Рассмотрим $N+1$-мерное пространство $Q T$ и в нем лагранжеву или гамильтонову динамику. Вследствие соответствия, установленного в § 69 , безразлично, какую из этих двух динамик рассматривать и использовать при этом однородный лагранжиан $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$ или обычный лагранжиан $L(q, t, \dot{q}$ ) (§ 64 и 65), уравнение энергии $\Omega(x, y)=0$ или гамильтониан $H(q, t, p$ ) (§ 67 и 68).

Пусть $\Gamma$ – луч (или траектория), соединяющий точки $B^{*}$ и $B$. Определим двухточечную ${ }^{2}$ ) характеристическую, или алавную, функцию как лагранжево или гамильтоново действие (они равны) от точки $B^{*}$ до $B$ вдоль этого луча. Обозначим ее через $S\left(B^{*}, B\right)$. Это – функция двух точек в пространстве $Q T$. Она может не существовать для некоторого выбора двух точек, так же как может не существовать луч, соединяющий эти точки. Она может быть однозначной (две точки соединяют один луч) или многозначной (две точки соединяют несколько лучей). Но мы не будем сейчас касаться этих тонкостей. В случае многозначности будем выделять одно значение функции.

Характеристическая функция зависит от $2 N+2$ аргументов, именно, координат точек $B^{*}$ и $B$, скажем, $x_{r}^{*}$

и $x_{r}$. Напишем ее в виде
$S\left(B^{*}, B\right)=S\left(x^{*}, x\right)=S\left(x_{1}^{*}, \ldots, x_{N+1}^{*}, x_{1}, \ldots, x_{N+1}\right)=$
\[
=\int_{B^{*}}^{B} \Lambda\left(x, x^{\prime}\right) d u=\int_{j^{*}}^{B} y_{r} d x_{r},
\]

илін
\[
S\left(B^{*}, B\right)=\int_{\dot{E}^{*}}^{B} L(q, t, \dot{q}) d t=\int_{\dot{E}^{*}}^{B}\left(p_{\rho} d q_{\rho}-H d t\right) .
\]

Необходимо сделать несколько замечаний относительно характеристической функции:
I) Координатная система для точки $B^{*}$ не должна быть той же самой, что и для точки $B$. Может существовать область, где они частично перекрываются (ср. § 63). Даже если это не имеет места, мы можем для общности преобразовать координаты для точки $B^{*}$, а возможно, и для $B$, но произвести эти преобразования независимо друг от друга. Тогда существует различие между обозначениями $S\left(B^{*}, B\right)$ и $S\left(x^{*}, x\right)$, ибо первое указывает только на то, что $S$ – функция двух точек (число, определяемое этими двумя точками, не зависит от используемой при этом системы координат), в то время как второе предполагает определенную форму функциональной зависимости. Эта форма изменяется при преобразовании координат. Функция $S$ есть инвариант (в смысле тензорного исчисления) относительно независимых преобразований двух координатных систем.
II) Строго говоря, переход от (72.1) к (72.2) возможен при условии, что $t$ монотонно возрастает при движении от $B^{*}$ к $B$. Можно поэтому предпочесть более общую форму (72.1) в случае, когда мы хотим рассматривать систему, «движущуюся обратно во времени», или в случае (при некоторых приложениях общей теории), когда переменная $t$ соответствует не физическому понятию времени, а чему-то отличному от него.
III) Вообще говоря, не существует связи между $S\left(B^{*}, B\right)$ и $S\left(B, B^{*}\right)$, так как требуетея только положительная однородюость функции $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$. Но если мы репим, что точки $B^{*}$ и $F$ будут появлятъея в наших рас-

суждениях только в одном порядке, насколько это допускается определением (72.1) (может быть, в порядке возрастания $t$ ), то мы вольны определить функцию $S\left(B^{*}, B\right)$, как это потребуется; обычно удобно определить ее так, чтобы выполнялось условие
\[
S\left(B, B^{*}\right)=-S\left(B^{*}, B\right) .
\]
IV) Если точка $B$ совпадает с $B^{*}$, то по крайней мере одно значение функции $S\left(B^{*}, B\right)$ обращается в нуль. Но это условие не заключает в себе обязательно $S(x, x)=0$, потому что, возможно, для точек $B^{*}$ и $B$ используются различные координатные системы.

Принимая во внимание сказанное в пункте (I), целесообразно будет ввести различные обозначения для лаграняианов в точках $B^{*}$ и $B$, а также для соответствующих уравнений энергии:
\[
\Lambda^{*}\left(x^{*}, x^{*}\right), \Lambda\left(x, x^{\prime}\right), \Omega^{*}\left(x^{*} ; y^{*}\right)=0, \quad \Omega(x, y)=0 \text {. }
\]

Мы будем рассматривать $B^{*}$ как начальную точку, а $B$ как конечную.

Для того чтобы определить, как изменяетея $S\left(B^{*}, B\right)$ с изменением концевых точек, обратимся к выражению (68.2); отбрасывая входящий в него интеграл, так как мы имеем дело с лучом, получаем выражение
\[
\delta S=y_{r} \delta x_{r}-y_{r}^{*} \delta x_{r}^{*} .
\]

Если вариации $\delta x_{r}, \delta x_{r}^{*}$ произвольны и независимы ${ }^{1}$ ), то получаем систему
\[
\frac{\partial S}{\partial x_{r}}=y_{r}=\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{r}^{\prime}}, \quad \frac{\partial S}{\partial x_{r}^{*}}=-y_{r}^{*}=-\frac{\partial \Lambda^{*}}{\partial x_{r}^{*^{\prime}}} .
\]

Согласно уравнению энергии (72.4) функция $S\left(x^{*}, x\right)$ удовлетворяет следующим двум уравнениям в тастных $\qquad$

производных:
\[
\Omega\left(x, \frac{\partial S}{\partial x}\right)=0, \quad \Omega^{*}\left(x^{*},-\frac{\partial S}{\partial x^{*}}\right)=0 .
\]

Первое уравнение в более подробной записи пмеет вид
\[
\Omega\left(x_{1}, \ldots, x_{N+1}, \frac{\partial S}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial x_{N+1}}\right)=0 .
\]

Это – гамильтоновы уравнения в частных производных ; уравнение (72.8) называется уравнением Гамильтона Якоби ${ }^{1}$ ).

Если зафиксирован луч и точка $B$ на нем, а точка $B^{*}$ скользит по лучу, то значение $y_{r}$ (импульс – энергия в точке $B$ ) остается неизменным. Поэтому из первого уравнения системы (72.6) следует
\[
\frac{\partial^{2} S}{\partial x_{r} \partial x_{s}^{*}} \delta x_{s}^{*}=0,
\]

и поэтому характеристическая функция удовлетворяет $(N+1) \times(N+1)$ детерминантному уравнению
\[
\operatorname{det} \frac{\partial^{2} S}{\partial x_{r} \partial x_{s}^{*}}=0 .
\]

Переведем этот вывод на язык других обозначений, положив
\[
\left.\begin{array}{ll}
x_{\rho}=q_{\rho}, & x_{N+1}=t, \\
y_{\rho}=p_{\rho}, & y_{N+1}=-H_{.}
\end{array}\right\}
\]

Согласно (72.5) имеем
\[
\delta S=p_{\rho} \delta q_{\rho}-H \delta t-p_{\rho}^{*} \delta q_{\rho}^{*}+H^{*} \delta t^{*},
\]

а согласно (72.6)
\[
\left.\begin{array}{ll}
\frac{\partial S}{\partial q_{\rho}}=p_{\rho}, & \frac{\partial S}{\partial t}=-H(q, t, p), \\
\frac{\partial S}{\partial q_{\rho}^{*}}=-p_{\rho}^{*}, & \frac{\partial S}{\partial t^{*}}=H^{*}\left(q^{*}, t^{*}, p^{*}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Уравнение Гамильтона – Якоби немедленно получается в форме
\[
\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(q, t, \frac{\partial S}{\partial q}\right)=0 .
\]

Это есть несимметричная форма (координата $t$ играет особую роль) общего симметричного уравнения (72.8). В этой форме оно главным образом и употребляется.

В связи с двухточечной характеристической функцией $S\left(x^{*}, x\right)$ имела место некоторая путаница. Якоби казалось, что в уравнениях (72.7) требуется слишком много, именно, чтобы одна функция удовлетворяла двум дифференциальным уравнениям в частных производных. Для того чтобы выяснить этот вопрос, рассмотрим рассуждения, которые определяют функцию $S\left(x^{*}, x\right)$.

Мы вовсе не будем касаться практических вычислений, которые приводят к формуле для этой функции. В этом смысле очень немногие динамические проблемы «разрешимы». Поскольку рассматривается математическая структура динамики, то речь идет только об определении последовательности операций, которые должны иметь место. Поэтому в дальнейшем мы говорим о «решении» системы обыкновенных дифференциальных уравнений только в смысле такой «определенности» и «нахождения» характеристической функции.

Функция $S\left(x^{*}, x\right)$ выводится из уравнения энергии $\Omega(x, y)=0$ при помощи следующих операций [для простоты будем использовать только одну систему координат (для всех точек)]:
I) Выбираем точку $x_{r}^{*}$ и точку $x_{r}$.
II) Выбираем $y_{r}^{*}$, совместные с уравнением
\[
\Omega\left(x^{*}, y^{*}\right)=0 .
\]

III) Решаем обыкновенные дифференциальные уравнения
\[
\frac{d x_{r}}{d w}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}, \quad \frac{d y_{r}}{d w}=-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}}
\]

с начальными условиями $x_{r}=x_{r}^{*}, y_{r}=y_{r}^{*}$ при $w=0$; получаем таким образом луч $\Gamma$, проходящий через точку $x_{1}^{*}$.
IV) Придаем $y_{r}^{*}$ всевозможные значения, совместные с уравнением (72.15); получаем пучок всех лучей $\{\Gamma\}$, проходяцих через точку $x_{r}^{*}$.
V) Выбираем из этого пучка тот луч $\Gamma$, который проходит и через точку $x_{r}$, выбранную в пункте (I). Если такого луча не существует, то для выбранных точек не существует функции $S\left(x^{*}, x\right)$. Если же найдется такой луч, то полагают
\[
S\left(x^{*}, x\right)=\int_{x^{*}}^{x} y_{r} d x_{r},
\]

где интеграл берется по лучу Г.
Функция $S\left(x^{*}, x\right)$, построенная таким образом, удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных (72.7) (в которых $\Omega^{*}$ нужно заменить на $\Omega$, так как была введена только одна система координат).