Для частицы с массой $m$, отталкивающейся от неподвижной тоџки $O$ силой $m F(u)$, где $u=1 / r$, уравнения (30.13) приводятся к виду
\[
\ddot{r}-\dot{r}{ }^{2}=F, \quad \dot{r^{2}} \dot{\vartheta}=h,
\]
и отсюда к уравнению
\[
\frac{d^{2} u}{d \vartheta^{2}}+u=-\frac{F}{h^{2} u^{2}} .
\]
Эти уравнения охватывают и случай притяжения, тогда $F$ – отрицательна. Потенциал $V$ в этом случае существует и определяется выражением
\[
V(u)=-\int_{r_{0}}^{r} F d r,
\]
где $r_{0}$ – некоторая постоянная. Уравнение энергии $T+V=$ const приводит к выражению
\[
\left(\frac{d u}{d \vartheta}\right)^{2}+u^{2}=\frac{2(E-V)}{h^{2}},
\]
которое является, конечно, первым интегралом уравнения (37.2). Это уравнение ${ }^{2}$ ) может быть решено в квадратурах,
так как оно имеет форму
\[
\left(\frac{d u}{d \vartheta}\right)^{2}=f(u)=\frac{2(E-V)}{h^{2}}-u^{2} .
\]
Для того чтобы связать время $t$ с переменными $(u, \vartheta)$, мы имеем согласно уравнениям (37.1)
\[
d l=\frac{r^{2} d \vartheta}{h}= \pm \frac{d u}{h u^{2} \sqrt{(u)}},
\]
знак выбирается так, чтобы дифференциал $d t$ был положительным.
Апсидами какой-либо орбиты являются те точки, в которых $r$ максимально или минимально. Таким образом, апсидам соответствуют точки $u=u_{1}, u=u_{2}$, где
\[
f\left(u_{1}\right)=0, \quad f\left(u_{2}\right)=0 .
\]
Апсидальный угол, по определению, равен
\[
\alpha=\int_{u=u_{1}}^{u=u_{2}} d v=\int_{u_{1}}^{u_{2}} \frac{d u}{\sqrt{f(u)}} .
\]
Уравнение всей орбиты можно получить из уравнения части ее, заключенной между двумя соседними апсидами, так как орбита симметрична относительно любого апсидального радиуса. Вся орбита заключена между двумя концентрическими окружностями (и касается их), но в исключительных случаях радиус внутренней окружности может обращаться в нуль, а радиус внещней – в бесконечность.
Заимствуя термины из астрономии, мы можем назвать одну из апсид внутренней окружности перигелием и одну из внешних апсид – афелием.
Если сила пропорциональна $r\left(F=\varepsilon k^{2} r, \varepsilon= \pm 1\right)$, то движение проще исследовать с помощью декартовых прямоугольных координат; в этом случае имеем уравнения
\[
\ddot{x}=\varepsilon k^{2} x, \quad \ddot{y}=\varepsilon k^{2} y .
\]
Если $\varepsilon=-1$, то орбита – эллипс, центр которого сов-
падает с началом координат и уравнения которого имеют вид
\[
\left.\begin{array}{l}
x=A \cos k t+B \sin k t \\
y=C \cos k t+D \sin k t
\end{array}\right\}
\]
Если $\varepsilon=+1$, решение аналогичным образом выражается через гиперболические функции. В этом случае орбита – центральная гипербола. В специальных случаях (при обращении в нуль момента импульса) орбитой является прямая линия, проведенная через начало координат. Тогда в случае $\varepsilon=-1$ мы имеем простой гармонический осциллятор.
