Кватернион $q$ имеет форму
\[
q=a i+b j+c k+d,
\]
где $a, b, c, d$ – обыкновенные числа (мы будем считать их действительными) и $i, j, k$ – кватернионные единицы или единичные векторы ${ }^{1}$ ), подчиненные следующим алгебраическим правилам:
\[
\left.\begin{array}{c}
i^{2}=j^{2}=k^{2}=1, \\
j k=-k j=i, \quad k i=-i k=j, \quad i j=-j i=k .
\end{array}\right\}
\]
Векторная часть $V q$, скалярная часть $S q$, сопряженный кватернион $K q$, норма $N q$ и обратный кватернион $q^{-1}$ определяются следующими формулами ${ }^{2}$ ):
\[
\left.\begin{array}{l}
V q=a i+b j+c k, \quad S q=d, \quad q=V q+S q, \\
K q=-V q+S q, \\
N q=(q K q)^{\frac{1}{2}}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)^{\frac{1}{2}}, q^{-1}=\frac{K q}{(N q)^{2}} \cdot
\end{array}\right\}
\]
Векторную часть $V q$ можно рассматривать как обыкновенный вектор, при этом $i, j, k$ являются единичными векторами координатных осей. Если $S q=0$, кватернион $q$ вырождается в вектор с нормой $N q=1$, если это единичный вектор.
Каждый кватернион $q$ определяет положительное число $h$, единичный вектор $p$ и угол $\chi(0 \leqslant \chi \leqslant 2 \pi)$. Соотношение между ними выражается формулой
\[
q=h\left(\cos \frac{1}{2} \chi+p \sin \frac{1}{2} \chi\right) .
\]
Тогда $N q=h$ и получаем
\[
q^{-1}=h^{-1}\left(\cos \frac{1}{2} \chi-p \sin \frac{1}{2} \chi\right) .
\]
Пусть $r$ – какой-нибудь вектор и $q$ – какой-нибудь кватернион. Тогда формула
\[
r^{\prime}=q r q^{-1}
\]
определяет преобразование $r \rightarrow r^{\prime}$, такое, что $S r^{\prime}=S r=0$ (т. е. $r^{\prime}$ – вектор), и это преобразование на самом деле является вращением вокруг оси $p$ на угол $\chi$, где $p$ и $\chi$ определены соотношением (12.4). Это можно показать следующим образом $\left.{ }^{1}\right)$.
Очевидно, что $h(=N q$ ) сокращается в формуле (12.6) и мы можем взять, не умаляя общности, $N q=1$, полагая, таким образом,
\[
q=\lambda i+\mu j+v k+\varrho, \quad \lambda^{2}+\mu^{2}+v^{2}+\varrho^{2}=\dot{1} .
\]
Тогда
\[
q^{-1}=-\lambda i-\mu j-v k+\varrho
\]
и, воспользовавшись выражением (12.6), при
\[
r=x i+y j+z k, \quad r^{\prime}=x^{\prime} i+y^{\prime} j+z^{\prime} k
\]
находим в матричных обозначениях
\[
r^{\prime}=M r,
\]
где $\boldsymbol{M}$ имеет точно форму (10.9). Следовательно, преобразование (12.6) определяет вращение, а числа ( $\lambda, \mu, v, \varrho)$, введенные в формулах (12.7) действительно являются эйлеровыми параметрами вращения (§10). Полагая $n=1$ в выражении (12.4), получим следующие соотношения:
\[
\left.\begin{array}{l}
V q=p \sin \frac{1}{2} \chi,(N V q)^{2}=\lambda^{2}+\mu^{2}+v^{2}=\sin \frac{1}{2} \chi, \\
S q=\varrho=\cos \frac{1}{2} \chi,
\end{array}\right\}
\]
так что (ср. с (10.2)) $V q$ есть не что иное, как вектор $V$ из $\S 10$ (направленный вдоль оси вращения), а угол $\chi$ кватерниона, определенный формулой (12.4), есть угол вращения.
