Для системы из $P$ частиц энергия ускорения определяется следующим выражением:
\[
S=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{p} m_{r_{i}} \cdot \ddot{r_{i}},
\]

где в выражении кинетической энергии скорости заменены ускорениями. Если $q_{\rho}(\varrho=1, \ldots, N)$ – обобщенные координаты, так что $r_{i}=r_{i}(q, t)$, то, очевидно,
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{\boldsymbol{r}}_{i}=\sum_{\rho=1}^{N} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{\rho}} \dot{q}_{\rho}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial t}, \\
\ddot{\boldsymbol{r}}_{i}=\sum_{\rho=1}^{N} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{\rho}} \ddot{q}_{\rho}+\sum_{\rho, \boldsymbol{\sigma}=1}^{N} \frac{\partial^{2} \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{\rho} \partial q_{\sigma}} \dot{q}_{\rho} \dot{q}_{\sigma}+ \\
& +2 \sum_{\rho=1}^{N} \frac{\partial^{2} \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{\rho} \partial t} \dot{q}_{\rho}+\frac{\partial^{2} \boldsymbol{r}_{i}}{\partial t^{2}}
\end{array}\right\}
\]

Мы можем, следовательно, написать
\[
S=S(q, \dot{q}, \ddot{q}, t) .
\]

Эта функция $3 N+1$ переменнц х называется функцией Anneлs: она второй степени относительно производных $\ddot{q}_{\rho}$ и ее частные производные по $\ddot{q}_{\rho}$ выражаются следующим образом (ср. (46.7)):
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial S}{\partial \ddot{q}_{\rho}}=\sum_{i=1}^{P} m_{i} \ddot{r}_{i} \frac{\partial \dot{r}_{i}}{\partial \ddot{q}_{\rho}}=\sum_{i=1}^{P} m_{i} \ddot{r}_{i} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{\rho}}=\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\rho}}-\frac{\partial T}{\partial q_{\rho}} \\
(\varrho=1, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Таким ои́разом, если система голономна и если ойобщенные координаты $g_{\rho}$ образуют систему координат с нанменьшим числом независимых координат, то уравнения Лагранжа (48.18) приводят сразу к уравнениям движения Anпеля:
\[
\frac{\partial S}{\partial \ddot{q}_{\rho}}=Q_{\rho} \quad(\varrho=1, \ldots, N) .
\]

Iредположим теперь, что на систему наложены связи (46.2):
\[
\sum_{\rho=1}^{N} A_{c \rho} d q_{\rho}+A_{c} d t \quad(c=1, \ldots, M),
\]

связи, вообще говоря, неголономные, так что уравнения Лагранжа надо писать в форме (46.15). Иепользуя чисто кинематический результат (48.4), можно выразить уравнения (46.14) следующим образом:
\[
\sum_{\rho=1}^{N} \frac{\partial S}{\hat{\partial} \dot{q}_{\rho}} \delta q_{\rho}=\sum_{\rho=1}^{N} Q_{\rho} \delta q_{\rho}
\]

для всех $\delta q_{\rho}$, удовлетворяющих условиям
\[
\sum_{\rho=1}^{N} A_{c \rho} \delta q_{\rho}=0 \quad(c=1, \ldots, M) .
\]

Согласно (48.6) имеем уравнения связей
\[
\sum_{\rho=1}^{N} A_{c \rho} \dot{q}_{\rho}+A_{c}=0 \quad(c=1, \ldots, M)
\]

и отсюда дифференцированием по $t$ получаем
\[
\sum_{\rho=1}^{N} A_{c \rho} \ddot{q_{\rho}}+B_{c}(q, \dot{q}, t)=0 \quad(c=1, \ldots, M),
\]

где $B_{c}$ – функции указанных $2 N+1$ переменных. С помощью этих последних уравнений можно выразить $\ddot{q}_{1}, \ldots, \ddot{q}_{M}$ через $3 N-M+1$ величин
\[
q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, \ddot{q}_{N+1}, \ldots, \ddot{q}_{N}, t .
\]

Итак, мы ножем паписать,
\[
\begin{array}{l}
S\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, \ddot{q}_{1}, \ldots, \ddot{q}_{N}, l\right)= \\
\quad=\bar{S}\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{N}, \ddot{q}_{M+1}, \ldots, \ddot{q}_{N}, l\right) .
\end{array}
\]

Если мы придасм варнациям $\delta \ddot{q}_{1}, \ldots, \delta \ddot{q}_{N}$ произвольные значения, удовлетворяющие только условиям
\[
\sum_{\rho=1}^{N} A_{c \rho} \delta \ddot{q}_{\rho}=0 \quad(c=1, \ldots, M),
\]

то из уравнений (48.10) и (48.11) следует, тто
\[
\sum_{\rho=1}^{N} \frac{\partial S}{\partial \ddot{q}_{\rho}} \delta \ddot{q}_{\rho}=\sum_{r=M+1}^{N} \frac{\partial \bar{S}}{\partial \ddot{q}_{r}} \delta \ddot{q}_{r} .
\]

Это эквивалентно утверждению, что
\[
\sum_{\rho=1}^{N} \frac{\partial S}{\partial \ddot{q}_{\rho}} \delta q_{\rho}=\sum_{r=M+1}^{N} \frac{\partial \bar{S}}{\partial \dddot{q}_{r}} \delta q_{r}
\]

для всех вариаций $\delta q_{1}, \ldots, \delta q_{N}$, которые удовлетворяют условиям
\[
\sum_{\rho=1}^{N} A_{c \rho} \delta q_{\rho}=0 \quad(c=1, \ldots, M) .
\]

Определим теперь $\bar{Q}_{M+1}, \ldots, \bar{Q}_{N}$ следующим условием:
\[
\sum_{\rho=1}^{N} Q_{\rho} \delta q_{\rho}=\sum_{r=M+1}^{N} \overline{Q_{r}} \delta q_{r}
\]

для всех вариаций, удовлетворяющих (48.15). Тогда согласно (48.14) и (48.16) мы можем переписать уравнение (48.7) в форме
\[
\sum_{r=M+1}^{N} \frac{\partial \bar{S}}{\partial \ddot{q}_{r}} \delta q_{r}=\sum_{r=M+1}^{N} \bar{Q}_{r} \delta q_{r},
\]

и так как варпации произвольны, то имеем
\[
\frac{\partial \bar{S}}{\partial \ddot{q}_{r}}=\bar{Q}_{r} \quad(r=M+1, \ldots, N),
\]

т. е. приходим к уравнениям движения Аппеля в форме, важной для неголономных систем ${ }^{1}$ ).