Рассмотрим проблему на конкретных физических примерах:
(I) солнечная система,
(II) свободное твёрдое тело.

Для солнечной системы ньютонова динамика (НД) устанавливает в качестве математической модели систему $P$ частиц с постоянными массами $m_{i}(i=1,2, \ldots, P)$. Для нескольких частид мы имеем уравнения движения следующего вида:
\[
\begin{array}{l}
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=X_{i}, \quad m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=Y_{i}, \\
m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=Z_{i} \quad(i=1,2, \ldots, P),
\end{array}
\]

где силы $\left(X_{i}, Y_{i}, Z_{i}\right)$ в соответствии с законом тяготения Ньютона определяются уравнениями
\[
\left.\begin{array}{l}
X_{i}=G m_{i} \sum_{j} \frac{m_{j}\left(x_{j}-x_{i}\right)}{r_{i j}^{3}}, \\
r_{i j}^{2}=\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}+\left(y_{i}-y_{j}\right)^{2}+\left(z_{i}-z_{j}\right)^{2}
\end{array}\right\}
\]

и аналогичными выражениями для $Y_{i}$ и $Z_{i}$. Суммирование по $j$ производится от $j=1$ до $j=P$ при $j
eq i$; $G$ – гравитационная постоянная. Мы имеем, таким образом, в уравнениях (5.1) и (5.2) совокупность уравнений, достаточных для определения $\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right)(i=1,2, \ldots, P)$ как функций $t$ и значений
\[
x_{i}, y_{i}, z_{i}, \frac{d x_{i}}{d t}, \frac{d y_{i}}{d t}, \frac{d z_{i}}{d t} \quad(i=1,2, \ldots, P)
\]

при $t=0$.
В случае свободного твердого тела опять берем систему $P$ частиц и уравнения движения (5.1). Мы присоединяем к ним условия твердости,
\[
\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}+\left(y_{i}-y_{j}\right)^{2}+\left(z_{i}-z_{j}\right)^{2}=a_{i j}^{2},
\]

где $a_{i j}=$ const – постоянные расстояния между частицами. Что касается сил, то они задаются в форме
\[
X_{i}=\sum_{j} X_{i j}, \quad Y_{i}=\sum_{j} Y_{i j}, \quad Z=\sum_{j} Z_{i j},
\]

где
\[
X_{i j}=-X_{j i}=A_{i j}\left(x_{j}-x_{i}\right) .
\]

Здесь $A_{i j}\left(=A_{j i}\right.$ ) неизвестны; исключив их, мы получим в уравнениях (5.1), (5.4), (5.5), (5.6) группу уравнений, достаточных для определения $\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right)(i=1,2, \ldots, P)$ как функций $t$ и начальных значений (5.3). Эти последние нужно выбрать так, чтобы удовлетворялись условия (5.4) и уравнения, полученные дифференцированием (5.4) по $t$.

Эти математические модели солнечной системы и твердого тела математически ясны и физически удовлетворительны. На их основе были сделаны многочисленные удовлетворительные физические предсказания: Однако мы можем спросить: какова самая общая модель системы частиц с постоянными массами, допускаемая ньютоновой динамикой?

Пытаясь ответить на этот вопрос, ограничимся рассмотрением системы $P$ частиц. Система замкнута или изолирована в том смысле слова, что все силы вызваны только взаимодействием этих частиц (и нет никаких внешних воздействий). Частицы системы свободны в том смысле слова, что не имеется никакой жесткой связи между ними. Мы записываем $3 \mathrm{P}$ уравнений движения в виде (5.1), имея в виду, что силы ( $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ ) зависят только от мгновенного положения системы. Для простоты предположим, что они зависят только от положений и скоростей частиц, так что силы – функции $6 P$ величин
\[
x_{j}, y_{j}, z_{j}, \frac{d x_{j}}{d t}, \frac{d y_{j}}{d l}, \frac{d z_{j}}{d} \quad(j=1,2, \ldots, P) .
\]

Спрашивается: какие функции допустимы?
Частично ответ на әтот вопрос дает третий закон ${ }^{1}$ ) Ньютона. Этот закон ограничивает возможные действующие силы, которыми действуют друг на друга две частицы, $A$ и $B$, требованием, чтобы силы были направлены по прямой $A B$ в противоположных направлениях и имели одну и ту же величину. Это эквивалентно утверждению,

что ( $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ ) имеют вид, определенный уравнениями (5.5) и (5.6), но это не дает никакой информации о природе коәффициентов $A_{i j}$, кроме условия их симметрии $A_{i j}=A_{j i}$; они могли бы быть произвольными функциями шеременных (5.7). Более полный ответ на этот вопрос дает следующая аксиома однородности и изотропности пространства:

совокупность уравнений, определяющая движение системы, имеет одну и ту же форму для всех координатных систем $(x, y, z)$, полученных одна из другой переносом и вращением осей.

Чтобы пояснить это утверждение, заметим, что (4.1) определяет систему прямоугольных декартовых координат только в пределах ортогональных преобразований (cp. §9). Приведенная выше аксиома требует инвариантности уравнений движения относительно таких ортогональных преобразований, при условии, что это – собственные преобразования (т. е. группа преобразований не включает отражений). Инвариантность относительно переноса начала координат означает однородность пространства, а инвариантность относительно вращения его изотропность. ‘Инвариантность по отношению к отражению относительно плоскости (несобственное преобразование) овначала бы эквивалентность винтов с правой и левой резьбой.

Чтобы узнать, каков самый общий тип системы сил, удовлетворяющей приведенной аксиоме, заметим, что рассматриваемое преобразование точно соответствует перемещению твердого тела. Таким образом, аксиома выполняется, если система сил «жестко связана» с меновенной конфигурацией частиц. Чтобы увидеть, что это означает, рассмотрим систему четырех частиц, например, на рис. 1 .

Пусть $A, B, C, D$ – положения частиц в момент времени $t$, а скорости их – четыре вектора, обозначенные через $v$. Мы должны определить четыре вектора, обозначенные через $\boldsymbol{F}$, т. е. силы, действующие на частицы. Аксиома требует, чтобы эти силы можно было определить, зная тетраэдр $A B C D$ и четыре вектора $v$, жестко связанные с этим тетраэдром. При этом зависимость должна быть такой, что если эти определяющие элементы все вместе жестко перемещаются в пространстве, то силы $\boldsymbol{F}$ также

жестко переносятся вместе с ними. Идея предельно проста; понятия әлементарной евклидовой геометрии заменяют формальные уравнения. Если мы отказываемся от третьего закона Ньютона, но принимаем аксиому однородности и изотропности, то допускаем любую
Рис. 1. Взаимодействие в ныютоновой динамике.

систему сил, построенную таким образом. Если потребовать также инвариантность по отношению к отражениям, то при отражении определяющих элементов относительно плоскости силы должны отражаться относительно этой же плоскости.

Третий закон Ньютона совместим с аксиомой однородности и изотропности, но он ограничивает силы взаимодействия между частицами: они должны бытть направлены по линиям, соединяющим частицы и, таким образом, закон не позволяет охватить электродинамические взаимодействия, кроме простого притяжения п отталкивания Кулона. Однако электродинамические взаимодействия можно истолковать релятивистски; в систематическом развитии ньютоновой динамики мы примем третий закон Ньютона, так как иначе мы не смогли бы доказать основные теоремы ‘об импульсе и моменте импульса (\$ 44).

Переходим теперь к релятивистской динамике (РД) системы. Требование, ттобы интервал между близкими событиями имел форму (4.2), ограничивает класс допустимых систем координат $(x, y, z, t$ ) теми системами, которые получаются из данной преобразованием Лоренца (§ 106). Как в НД мы требовали выполнения аксиомы однородности и изотропности пространства, так в РД формулируем аналогичную аксиому для пространства – времени.

Для замкнутой или изолированной системы частиц аксиома однородности и изотропности пространства-времени имеет следующую формулировку: уравнения, определяющие движение системы, должны быть инвариантны относительно собственного преобразования Лоренца $a^{1}$ ).

Преобразование Лоренца можно рассматривать как перенос и вращение в пространстве – времени, как преобразование твердого тела, «твердость» которого понимается в смысле интервала (4.2). Отсюда, точно так же как возможные ньютоновы системы сил можно рассмаРис. 2. Взаимодействие в релятивистской динамике. тривать с помощью жесткой конструкции в пространстве, так и возможные системы релятивистских сил можно обсуждать в смысле аналогичной жесткой конструкции в пространстве – времени. Однако на этом и кончается аналогия между НД и РД. В НД мы имеем в какое-нибудь (абсолютное) время $t$ конфигурацию частиц с приложенными к ним векторами скорости (например, система рис. 1). В РД мы имеем только множество мировых линий и нет очевидного пути для установления единственного соответствия между событиями на нескольких мировых линиях. Для того чтобы установить

соответствие между несколькими событиями и одним и тем же значением $t$, не существует никакого лоренцинвариантного метода.

Наиболее естественный путь установить соотношение между событиями на мировых линиях – выделить нулевую линию. Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц с постоянными собственными массами $m_{1}, m_{2}$. Пусть $W_{1}, W_{2}$ – их мировые линии (рис. 2). При рассмотрении вопроса удобно использовать координаты Минковского $x_{r}$ (индексы малых латинских букв принимают значения $1,2,3,4$ и предполагается, что по повторяющимся индексам ведется суммирование). Полагаем
\[
x=x_{1}, \quad y=x_{2}, \quad z=x_{3}, \quad \text { it }=x_{4},
\]

где $i=\sqrt{-1}$. Пусть $A$ с координатами $x_{r}$ – событие на мировой линии $W_{1}$. Проведем из $A$ как из вершины нулевой конус ${ }^{1}$ ) в прошлое, пусть он пересечет линию $W_{2}$ в точке $B$ с координатами $x_{r}^{\prime}$, тогда $B A$ – нулевая линия, и мы имеем
\[
\left(x_{r}-x_{r}^{\prime},\left(x_{r}-x_{r}^{\prime}\right)=0 .\right.
\]

Пусть (см. рис. 2 .
\[
\lambda_{r}=\frac{d x_{r}}{d s} \text { в точке } A, \quad \lambda_{r}^{\prime}=\frac{u x_{r}}{d s^{\prime}} \text { в точке } B,
\]

где $d s, d s^{\prime}$ – элементы собственного времени соответственно на $W_{1}, W_{2}$.

Две мировые линии и события $A, B$ на них доставляют нам следующие векторы:
\[
x_{r}-x_{r}^{\prime}, \lambda_{r}, \lambda_{r}^{\prime}, \frac{d \lambda_{r}}{d s}, \frac{d \lambda_{r}^{\prime}}{d s^{\prime}}, \ldots
\]

Уравнения вида
\[
\frac{d^{2} x_{r}}{d s^{2}}=X_{r}
\]

для мировые линии $W_{1}$, вместе с аналогичными уравнениями для $W_{2}$, представляют удобную формулировку проблемы двух тел в РД, ґри условии, что $X_{r}$ – вектор, построенный из векторов (5.11) и из инвариантов, образованных из них. Легко видеть, что это требование выполнено для
\[
X_{r}=\alpha\left(x_{r}-x_{r}^{\prime}\right)+\beta \lambda_{r}+\gamma \lambda_{r}^{\prime}+\delta \frac{d \lambda_{r}}{d s}+\varepsilon \frac{d \lambda_{r}^{\prime}}{d s^{\prime}},
\]

где коэффициенты – заданные функции инвариантов
\[
\left.\begin{array}{c}
w=\left(x_{n}-x_{n}^{\prime}\right) \lambda_{n}, \quad w^{\prime}=\left(x_{n}^{\prime}-x_{n}\right) \lambda_{n}^{\prime}, \quad \lambda_{n} \lambda_{n}^{\prime}, \\
W=\left(x_{n}-x_{n}^{\prime}\right) \frac{d \lambda_{n}}{d s}, \quad W^{\prime}=\left(x_{n}^{\prime}-x_{n}\right) \frac{d \lambda_{n}^{\prime}}{d s^{\prime}}, \\
\lambda_{n} \frac{d \lambda_{n}^{\prime}}{d s^{\prime}}, \quad \lambda_{n}^{\prime} \frac{d \lambda_{n}}{d s}, \frac{d \lambda_{n}}{d s} \frac{d \lambda_{n}^{\prime}}{d s^{\prime}} .
\end{array}\right\}
\]

Записывая уравнения для $W_{2}$, мы используем события $C, D$ (см. рис. 2) вместо событий $A, B$ и вносим соответствующие изменения в уравнения.
Сохранение массы $m_{1}$ обеспечено условием
\[
X_{r} \lambda_{r}=0
\]

или
\[
\boldsymbol{\alpha}-\beta+\gamma \lambda_{r} \lambda_{r}^{\prime}+\varepsilon \lambda_{r} \frac{d \lambda_{r}^{\prime}}{d s^{\prime}}=0
\]
(ср. с (4.11)); сохранение массы $m_{2}$ гарантировано аналогичным условием.

Хотя уравнения вида (5.12) удовлетворяют условию лоренц-ковариантности, они представляют проблему значительно более сложную, чем та, с которой мы встречаемся в НД. Эти уравнения появляются как дифференциальные уравнения, но так как они включают два события $A$ и $B$, то по своей природе это – разностные уравнения вследствие әффекта «запаздывания» имеющего

место для события $B$. Общепринятыми уравнениями движения для двух частиц, несущих электрические заряды $e_{1}, e_{2}$, являются уравнения вида (5.12); коэффициенты в уравнении (5.13) даны выражениями ${ }^{1}$ )
\[
\left.\begin{array}{l}
4 \pi c^{2} \alpha=\frac{e_{1} e_{2}}{w^{\prime 2}}\left(\frac{W^{\prime}-1}{w^{\prime}} \lambda_{n} \lambda_{n}^{\prime}-\lambda_{n} \frac{d \lambda_{n}^{\prime}}{d s^{\prime}}\right), \\
4 \pi c^{2} \gamma=-\frac{e_{1} e_{2} w}{w^{\prime 2}} \frac{W^{\prime}-1}{w^{\prime}}, \\
4 \pi c^{2} \varepsilon=\frac{e_{1} e_{2} w}{w^{\prime 2}} ;
\end{array}\right\}
\]

другие коэффициенты равны нулю.
Подведем итоги. Для одной частицы в заданном поле силы, как в ньютоновой, так и в релятивистской динамике, необходимо решить систему из трех дифференциалюных уравнений. Но для системы взаимодействующих частиц дифференциальные уравнения ньютоновой механики заменяются в теории относительности дифференциально-разностными уравнениями; эти уравнения представляют столь значительные математические трудности, что только некоторые іредельные случаи могут быть разрешены приближенными методами.2).