frac{\xi^{\sigma} v_{\sigma}}{v^{2}} .
\]

Изохронный вектор $\xi^{\rho}$ удовлетворяет уравпению девиации ${ }^{1}$ )
\[
\frac{\delta \xi^{\rho}}{\delta t^{2}}+R_{\cdot \sigma \mu v}^{\rho} v^{\sigma} \xi^{\mu} v^{v}=Q_{1 \sigma}^{\rho} \xi^{\sigma},
\]

где $R_{\sigma \mu
u}^{0}$ — тензор кривизны в пространстве $Q$ с метрикой (84.2):
\[
\begin{array}{l}
R_{\cdot \sigma \mu
u}^{\rho}=\frac{\partial}{\partial q^{\mu}}\left\{\begin{array}{c}
\varrho \\
\sigma v
\end{array}\right\}-\frac{\partial}{\partial q^{
u}}\left\{\begin{array}{c}
\varrho \\
\sigma \mu
\end{array}\right\}+ \\
+\left\{\begin{array}{c}
\tau \\
\sigma
u
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
\varrho \\
\tau \mu
\end{array}\right\}-\left\{\begin{array}{c}
\tau \\
\sigma \mu
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
\varrho \\
\tau
u
\end{array}\right\}, \\
\end{array}
\]

а $Q_{1 \sigma}^{\varrho}$ — ковариантная производная контравариантной

силы
\[
Q_{1 \sigma}^{\rho}=\frac{\partial Q^{\rho}}{\partial q^{\sigma}}=\left\{\begin{array}{c}
\varrho \\
\mu \sigma
\end{array}\right\} Q^{\mu} .
\]

Уравнение девиации для нормального соответствия несколько более сложно. Подставляя значение (84.15) в (84.17), получаем с помощью соотношений (84.13) следующее уравнение:
\[
\frac{\delta^{2} \eta^{\rho}}{\delta t^{2}}+\frac{d^{2} \vartheta}{d t^{2}} v^{\rho}+2 \frac{d \vartheta}{d t} Q^{\rho}+R_{. \sigma \mu v}^{\rho} v^{\sigma} \eta^{\mu} v^{
u}=Q_{1 \sigma}^{\rho} \eta^{\sigma} ;
\]

вместе с соотношением (84.14) имеем $N+1$ уравнений для величин $\vartheta$ и $\eta^{\rho}$.
§ 85. Наименьшая кривизна. Сохраняя обозначения § 84, определим для произвольного кинематически возможного движения с ускорением $a^{\rho}$ при наличии заданных сил $Q^{\rho}$ динамическую кривизну $K$, как положительный квадратный корень из выражения
\[
K^{2}=g_{\rho \sigma}\left(a^{\rho}-Q^{\rho}\right)\left(a^{\sigma}-Q^{\sigma}\right) .
\]

Так как кинетическая энергия — положительно определенная функция, то это выражение неотрицательно; $K=0$ тогда и только тогда, когда удовлетворяются уравнения движения (84.13).

Наложим на систему связи (вообще говоря, неголономные) с уравнениями
\[
A_{c \rho} v^{\rho}+A_{c}=0
\]
(cр. (46.2)). Все $A$ — функции координат и $t$, а индекс $c$ принимает значения $1,2, \ldots, M$, так что система со связями имеет $N-M$ степеней свободы. Дифференцирование дает соотношения
\[
A_{c \rho} a^{p}+B_{c}=0
\]

для любого движения со связями; $B_{c}$ не зависит от ускорения.

Зададимся теперь вопросом: какое из ускорений $a^{0}$, удовлетворяющих уравнениям (85.3), обращает $K$ в минимум? Если считать $a^{\rho}$ прямоугольными декартовыми координатами в $N$-мерном евклидовом пространстве, то эта задача эквивалентна задаче о нахождении точки касания эллипсоида (85.1) (с заданным центром $Q$ и положением) и гиперплоскости, представленной уравнением (85.3). Легко видеть, что искомые минимизирующие $a^{\rho}$ удовлетворяют уравнениям
\[
g_{\rho \sigma}\left(a^{\sigma}-Q^{\sigma}\right)=\sum_{c=1}^{M} \vartheta_{c} A_{c \rho},
\]

где $\vartheta_{c}$ — неопределенные множители. Но эти уравнения точно совпадают с лагранжевыми уравнениями движения (46.15), и мы заключаем, что подчиненная связям траектория, удовлетворяющая уравнениям движения, обращает в минимум динамическую кривизну $К$, если сравнивать ее с кривизной для произвольных связанных движений с теми же положениями и скоростью.

Для системы частиц выражение (85.1) в обычных обозначениях выглядит как
\[
K^{2}=\sum m\left[\left(\ddot{x}-\frac{X}{m}\right)^{2}+\left(\ddot{y}-\frac{Y}{m}\right)^{2}+\left(\ddot{z}-\frac{Z}{m}\right)^{2}\right] ;
\]

суммирование производится по всем частицам, а ( $X, Y, Z$ ) — заданная сила, действующая на частицу. Если $K$ имеет эту форму, то теорема $K=$ minimum известна под названием гауссовой теоремь наименьшей кривизны или наименьшего принуж дения ${ }^{1}$ ).

Для более ограниченного случая склерономных связей имеет место условие
\[
A_{c \rho} v^{\rho}=0,
\]

где $A_{c \rho}$ зависит только от координат. Остается справедливой теорема о минимуме кривизны, когда кривизна

понимается в геометрическом смысле § 84. Рассмотрим:
$C$ — траекторию при заданных силах $Q_{\rho}$, в том случае, когда на движение не наложены связи;
$C^{\prime}$ — произвольное движение, подчиненное связям;
$C^{\prime \prime}$ — траекторию, подчиненную связям при наличии заданных сил $Q_{\rho}$.
Все три движения имеют общую конфигурацию и скорость. По-шрежнему определяем вектор кривизны равенством (84.9), т. е.
\[
x^{\rho}=\frac{\delta \lambda^{\rho}}{\delta s}=x v^{\rho}
\]

и определим $k^{\prime}$ и $k^{\prime \prime}$, которые представляют соответственно кривизны $C^{\prime}$ и $C^{\prime \prime}$ относительно $C$, следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
k^{2}=g_{\rho \sigma}\left(x^{\prime \rho}-x^{\rho}\right)\left(x^{\prime \sigma}-x^{\sigma}\right), \\
k^{\prime 2}=g_{\rho \sigma}\left(x^{\prime \rho}-x^{\rho}\right)\left(x^{\prime \prime}-x^{\sigma}\right) .
\end{array}
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
k^{\prime 2}-k^{\prime 2}= & g_{\rho \sigma}\left(x^{\prime \rho}-x^{\prime \prime \rho}\right)\left(x^{\prime \sigma}-x^{\prime \prime \sigma}\right)+ \\
& +2 g_{\rho \sigma}\left(x^{\prime \rho}-x^{\prime \prime}\right)\left(x^{\prime \prime}-x^{\sigma}\right) .
\end{aligned}
\]

Из уравнений движения для $C$ и $C$ \» имеем, согласно (84.8) и (84.13), следующие уравнения:
\[
\begin{aligned}
x^{\rho} v^{2} & =Q^{\rho}-\dot{v} \lambda^{\rho}=Q^{\rho}-\lambda^{\rho} Q^{\sigma} \lambda_{\sigma}, \\
x^{\prime \rho} v^{2} & =Q^{\rho}-\lambda^{\rho} Q^{\sigma} \lambda_{\sigma}+Q^{\prime \rho},
\end{aligned}
\]

где $Q^{\prime \rho}$ — сила реакции связи, а отсюда
\[
\left(x^{\prime \prime \rho}-x^{\rho}\right) v^{2}=Q^{\prime \rho} ;
\]

для связанных движений $C^{\prime}, C^{\prime \prime}$ имеем
\[
\left.\begin{array}{l}
A_{c \rho} \lambda^{\prime \rho}=0, \\
A_{c \rho} \lambda^{\prime \prime \rho}=0 ;
\end{array}\right\}
\]

дифференцирование этих уравнений дает
\[
A_{c \rho}\left(x^{\prime \rho}-x^{\prime \prime \rho}\right)=0 .
\]

Но согласно (46.15) или (85.4) сила реакции связи есть
\[
Q_{\rho}^{\prime}=\sum_{c=1}^{M} \vartheta_{c} A_{c \rho},
\]

где $\vartheta_{c}$ — неопределенный множитель; из уравнений (85.11) и (85.13) следует, что последний член в (85.9) обращается в нуль. Имеем тогда
\[
k^{\prime 2}-k^{\prime 2}=g_{\rho \sigma}\left(x^{\prime \rho}-x^{\prime \prime \rho}\right)\left(x^{\prime \sigma}-x^{\prime \prime \sigma}\right) \geqslant 0 ;
\]

из всех подчиненных связям движений, с заданными конфигурацией и скоростью, действительная траектория имеет наименьшую геометрическую кривизну по сравнению с траекторией, на которую не наложены связи.