Конфигурацию системы, состоящей из $P$ частиц, всегда можно описать, задав $3 P$ координат частиц. Однако если эти $3 P$ координат должны удовлетворять уравнениям связей, то достаточно меньшего числа координат. Так, если система неизменяемая и имеет неподвижную точку, достаточно трех координат (например, углов Эйлера; §11). Любая совокупность параметров, которая полностью определяет конфигурацию системы, называется обобщенными координатами, а скорости их изменения – обобщенными скоростями.
Предположим, что $N$ обобщенных координат $q_{\rho}$ (и это число не может быть уменьшено) описывают конфигурацию системы. Предположим также, что можно изменять координаты $q_{\rho}$ произвольно и независимо, не нарушая связей (например, жесткие связи); тогда система называется голономной с $N$ степенями свободы.
Примеры голономных систем (с указанными числами степеней свободы):
твердое тело, имеющее неподвижную точку (3), свободное твердое тело (6),
твердое тело, движущееся параллельно плоскости (3), твердое тело, касающееся неподвижной плоскости (5). Система может быть подчинена связям, меняющимся со временем (например, частица должна двигаться по поверхности, которая сама движется некоторым заданным образом). Тогда для оиисания конфигурации системы, кроме обобщенных координат $q_{\rho}$, следует еще ввести и время $t$. Система голономна, если произвольные независимые изменения $q_{\rho}$ и $t$ не нарушают связей. Система
с не зависящими явно от времени связями называется склерономной, система со связями, изменяющимися со временем – реономной.
Если ( $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ ) – координаты $i$-й частицы системы в неподвижной системе координат $O x y z$, то обобщенные координаты должны быть выбраны так, чтобы выполнялись уравнения
\[
\begin{array}{r}
x_{i}=x_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N}, t\right), y_{i}=y_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N_{1}} t\right), \\
z_{i}=z_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N}, t\right), \quad \text { (27.1) }
\end{array}
\]
причем в случае склерономной системы ${ }^{1}$ ) $t$ не входит в уравнения.
Кинетическая энергия реономной системы равна
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{p} m_{i}\left(\dot{x}_{i}^{2}+\dot{y}_{i}^{2}+\dot{z}_{i}^{2}\right)= \\
& =\frac{1}{2} \sum_{\rho, \sigma=1}^{N} a_{\rho \sigma} \dot{q}_{\rho} \dot{q}_{\sigma}+\sum_{\rho=1}^{N} a_{\rho} \dot{q}_{\rho}+a ;
\end{aligned}
\]
здесь $a_{\rho \sigma}, a_{\rho}$, и $a$ – функции $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N}, t$. Для склерономной системы это выражение сводится согласно определению $T$ к положительно определенной квадратичной форме ${ }^{2}$ )
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{\rho, \sigma=1}^{N} a_{\rho \sigma} \dot{q}_{\rho} \dot{q}_{\sigma},
\]
где коэффициенты $a_{\rho \sigma}$ – функции $q_{1}, \ldots, q_{N}$.
