Кватернион $q$ имеет форму
$$q=ai+bj+ck+d,$$

где $a,b,c,d$ — обыкновенные числа (мы будем считать их действительными) и $i,j,k$ — кватернионные единицы или единичные векторы ${}^1$ ), подчиненные следующим алгебраическим правилам:
$$\begin{array}{c}{i}^2=j^2=k^2=1,\\ jk=-kj=i,ki=-ik=j,ij=-ji=k.\end{array}\}$$

Векторная часть $Vq$, скалярная часть $Sq$, сопряженный кватернион $Kq$, норма $Nq$ и обратный кватернион $q^{-1}$ определяются следующими формулами ${}^2$ ):
$$\begin{array}{l}Vq=ai+bj+ck,Sq=d,q=Vq+Sq,\\ Kq=-Vq+Sq,\\ Nq=(qKq{)}^{\frac{1}{2}}={(a^2+b^2+c^2+d^2)}^{\frac{1}{2}},q^{-1}=\frac{Kq}{(Nq{)}^2}\cdot \end{array}\}$$

Векторную часть $Vq$ можно рассматривать как обыкновенный вектор, при этом $i,j,k$ являются единичными векторами координатных осей. Если $Sq=0$, кватернион $q$ вырождается в вектор с нормой $Nq=1$, если это единичный вектор.

Каждый кватернион $q$ определяет положительное число $h$, единичный вектор $p$ и угол $\chi (0⩽\chi ⩽2\pi )$. Соотношение между ними выражается формулой
$$q=h(\cos \frac{1}{2}\chi +p\sin \frac{1}{2}\chi ).$$

Тогда $Nq=h$ и получаем
$$q^{-1}=h^{-1}(\cos \frac{1}{2}\chi -p\sin \frac{1}{2}\chi ).$$

Пусть $r$ — какой-нибудь вектор и $q$ — какой-нибудь кватернион. Тогда формула
$$r^{\prime }=qr{q}^{-1}$$

определяет преобразование $r\to r^{\prime }$, такое, что $S{r}^{\prime }=Sr=0$ (т. е. $r^{\prime }$ — вектор), и это преобразование на самом деле является вращением вокруг оси $p$ на угол $\chi$, где $p$ и $\chi$ определены соотношением (12.4). Это можно показать следующим образом ${}^1)$.

Очевидно, что $h(=Nq$ ) сокращается в формуле (12.6) и мы можем взять, не умаляя общности, $Nq=1$, полагая, таким образом,
$$q=\lambda i+\mu j+vk+\varrho ,{\lambda }^2+{\mu }^2+v^2+{\varrho }^2=\dot{1}.$$

Тогда
$$q^{-1}=-\lambda i-\mu j-vk+\varrho$$

и, воспользовавшись выражением (12.6), при
$$r=xi+yj+zk,r^{\prime }=x^{\prime }i+y^{\prime }j+z^{\prime }k$$

находим в матричных обозначениях
$$r^{\prime }=Mr,$$

где $\mathit{M}$ имеет точно форму (10.9). Следовательно, преобразование (12.6) определяет вращение, а числа ( $\lambda ,\mu ,v,\varrho )$, введенные в формулах (12.7) действительно являются эйлеровыми параметрами вращения (§10). Полагая $n=1$ в выражении (12.4), получим следующие соотношения:
$$\begin{array}{l}Vq=p\sin \frac{1}{2}\chi ,(NVq{)}^2={\lambda }^2+{\mu }^2+v^2=\sin \frac{1}{2}\chi ,\\ Sq=\varrho =\cos \frac{1}{2}\chi ,\end{array}\}$$

так что (ср. с (10.2)) $Vq$ есть не что иное, как вектор $V$ из $\mathrm{\S }10$ (направленный вдоль оси вращения), а угол $\chi$ кватерниона, определенный формулой (12.4), есть угол вращения.