Пусть $\mathrm{\Gamma }$ (рис. 32) — какая-нибудь кривая, соединяющая точки $B^{\ast }$ и $B$. Пусть ${\mathrm{\Gamma }}_1$ одна из соседних варьированных кривых с концами в точках $D^{\ast },D$. Выберем для ${\mathrm{\Gamma }}_1$ тот же параметр $u$, что и на
Рис. 32. Вариация действия Лагранжа.

кривой $\mathrm{\Gamma }$, с теми же значениями на концах: $u_1,u_2$. Тогда вариация лагранжева действия равна
$$\begin{array}{rl}\delta A_L=A_L\left({\mathrm{\Gamma }}_1\right)-A_L(\mathrm{\Gamma })& ={\int }_{u_1}^{u_2}\delta \mathrm{\Lambda }du=\\ & ={\int }_{u_1}^{u_2}(\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial x_r}\delta x_r+\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial x_r^{\prime }}\delta x_r^{\prime })du.\end{array}$$

Интегрирование по частям дает
$$\delta A_L\doteq {\left|\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial x_r^{\prime }}\delta x_r^{\prime }\right|}_{u=u_1}^{u=u_2}-{\int }_{u_1}^{u_2}(\frac{d}{du}\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial x_r^{\prime }}-\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial x_r})\delta x_{r}du.$$

Ограничим теперь варьированную кривую ${\mathrm{\Gamma }}_1$ требованиом, чтобы еө концевыө точки совпадали с точками $B^{\ast }$,

$B$. Тогда первый член правой части (65.2) исчезает. Если $\delta A_L=0$ для всех вариаций от $\mathrm{\Gamma }\kappa {\mathrm{\Gamma }}_1$, совершенно произвольных, за исключением условия фиксированности конечных точек, то кривая $\mathrm{\Gamma }$ удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа:
$$\frac{d}{du}\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial x_r^{\prime }}-\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial x_r}=0.$$

Мы можем рассматривать эти уравнения как ларражжевы уравнения движения, а кривне, удовлетворяющие им, как лучи или траектории ${}^1$ ).
Вариационное уравнение
$$\delta \int \mathrm{\Lambda }(x,x^{\prime })du=0$$

для случая с закрепленными концами эквивалентно системе дифференциальных уравнений (65.3). Назовем уравнение (65.4) первой формой принципа Гамильтона ${}^2$ ).
Этот принцип можно также написать в виде
$$\delta \int L(q,t,\dot{q})dt=0,$$

при фиксированных значениях $q_{\rho }$ и $t$ на концах; он приводит сразу же к лагранжевым уравнениям движения в следующей форме (ср. с (46.18)):
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{\rho }}-\frac{\partial L}{\partial q_{\rho }}=0.$$

Эти уравнения эквивалентны системе (65.3). Появляющееся здесь выражение называют лагранжевой производной функции $L$.

Система (65.3) состоит из $N+1$ уравнений, а (65.6) только из $N$. Однако уравнения ( 65.3 ) не являются независимыми, так как в силу однородности функции $\mathrm{\Lambda }$ имеет место следующее тождество:
$$\begin{array}{r}{\mathit{x}}_r^{\prime }(\frac{d}{du}\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial x_r^{\prime }}-\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial x_r})=\frac{d}{du}\left(x_r^{\prime }\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial x_r^{\prime }}\right)-x_r^{\prime \prime }\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial x_r^{\prime }}-x_r^{\prime }\frac{\partial \mathrm{\Lambda }}{\partial x_r}=\\ -\frac{d\mathrm{\Lambda }}{du}-\frac{d\mathrm{\Lambda }}{du}=0.\end{array}$$

При условии, что уравнения (65.6) можно разрешить относительно ${\ddot{q}}_{\rho }$ (а мы будем предполагать, что это можно сделать), эти уравнения определяют в пространстве $QT$ луч, соответствующий заданным начальным значениям переменных $q_{\rho },t,{\dot{q}}_{\rho }$. Тогда через каждую точку $x_r$ пространства QT и в каждом направлении (определенном отношениями $d{x}_1:d{x}_2:\dots :d{x}_{N+1}$ ) проходит единственный луч или траектория.

Мы можем употреблять термин $\mathrm{\Lambda }$-динамика, когда нужно сказать, что теория основвана на вариационном уравнении (65.4) и его әкстремалях (65.3). Аналогично можно ввести термин $L$-динамика для уравнения (65.5) и. экстремалей (65.6).

По существу, они эквивалентны друг другу; $L$-динамика есть форма $\mathrm{\Lambda }$-динамики, в которой $t$ рассматривается двояко: как координата в пространстве $QT$ и как параметр на кривой в $QT$. Мы объединим их под общим названием лагранжева динамика.