Пусть $L-$ мировая линия частицы в когерентной системе (рис. 53) и пусть $W_{1}, W_{2}$ – две 3 -волны де Бройля, пересөкающе $L$ соответственно в событиях $A, B$. Пусть эти волны выбраны так, что действие вдоль $A B$ равно $h$ (постоянная Планка).
Считая $h$ бесконечно малой, имеем
\[
-y_{r} d x_{r}=h,
\]

где $y_{r}$ – гамильтонов 4-вектор, соответствующий $L$ в точке $A$, и $d x_{r}$ – смещение вдоль $A B$. Если $C B$ проведена параллельно оеи времени из точки $C$, которая лежит на $W_{1}$, то период волны де Бройля есть
\[
\tau=\frac{B C}{c},
\]

где $B C$ – интервал Минковского.

Согласно уравнениям (117.8) $y_{r}$ ортогонален волне $W_{1}$. Отсюда (так как смецение $A B$ есть векторная сумма $A C$ и $C B$ ) имеем из уравнения (119.1)
\[
-y_{r} d \xi_{r}=h,
\]

Рис. 53. Волны де Бройля с периодом $B C / c$.

где $d \xi_{r}$ – перемещение $C B$. Но это последнее перемещение параллельно оси времени, следовательно,
\[
d \xi_{\rho}=0, \quad d \xi_{4}=i B C .
\]

Поэтому уравнение (119.3) дает следующий результат:
\[
B C=-\frac{h}{i y_{4}},
\]

и
\[
\tau=-\frac{h}{i c y_{4}} .
\]

Это – приближенное выражевие для периода волны де Бройля, так как $h$ считается бесконечно малым.
В случае свободной частицы имеем (ср. (111.7))
\[
y_{4}=m c \lambda_{4}=i m \gamma c .
\]

Итак, период $\tau$ и частота $v$ имеют следующие значения:
\[
\tau=\frac{h}{m \gamma c^{2}}, \quad h v=m \gamma c^{2} .
\]

Так как абсолютная величина волновой скорости равна $u=c^{2} / v$, то длина волны де Бройля такова:
\[
\lambda=u \tau=\frac{h}{m \gamma v} .
\]

Эти выражения являются точными в наипростейшем случае, а именно, когда мировые линии когерентной системы параллельны и, следовательно, волны плоские и параллельные.

Возвращаясь к общему случаю частицы, движущейся в соответствии с некоторым уравнением энергии $\Omega(x, y)=0$ или, что эквивалентно, в соответствии с некоторым гамильтонианом $H$, получаем из уравнений (110.19) и (119.6) выражения
\[
\tau=-\frac{h}{i c y_{4}}=\frac{h}{H}, \quad h v=H .
\]