Теорию § 74 и 75 можно приложить к пространству — времени с тем только изменением в знаке, которое указано в § 110 и обсуждалось в § 111. Существенные стадии изложения этой теории следующие.
Принимаем за основу уравнение энергии
\[
\Omega(x, y)=0 .
\]

Для свободной частицы оно имеет вид (111.5):
\[
2 \Omega=y_{r} y_{r}+m^{2} c^{2}=0 .
\]

Для заряженной частицы в электромагнитном поле имеем более сложное уравнение (115.10); для частицы в потенциальном поле (как в § 114) имеем уравнение
\[
2 \Omega=y_{\rho} y_{\rho}+\left(y_{4}-\frac{i V}{c}\right)^{2}+m^{2} c^{2}=0 .
\]

Траектории определяются каноническими уравнениями
\[
\frac{d x_{r}}{d w}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}, \quad \frac{d y_{r}}{d w}=-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}} .
\]

Выделяя множество траекторий, образующих подпространство $R$ пространства — времени, мы связываем с каждым событием в $R$ гамильтонов 4-вектор $y_{r}$, принадлежащий траектории, которая проходит через это событне. Этот 4-вектор $y_{r}$ можно найти из первой группы

уравнений (117.4), или, что эквивалентно, из уравнений
\[
y_{r}=-\frac{\partial \Lambda}{\partial x^{r}},
\]

где $\Lambda\left(x, x^{\prime}\right)$ — однородный лагранжиан, соответствующий уравнению энергии (117.1). Это множество траекторий образует когерентную систему, если
\[
\oint y_{r} d x_{r}=0
\]

для каждого приводимого контура в $R$. Одноточечная характеристическая функция в пространстве событий $Q T$ для когерентной системы определяется так:
\[
U(x)=-\int y_{r} d x_{r}
\]

где интеграл берется вдоль любой кривой в $R$, от того события, которое раз навсегда зафиксировано, и до события $x_{r}$, для которого и вычисляется функция $U$.

Выбирая подпространство $R$ односвязной 4-мерной областью в пространстве — времени и варьируя событие $x_{r}$, имеем уравнения (74.8) (в которых изменен только знак):
\[
y_{r}=-\frac{\partial U}{\partial x_{r}} .
\]

Функция $U$ удовлетворяет уравнению Гамильтона Якоби,
\[
\Omega\left(x,-\frac{\partial U}{\partial x}\right)=0,
\]

а волны, принадлежащие к когерентной системе, имеют уравнения
\[
U(x)=\text { const. }
\]

Отметим, что гамильтонов 4-вектор $y_{r}$ есть нормаль к 3-воліне в смысле пространства — времени.

Эт г волны являются волнами де Бройля в смысле геометрической механики.