Электромагнитное поле с электрическим вектором $E_{\rho}$ и магнитным вектором $H_{\rho}$ можно описать кососимметричным

тензором $F_{r s}$, где
\[
\begin{array}{l}
E_{1}=i F_{14}, \quad E_{2}=i F_{24}, \quad E_{3}=i F_{34}, \quad \\
\left.H_{1}=F_{23}, \quad H_{2}=F_{31}, \quad H_{3}=F_{12} ; \quad\right\} \\
\end{array}
\]

соответствующий 4 -потенциал $\varphi_{r}$ таков, что выполняется условие
\[
F_{r s}=\varphi_{s, r}-\varphi_{r, s},
\]

где запятые обозначают частные производные.
Для частицы с постоянной собственной массой $m$ и зарядом $e$, движущейся в заданном электромагнитном поле ${ }^{1}$ ), мы берем однородный лагранжиан в виде
\[
\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)=m c \sqrt{-x_{r}^{\prime} x_{r}^{\prime}}-\frac{e}{c} \varphi_{r} x_{r}^{\prime}
\]

или, выражая его через 4-скорость, в виде
\[
\Lambda(x, \lambda)=m c \sqrt{-\lambda_{r} \lambda_{r}}-\frac{e}{c} \varphi_{r} \lambda_{r} .
\]

Соответствующий обыкновенный лагранжиан есть
\[
L=\frac{m c^{2}}{\gamma}-\frac{e}{c} \varphi_{\rho} \dot{x}_{\rho}+V,
\]

где потенциальная энергия частицы $V$ выражается следующим образом:
\[
V=\frac{e \varphi_{4}}{i} .
\]

Уравнения движения (110.13) дают следующие уравнения:
\[
m \frac{d \lambda_{r}}{d s}=\frac{e}{c^{2}} F_{r n} \lambda_{n},
\]

где член в правой части есть лоренцова пондеромоторная сила. Это уравнение имеет форму (109.1); при этом вследствие кососимметричности әлектромагнитного тензора

удовлетворяется условие постоянства собственной массы (109.3). Эти уравнения можно также выразить в векторной форме (ср. (40.1) и (40.2))
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d}{d t}(m \gamma \boldsymbol{\imath} & =e\left(\boldsymbol{E}+\frac{\boldsymbol{v}}{c} \times \boldsymbol{H}\right), \\
\frac{d}{d t}\left(m \gamma c^{2}\right) & =e \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{E} .
\end{array}\right\}
\]

Для того чтобы получить уравнение энергии $\Omega(x, y)=$ $=0$, напишем уравнение гамильтонова 4-вектора,
\[
y_{r}=-\frac{\partial \Lambda}{\partial \lambda_{r}}=m c \lambda_{r}+\frac{e}{c} \varphi_{r},
\]

и получаем, следовательно, уравнение
\[
2 \Omega(x, y)=\left(y_{r}-\frac{e}{c} \varphi_{r}\right)\left(y_{r}-\frac{e}{c} \varphi_{r}\right)+m^{2} c^{2}=0,
\]

так как $\lambda_{r} \lambda_{r}=-1$.
Канонические уравнения имеют вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x_{r}}{d w}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}=y_{r}-\frac{e}{c} \varphi_{r}, \\
\frac{d y_{r}}{d w}=-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}}=\frac{e}{c}\left(y_{n}-\frac{e}{c} \varphi_{n}\right) \varphi_{n, r}
\end{array}\right\}
\]

Согласно уравнению (110.20) гамильтониан выражается следующим образом (мы разрешили уравнение (115.10) относительно $y_{r}$ ):
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{c y_{4}}{i}= \\
=V \pm c \sqrt{\left(p_{\rho}-\frac{e}{c} \varphi_{\rho}\right)\left(p_{\rho}-\frac{e}{c} \varphi_{\rho}\right)+m^{2} c^{2}} .
\end{array}
\]

Гамильтонов 3-импульс равен
\[
p_{\rho}=m \gamma v_{\rho}+\frac{e}{c} \varphi_{\rho} .
\]

Согласно уравнениям (112.3) и (115.10) уравнение Гамильтона – Якоби таково:
\[
\left(\frac{\partial S}{\partial x_{r}}+\frac{e}{c} \varphi_{r}\right)\left(\frac{\partial S}{\partial x_{r}}+\frac{e}{c} \stackrel{\varphi_{r}}{\varphi_{r}}\right)+m^{2} c^{2}=0 .
\]

В случае электростатического поля полагаем $\varphi_{\rho}=0$, $e \varphi_{4}=i V ;$ имеем тогда
\[
-\frac{1}{c^{2}}\left(\frac{\partial S}{\partial t}-V\right)^{2}+\frac{\partial S}{\partial x_{\rho}} \frac{\partial S}{\partial x_{\rho}}+m^{2} c^{2}=0 .
\]

Движение определяется через полный интеграл формулой (112.2).