Предположим, что имеет место уравнение энергии
\[
\Omega(x, y)=0
\]
и введем только одну систему координат – и для начальной и для конечной точек. Лучи или траектории удовлетворяют уравнениям
\[
\frac{d x_{r}}{d w}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}, \quad \frac{d y_{r}}{d w}=-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}} .
\]
Рассмотрим систему лучей (рис. 34), обравующих подпространство $R$ в пространстве $Q T$, или, может быть,
заполняющих все $Q T$ (в этом случае $R$ совцадает с $Q T$ ). Первая груша уравнений из (74.2) сопоставляет каждой точке в $R$ вектор $y_{r}$. Можно дать эквивалентное и более явное выражение $y_{r}$ через однородный лагранжиан
\[
y_{r}=\frac{\partial \Lambda\left(x, x^{\prime}\right)}{\partial x_{r}^{\prime}} .
\]
Мы говорим, что система лучей или траекторий образует когерентную систему ${ }^{1}$ ), если для каждого стягиваемого в точку контура в подпространстве $R$ имеет место условие
\[
\oint y_{r} d x_{r}=0 .
\]
В частности, легко увидеть из (72.5), что система лучей или траекторий, проведенных из данной точки, образует в пространстве $Q T$ когерентную систему.
Пусть имеется когерентная система; выберем какую-нибудь точку $B^{(0)} \in R$ и пусть $B$ – любая другая точка $R$. Соединим точки $B^{(0)}$ и $B$ кривой $C$ и обозначим
\[
U(B)=\int^{B} y_{r} d x_{r},
\]
где интеграл берется по кривой $C$. Мы опускаем запись нижнего предела $B^{(0)}$, так как точку $B^{(0)}$ мы раз и навсегда считаем фиксированной. Заметим, что в выражении (74.5) $y_{r}$ не является естественным вектором импульса энергии, соотнесенным $C$ (ср. с (69.10)); это – вектор $\qquad$
поля, заданного уравнениями (73.4), для когерентной системы. Согласно условию (74.4) интеграл (74.5) имеет одно и то же значение для всех совместимых контуров в $R$. Это означает, что если $R$ – односвязное цространство, то $U$ – однозначная функция тех координат, которые определяют положение точки $B$. Если $R$ – многосвязно, то $U$ – многозначная функция. Пусть $C_{1}, C_{2}, \ldots$ …, $C_{m}$ – полная система независимых неприводимых контуров. Тогда две любые кривые, проходящие через точку $B^{(0)}$, различаются числом контуров, которые они охватывают; имеем, таким образом,
\[
U(B)=U_{0}(B)+n_{1} J_{1}+n_{2} J_{2}+\ldots+n_{m} J_{m},
\]
и $U_{0}(B)$ – какое-либо значение функции (74.5), а
\[
J_{1}=\oint_{C_{1}} y_{r} d x_{r}, \ldots, J_{m}=\oint_{C_{m}} y_{r} d x_{r},
\]
и $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{m}$ – целые числа, положительные, отрицательные или равные нулю ${ }^{1}$ ).
Если лучи или траектории заполняют пространство $Q T$ (образуя конгруэнцию кривых), то в уравнении (74.5) координатам точки $B$ (назовем их $x_{r}$ ) можно придавать произвольные вариации. Тогда
\[
y_{r}=\frac{\partial U(x)}{\partial x_{r}},
\]
или, что то же самое,
\[
p_{\rho}=\frac{\partial U(q, t)}{\partial q_{\rho}}, \quad-H=\frac{\partial U(q, t)}{\partial t},
\]
и поэтому, согласно уравнению (74.1), $U$ удовлетворяет уравнению Гамильтона – Якоби
\[
\Omega\left(x, \frac{\partial U}{\partial x}\right)=0
\]
или \” несимметричной форме
\[
\frac{\partial U}{\partial t}+H\left(q, i, \frac{\partial U}{\partial q}\right)=0 .
\]
Назовем $U(B)$ – одноточечной характеристической функцией когерентной системы лучей или траекторий. Правда, она зависит от точки $B^{(0)}$, но это тривиальная зависимость – изменение точки $B^{(0)}$ – самое большее добавляет постоянную к $U(B)$.
