Проблемой $n$ тел называется задача о движении $n$ частиц, притягивающихся друг к другу с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Если $m_{i}(i=1, \ldots, n)$ – массы частиц, $r_{i}-$ их радиусы-векторы и $r_{i j}=-r_{j i}=r_{i}-r_{j}$, то уравнения движения имеют вид
\[
m_{i} \ddot{r}_{i}=-G \sum_{j=1}^{n} \boldsymbol{r}_{i j} \frac{m_{i} m_{j}}{r_{i j}^{3}},
\]
где $G$ – гравитационная постоянная.
Система имеет три интеграла импульса и три интеграла момента импульса; в векторной форме они имеют вид
\[
\left.\begin{array}{r}
\sum_{i=1}^{n} m_{i} \dot{r}_{i}=\boldsymbol{M}=\mathrm{const}, \\
\sum_{i=1}^{n} m_{i} \boldsymbol{r}_{i} \times \dot{\boldsymbol{r}}_{i}=\boldsymbol{h}=\mathrm{const} .
\end{array}\right\}
\]
Имеется также интеграл энергии
\[
T+V=E=\text { const, }
\]
где
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m} m_{i} \dot{r}_{i} \dot{r}_{i}, \\
V=-\sum_{\substack{i, j=1 \\
j>1}}^{\mathrm{k}} \frac{G m_{i} m_{j}}{r_{i j}} .
\end{array}
\]
Скорость центра масс постоянна, и мы можем, если хотим, принять систему отсчета, в которой центр масс всегда неподвижен.
Эти семь интегралов существуют также, если действуют силы более общего типа, при условии, что они подчиняются третьему закону Ньютона и зависят только от взаимных расстояний. между частицами. Закон обратной пропорциональности силы квадрату расстояния заключен в уравнении Якоби, которое имеет вид
\[
\frac{d^{2} \Phi}{d t^{2}}=2 T+V
\]
где
\[
\Phi=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m} m_{i} r_{i}^{2} .
\]
Этот поразительный результат легко доказать ${ }^{1}$ ), исходя из уравнений движения в форме Гамильтона (§ 47) для системы с $N$ степенями свободы, имеющей гамильтонову функцию вида
\[
H(q, p)=T(p)+V(q),
\]
где $T$ – однородная функция второй степени относительно обобщенных импульсов (p) и $V$ – однородная функция степени -1 относительно обобщенных координат (q). Гамильтонова функция проблемы $n$ тел имеет именно эту форму. Благодаря однородности функций $T$ и $V$ справедливы уравнения
\[
\sum_{\rho=1}^{N} \frac{\partial H}{\partial p_{\rho}} p_{\rho}=2 T, \sum_{\rho=1}^{N} \frac{\partial H}{\partial q_{\rho}} q_{\rho}=-V .
\]
Если определить $\Psi$ следующим образом:
\[
\Psi=\sum_{\rho=1}^{N} p_{\rho} q_{\rho}
\]
то, согласно уравнениям Гамильтона (47.7), имеет место уравнение
\[
\frac{d \Psi}{d t}=\sum_{\rho=1}^{N}\left(p_{\rho} \frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}} q_{\rho}\right)=2 T+V .
\]
Это общая форма уравнения Якоби; в случае проблемы $n$ тел имеем уравнение
\[
\frac{d \Phi}{d t}=\sum_{i=1}^{n} m_{i} \dot{\boldsymbol{r}}_{i} \boldsymbol{r}_{i}=\sum_{\rho=1}^{N} p_{\rho} q_{\rho}=\Psi,
\]
а (53.10) приводит к уравнению (53.5). Величина
\[
\Phi^{\prime}=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{n} \frac{m_{i} m_{j}}{M} r_{i j}^{2},
\]
где $M$ – полная масса системы, не зависит от системы отсчета, и легко видеть, что $\Phi^{\prime}=\Phi$, если за начало координат выбран центр масс. Отсюда уравнение Якоби можно также переписать в виде
\[
\frac{d^{2} \mathbf{\Phi}^{\prime}}{d t^{2}}=2 T^{\prime}+V
\]
где $T^{\prime}$ – кинетическая энергия относительно центра масс. Если $n=2$, имеем проблему двух тел (§51), которая легко решается. Но при $n>2$ решение проблемы встречает большие математические трудности. Случай $n=3$ (проблема трех тел) представляет особый интерес для математиков; по этой проблеме имеется общирная литература $^{1}$ ).
В проблеме трех тел имеются девять координат и девять импульсов и мы имеем систему из 18 гамильтоновых
уравнений движения. С помощью интегралов (53.2) и (53.3), применяя канонические преобразования ${ }^{1}$ ), удается уменьшить число уравнений системы с 18 до $6^{2}$ ). Если частищы движутся в плоскости, число уравнений уменьшается до четырех.
Хотя не известно никакого общего формального решения проблемы трех тел, однако существуют частные решения проблемы, известной как задача Лагранжа ${ }^{3}$ ), в которой конфигурация этих тел представляет собой либо жесткую ирямую линию, либо треугольник; это следующие движения:
a) частицы остаются всегда на прямой линии, вращающейся с произвольной постоянной угловой скоростью, которая определяет взаимные расстояния частиц;
б) треугольник, образованный частицами, остается равносторонним со сторонами постоянной длины, вращаясь в своей плоскости с произвольной постоянной угловой скоростью, которая определяет размеры треугольника.
