Упругое столкновение материальной частицы и фотона называется комптон-эффектом. Как отмечено в § 120, существует двойная неопределенность в результате столкновения.
Для того чтобы обсудить столкновение в общей галилеевой системе отсчета, обозначим через $M_{r}, M_{r}^{\prime} 4$-импульсы материальной частицы до и после столкновения, а че-

Рис. 55. Векторная диаграмма упругого удара.

рез $P_{r}, P_{r}^{\prime}-4$-импульсы фотона. Имеют место следующие уравнения:
\[
\left.\begin{array}{rl}
M_{r}^{\prime}+P_{r}^{\prime} & =M_{r}+P_{r}, \\
M_{r}^{\prime} M_{r}^{\prime}=M_{r} M_{r} & =-m^{2}, \\
P_{r}^{\prime} P_{r}^{\prime}=P_{r} P_{r} & =0 .
\end{array}\right\}
\]

Эти шесть уравнений содержат всю информацию, имеющуюся для определения восьми величин $M_{r}^{\prime}, P_{r}^{\prime}$.

Описание исхода столкновения зависит от используемой системы отсчета. Проще всего это описание в случае системы отсчета центра масс (см. § 121). Однако в обычном описании, которое дано ниже, употребляют лабораторную систему, в которой частида первоначально находится в покое ${ }^{1}$ ).

Рис. 56 показывает фотон (с частотой $v$ ), приближающийся слева и рассеивающийся (с частотой $v^{\prime}$ ) под углом $\vartheta$. Материальная частица исцытывает отдачу под углом $\varphi$ со скоростью, абсолютное значение которой равно $v^{\prime}$,
Рис. 56. Комптон-эффект в лабораторной системе отсчета.

как и показано на рис. 56. Из соотношений (120.4) и (120.5) следует, что три направления движения компланарны и что
\[
\left.\begin{array}{rl}
m \gamma^{\prime} v^{\prime} \cos \varphi+\frac{h v}{c} \cos \vartheta & =\frac{h v}{c}, \\
m \gamma^{\prime} v^{\prime} \sin \varphi-\frac{h v^{\prime}}{c} \sin \vartheta & =0, \\
m \gamma^{\prime} c^{2}+h v^{\prime} & =m c^{2}+h v .
\end{array}\right\}
\]

Предполагая, что $\vartheta$ принимает любое значение (неопределенность проблемы заключена отчасти в этом), находим после небольших вычислений
\[
\left.\begin{array}{l}
\operatorname{tg} \varphi=\frac{\operatorname{ctg} \frac{1}{2} \vartheta}{1+k}, \\
\frac{v^{\prime}}{c}=\frac{2 k \sin \frac{1}{2} \vartheta \sqrt{1+k(2+k) \sin ^{2} \frac{1}{2} \vartheta}}{1+2 k(1+k) \sin ^{2} \frac{1}{2} \vartheta},
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\left.\begin{array}{l}
\gamma^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{1+2 k(1+k) \sin ^{2} \frac{1}{2} \vartheta}{1+2 k \sin ^{2} \frac{1}{\vartheta}}, \\
v^{\prime}=\frac{v}{1+2 k \sin ^{2} \frac{1}{2} \vartheta},
\end{array}\right\}
\]

где
\[
k=\frac{h v}{m c^{2}} .
\]