Пусть $\Gamma$ (рис. 32) – какая-нибудь кривая, соединяющая точки $B^{*}$ и $B$. Пусть $\Gamma_{1}$ одна из соседних варьированных кривых с концами в точках $D^{*}, D$. Выберем для $\Gamma_{1}$ тот же параметр $u$, что и на
Рис. 32. Вариация действия Лагранжа.
кривой $\Gamma$, с теми же значениями на концах: $u_{1}, u_{2}$. Тогда вариация лагранжева действия равна
\[
\begin{aligned}
\delta A_{L}=A_{L}\left(\Gamma_{1}\right)-A_{L}(\Gamma) & =\int_{u_{1}}^{u_{2}} \delta \Lambda d u= \\
& =\int_{u_{1}}^{u_{2}}\left(\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}} \delta x_{r}+\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}^{\prime}} \delta x_{r}^{\prime}\right) d u .
\end{aligned}
\]
Интегрирование по частям дает
\[
\delta A_{L} \doteq\left|\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}^{\prime}} \delta x_{r}^{\prime}\right|_{u=u_{1}}^{u=u_{2}}-\int_{u_{1}}^{u_{2}}\left(\frac{d}{d u} \frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}^{\prime}}-\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}}\right) \delta x_{r} d u .
\]
Ограничим теперь варьированную кривую $\Gamma_{1}$ требованиом, чтобы еө концевыө точки совпадали с точками $B^{*}$,
$B$. Тогда первый член правой части (65.2) исчезает. Если $\delta A_{L}=0$ для всех вариаций от $\Gamma \kappa \Gamma_{1}$, совершенно произвольных, за исключением условия фиксированности конечных точек, то кривая $\Gamma$ удовлетворяет уравнениям Эйлера – Лагранжа:
\[
\frac{d}{d u} \frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}^{\prime}}-\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}}=0 .
\]
Мы можем рассматривать эти уравнения как ларражжевы уравнения движения, а кривне, удовлетворяющие им, как лучи или траектории ${ }^{1}$ ).
Вариационное уравнение
\[
\delta \int \Lambda\left(x, x^{\prime}\right) d u=0
\]
для случая с закрепленными концами эквивалентно системе дифференциальных уравнений (65.3). Назовем уравнение (65.4) первой формой принципа Гамильтона ${ }^{2}$ ).
Этот принцип можно также написать в виде
\[
\delta \int L(q, t, \dot{q}) d t=0,
\]
при фиксированных значениях $q_{\rho}$ и $t$ на концах; он приводит сразу же к лагранжевым уравнениям движения в следующей форме (ср. с (46.18)):
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\rho}}-\frac{\partial L}{\partial q_{\rho}}=0 .
\]
Эти уравнения эквивалентны системе (65.3). Появляющееся здесь выражение называют лагранжевой производной функции $L$.
Система (65.3) состоит из $N+1$ уравнений, а (65.6) только из $N$. Однако уравнения ( 65.3 ) не являются независимыми, так как в силу однородности функции $\Lambda$ имеет место следующее тождество:
\[
\begin{array}{r}
\boldsymbol{x}_{r}^{\prime}\left(\frac{d}{d u} \frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}^{\prime}}-\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}}\right)=\frac{d}{d u}\left(x_{r}^{\prime} \frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}^{\prime}}\right)-x_{r}^{\prime \prime} \frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}^{\prime}}-x_{r}^{\prime} \frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}}= \\
-\frac{d \Lambda}{d u}-\frac{d \Lambda}{d u}=0 .
\end{array}
\]
При условии, что уравнения (65.6) можно разрешить относительно $\ddot{q}_{\rho}$ (а мы будем предполагать, что это можно сделать), эти уравнения определяют в пространстве $Q T$ луч, соответствующий заданным начальным значениям переменных $q_{\rho}, t, \dot{q}_{\rho}$. Тогда через каждую точку $x_{r}$ пространства QT и в каждом направлении (определенном отношениями $d x_{1}: d x_{2}: \ldots: d x_{N+1}$ ) проходит единственный луч или траектория.
Мы можем употреблять термин $\Lambda$-динамика, когда нужно сказать, что теория основвана на вариационном уравнении (65.4) и его әкстремалях (65.3). Аналогично можно ввести термин $L$-динамика для уравнения (65.5) и. экстремалей (65.6).
По существу, они эквивалентны друг другу; $L$-динамика есть форма $\Lambda$-динамики, в которой $t$ рассматривается двояко: как координата в пространстве $Q T$ и как параметр на кривой в $Q T$. Мы объединим их под общим названием лагранжева динамика.
