Рассмотрим систему $P$ частиц, вообще говоря, реономную и неголономную. Пусть на частицы с координатами $\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right.$ ) действуют силы с компонентами ( $X_{i}^{*}, Y_{i}^{*}$,

$\left.Z_{i}^{*}\right)$. Тогда для любой совершенно произвольной совокупности бесконечно малых перемещений частиц работа, произведенная этими силами, равна (причем все связи не принимаются во внимание):
\[
\delta W=\sum_{i=1}^{p}\left(X_{i}^{*} \delta x_{i}+Y_{i}^{*} \delta y_{i}+\ddot{Z}_{i}^{*} \delta z_{i}\right) .
\]

Если теперь конфигурации системы описываются с помощью $\left(q_{0}, t\right)$, то мы получим уравнения вида (27.1). Следовательно, работа, произведенная при перемещении, соответствующем произвольным вариациям $\left(\delta q_{\varrho}, \delta t\right)$, равна
\[
\delta W=\sum_{\rho=1}^{N} Q_{0}^{*} \delta q_{0}+Q^{*} \delta t,
\]

где
\[
\begin{aligned}
Q_{\rho}^{*} & =\sum_{i=1}^{P}\left(X_{i}^{*} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{\rho}}+Y_{i}^{*} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{\rho}}+Z_{i}^{*} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{\rho}}\right), \\
Q^{*} & =\sum_{i=1}^{P}\left(X_{i}^{*} \frac{\partial x_{i}}{\partial t}+Y_{i}^{*} \frac{\partial y_{i}}{\partial t}+Z_{i}^{*} \frac{\partial z_{i}}{\partial t}\right) .
\end{aligned}
\]

Величины $Q_{\rho}^{*}$ называются обобщенными силами; обычно их легче вычислить по формуле (29.2), чем по формуле (29.3).

Полная сила ( $X_{i}^{*}, Y_{i}^{*}, Z_{i}^{*}$ ), действующая на частицу системы, может быть разложена на две части:
$\left(X_{i}, Y_{i}, Z_{i}\right)$ – заданная сила $\left.{ }^{1}\right)$, например, такая, как сила притяжения,
\[
\left(X_{i}^{\prime}, Y_{i}^{\prime}, Z_{i}^{\prime}\right) \text { – сила связи. }
\]

Следовательно, полная обобщенная сила $Q_{\rho}^{*}$ может быть разделена на две части:
\[
Q_{\rho}^{*}=Q_{\rho}+Q_{\rho}^{\prime},
\]

так что $Q_{\rho}$ – заданная обобщенная сила, а $Q_{\rho}^{\prime}$ – обобщенная сила свлзи. Предположим, что $Q_{\rho}$ – известные функции

переменных $q_{1}, \ldots, q_{N}, t, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}$ и, возможно, также вторых производных $\ddot{q}_{1}, \ldots, \ddot{q}_{N}$.

Важность такого разложения полной силы обусловлена тем фактом, что во многих динамических системах силы связей не производят работы; под этим подразу мевается, что эти силы не производят работы при перемещении $\delta q_{\rho}$, удовлетворяющем мгновенной связи (при $\delta t=0$ ). Это заключает в себе условие
\[
\sum_{\rho=1}^{N} Q_{\rho}^{\prime} \delta q_{\rho}=0,
\]

так тто работа, произведенная всеми силами при этом перемещении, равна
\[
\delta W=\sum_{\rho=1}^{N} Q_{\rho} \delta q_{\rho} .
\]

Если существует функция $V\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, t\right)$, такая, что имеют место равенства
\[
Q_{\rho}=-\frac{\partial V}{\partial q_{\rho}},
\]

так что согласно (29.8) произведенная при перемещении работа выражается через $V$ следующим образом:
\[
\delta W=-\delta V,
\]

то говорят, что $V$ есть потенциальная функция ${ }^{1}$ ) или потенциальная энергия системы. В более общем случае, если существует функция $V\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, t, \dot{q}, \ldots, \dot{q}_{N}\right)$, такая, что
\[
Q_{\rho}=\frac{d}{d t} \frac{\partial V}{\partial \dot{q}_{\rho}}-\frac{\partial V}{\partial q_{\rho}},
\]

то $V$ называют обобщенной потенциальной функцией.