Простой гармонический осциллятор представляет собой частицу, которая движется по некоторой прямой цод влиянием восстанавливающей силы, направленной к точке $O$ на этой линии, а по величине пропорциональной расстоянию частицы от точки $O$. Если одновременно ка точку действует сила трения, обусловливающая затухание (ее часто называют демпфирующей силой), пропорциональная скорости и противоположная ей по направлению, а также вынуждающая сила, то уравнение движения принимает вид
\[
\ddot{x}+2 \mu \dot{x}+p^{2} x=X,
\]
где
\[
\left.\begin{array}{rl}
\text { восстанавливающая сила } & =-m p^{2} x, \\
\text { демпфирующая (сила трения) } & =-2 m \mu \dot{x}, \\
\text { вынуждающая сила } & =m X,
\end{array}\right\}
\]
и $m$ – масса частицы. Для незатухающего невозмущенного движенния осциллятора движение описывается уравнениями
\[
\left.\begin{array}{l}
\ddot{x}+p^{2} x=0, \\
x=a \cos (p t+\varepsilon),
\end{array}\right\}
\]
где $a$ – амплитуда колебания $\left.{ }^{1}\right), \frac{2 \pi}{p}$ – период, $\frac{p}{2 \pi}=v$ частота, $p=2 \pi v=\omega-$ круговая частота, $p t+\varepsilon=\varphi$-фаза, $\varepsilon$ – начальная фаза.
Говорят, что для двух значений $\varphi$, отличающихся на целое кратное $2 \pi$, осциллятор находится «в одной и той же фазе». Решение уравнения (33.3) можно также записать в комплексной форме
\[
x=A e^{i p t},
\]
где $A$ – комплексная амплитуда, которая включает фазовую постоянную. Физическое смещение $x$ равно действительной части комплексного числа (33.4).
Если $X=0$, то общее решение уравнения затухаюших колебаний (33.1) в комплексной форме имеет вид
\[
x=A e^{n_{1} t}+B e^{n_{2} t},
\]
где $n_{1}, n_{2}$ – корни уравнения
\[
n^{2}+2 \mu n+p^{2}=0 .
\]
Эти корни могут быть действительными или комплексными. В первом случае имеет место непериодическое движение (апериодическое затухание), во втором затухающие колебания ${ }^{1}$ ).
Если действует демпфирующая сила, а также вынуждающая сила, заданная как функция времени $t$, то общее решение уравнения (33.1) будет иметь вид
\[
\begin{array}{l}
x=A e^{n_{1} t}+B e^{n_{2} t}+ \\
\quad+\frac{1}{n_{1}-n_{2}} \int_{0}^{t} X(\tau)\left\{e^{n_{1}(t-\tau)}-e^{n_{2}(t-\tau)}\right\} d \tau .
\end{array}
\]
Для синусоидальной вынуядающей силы
\[
X \cdot(t)=X_{0} e^{i q t},
\]
решение (33.7) преобразуется к следующему виду:
\[
x=A^{\prime} e^{n_{1} t}+B^{\prime} e^{n_{2} t}+\frac{X_{0} e^{i q t}}{n_{1}-n_{2}}\left(\frac{1}{i q-n_{1}}-\frac{1}{i q-n_{2}}\right) \text {, }
\]
где $A^{\prime}$ и $B^{\prime}$ – новые произвольные постоянные. При $t \rightarrow \infty$ два первых члена исчезают и мы получаем для выражения вынужденных колебаний
\[
x=\frac{X_{0} e^{i q t}}{\left(i q-n_{1}\right)\left(i q-n_{2}\right)}=\frac{X_{0} e^{i q t}}{p^{2}-q^{2}+2 i \mu q} .
\]
Амплитуда велика (резонанс), если малы ( $p-q$ ) и $\mu$, т. е. если частота возмущающей силы близка к частоте незатухающего свободного колебания, а затухание мало ${ }^{1}$ ).
