Возвратимся к вопросу о числе уравнений движения, возникшему в конце § 68 .

Пусть дана функция энергии $\Omega(x, y)$, удовлетворяющая системе $2 N+2$ канонических уравнений:
\[
\frac{d x_{r}}{d w}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}, \quad \frac{d y_{r}}{d w}=-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}} .
\]

Умножив их на $d w / d x_{N+1}$, получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{d x_{\rho}}{d x_{N+1}}=\frac{\frac{\partial \Omega}{\partial y_{\rho}}}{\frac{\partial \Omega}{\partial y_{N+1}}}, \quad \frac{d y_{\rho}}{d x_{N+1}}=-\frac{\frac{\partial \Omega}{\partial x_{\rho}}}{\frac{\partial \Omega}{\partial y_{N+1}}}, \\
\frac{d y_{N+1}}{d x_{N+1}}=-\frac{\frac{\partial \Omega}{\partial x_{N+1}}}{\frac{\partial \Omega}{\partial y_{N+1}}} .
\end{array}
\]

Это – система $2 N+1$ уравнений; независимая переменная $x_{N+1}$ входит явно в $\Omega$.

Известно, что вдоль каждой траектории вышолняется условие
\[
\Omega(x, y)=c .
\]

Разрешая это уравнение относительно $y_{N+1}$, имеем
\[
y_{N+1}=-\omega\left(x_{1}, \ldots, x_{N+1}, y_{1}, \ldots, y_{N}, c\right) .
\]

Подставляя это значение в (92.2), получим систему $2 \mathrm{~N}$ уравнений, содержащую постоянную $c$. Если эти уравнения разрешены относительно $x_{1}, \ldots, x_{N}, y_{1}, \ldots, y_{N}$, то $y_{N+1}$ определяется формулой (92.5). Таким образом, систему канонических уравнений (92.1) можно свести к системе $2 N$ уравнений, но полученные уравнения (92.2) уже не будут каноническими.

Предположим теперь, что вместо заданной функции әнергии (которая приводит к естественной конгруэнции, заполняющей $Q T P H$ ) задана поверхность энергии уравнением
\[
\Omega(x, y,=0 .
\]

Траектории теперь проходят через точки этой поверхности. Все еще остаются справедливыми уравнения (92.1) (92.3), а также (92.4) и (92.5) при $c=0$. Однако сейчас мы интересуемся поверхностью, и уравнение этой поверхности можно взять в различных формах. В самом деле, форма функции $\Omega$ не задана раз навсегда; мы имеем право изменить ее так, что уравнение поверхности энергии примет вид
\[
\Omega(x, y)=y_{N+1}+\omega\left(x_{1}, \ldots, x_{N+1}, y_{1}, \ldots, y_{N}\right)=0 .
\]

Таким образом получим
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial y_{N+1}}=1,
\]

и уравнения (92.2) преобразуются к виду
\[
\frac{d x_{\rho}}{d x_{N+1}}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{\rho}}, \quad \frac{d y_{\rho}}{d x_{N+1}}=-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{\rho}} .
\]

Это – система $2 N$ уравнений. Если положить в основу динамики поверхность энергии в пространстве QTPH, то уравнения движения можно свести к системе $2 N$ уравнений с сохранением канонической формы, если при этом I) писать уравнение поверхности энергии в форме (92.7) и II) выбрать в качестве параметра $x_{N+1}$. Заметим, что параметр $x_{N+1}$ содержится теперь в $\Omega$, в то время как $w$ не входил явно в $\Omega$ в уравнениях (92.1).

Обычный переход от переменных $(x, y)$ к $(q, t, p, H)$ определяется формулами вида
\[
\left.\begin{array}{ll}
x_{\rho}=q_{\rho}, & x_{N+1}=t, \\
y_{\rho}=p_{\rho}, & y_{N+1}=-H .
\end{array}\right\}
\]

Однако вследствие симметрии формул при обозначениях $(x, y)$ нет необходимости настаивать именно на этом переходе. Мы вправе переставить индексы при $x_{r}$ (сделав такую же перестановку и у $y_{r}$ ). Таким образом, в уравнении (92.7) $y_{N+1}$ отнюдь не обязательно обозначает $-H$; он может означать $p_{1}$, и в этом случае параметром в уравнениях (92.9) является не $t$, а $q_{1}$. Никогда нельзя забывать многозначности обозначений $(x, y)$.

В дальнейшем мы будем предполагать, что задана функция энергии. Рассмотрим систему, которая обладает первым интегралом $F(x, y)$, т. е.
\[
\frac{d F}{d w}=[F, \Omega]=0
\]
(cp. с (89.15)), так что вдоль каждой траектории
\[
F(x, y)=\text { const. }
\]

Обсудим, как с помощью этого первого интеграла ${ }^{1}$ ) уменьшить число канонических уравнений с $2 N+2$ до $2 N$, сохраняя каноническую форму уравнений и специальный параметр $w$.

Пусть $G\left(x, y^{\prime}\right)$ – решение дифференциального уравнения в частных производных,
\[
F\left(x, \frac{\partial G}{\partial x}\right)=y_{N+1}^{\prime},
\]

удовлетворяющее условию
\[
\operatorname{det} \frac{\partial^{2} G}{\partial x_{r} \partial y_{s}^{\prime}}
eq 0 .
\]

Рассуждения аналогичны рассуждениям § 91 , в которых уравнение Гамильтона – Якоби (91.2) заменено уравнением (92.13), и можно спросить, есть ли смысл тратить время на рассмотрение (92.13), когда решение уравнения (91.2) дает решение задачи движения. Ответ заключается в том, что практические возможности получения такого решения в большой стешени зависят от сложности функции (соответственно $\Omega$ или $F$ ). Может случиться, что функция $F$ значительно проще, чем $\Omega$.

Решив уравнение (92.13), применим КП
\[
y_{r}=\frac{\partial G}{\partial x_{r}}, \quad x_{r}^{\prime}=\frac{\partial G}{\partial y_{r}^{\prime}}
\]

и уравнения движения преобразуются к следующему виду:
\[
\frac{\partial x_{r}^{\prime}}{d \bar{w}}=\frac{\partial \Omega^{\prime}}{\partial y_{r}^{\prime}}, \quad \frac{d y_{r}^{\prime}}{d w}=-\frac{\partial \Omega^{\prime}}{\partial x_{r}^{\prime}},
\]

где $\Omega^{\prime}$ – новая функция энергии
\[
\Omega^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=\Omega(x, y) .
\]

Имеем тогда
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \Omega^{\prime}}{\partial x_{N+1}^{\prime}}=-\frac{d y_{N+1}^{\prime}}{d w}=-\frac{d}{d w} & F\left(x, \frac{\partial G}{\partial x}\right)= \\
& =-\frac{d}{d w} F(x, y)=0,
\end{aligned}
\]

так что переменная $x_{N+1}^{\prime}$ не входит явно в $\Omega^{\prime}$ :
\[
\Omega^{\prime}=\Omega^{\prime}\left(x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{N}^{\prime}, y_{1}^{\prime}, \ldots, y_{N}^{\prime}, y_{N+1}^{\prime}\right) .
\]

Если теперь выделить из (92.16) $2 N$ уравнений
\[
\frac{d x_{\rho}^{\prime}}{d w}=\frac{\partial \Omega^{\prime}}{\partial y_{\rho}^{\prime}}, \quad \frac{d y_{\rho}^{\prime}}{d w}=-\frac{\partial \Omega^{\prime}}{\partial x_{\rho}^{\prime}},
\]

то получим систему $2 N$ канонических уравнений, что и требовалось; новая функция энергии содержит $y_{N+1}^{\prime}$ как постоянную.

Если ограничиться рассмотрением траектории на поверхности энергии $\Omega \rightleftharpoons 0$, то возможно понизить порядок системы еще на 2 . В новых координатах поверхность энергии имеет уравнение
\[
\Omega^{\prime}\left(x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{N}^{\prime}, y_{1}^{\prime}, \ldots, y_{N+1}\right)=0 ;
\]

разрешаем это уравнение относительно одного из $y^{\prime}$, например $y_{N}^{\prime}$, и продолжаем рассуждать как в случае (92.7), получим $2 N-2$ канонических уравнений, анало-

гичных системе (92.9). Таким образом, используя первый интеграл и уравнение поверхности энергии, можно уменьшить число уравнений системы до $2 N-2$.
Далее следуют некоторые примеры.
а) Уменьшение числа уравнений с помощью иенорируемой координаты или с помощью. интеграла энергии в случае консервативной системы. Как мы увидим, все эти рассуждения тривиальны, но они помогают объяснить метод. Предположим, что одна из координат, например $x_{N+1}$, не входит явно в $\Omega(x, y)$. Принимая во внимание все, что сказано выше о симметрии обозначений, можно утверждать, что либо I) система имеет игнорируемую координату (§ 46), либо II) система консервативна ( $t$ не входит явно в $H(q, t, p)$ ). Следующее рассуждение охватывает оба случая.
Итак, предполагаем, что
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial x_{N+1}}=0,
\]

а следовательно, имеем первый интеграл
\[
F(x, y)=y_{N+1}=\text { const. }
\]

Дифференциальное уравнение в частных производных (92.13) имеет очень простую форму:
\[
\frac{\partial G}{\partial x_{N+1}}=y_{N+1}^{\prime}
\]

решение его можно взять в виде
\[
G\left(x, y^{\prime}\right)=x_{r} y_{r}^{\prime} .
\]

Согласно (92.15) эта функция определяет тождественное преобразование
\[
y_{r}=y_{r}^{\prime}, \quad x_{r}^{\prime}=x_{r},
\]

и задача уменьшения числа уравнений системы до $2 N$ состоит просто в том, что из канонических уравнений нужно выбрать $2 N$ уравнений:
\[
\frac{d x_{\rho}}{d w}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{\rho}}, \quad \frac{d y_{\rho}}{d w}=-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{\rho}} .
\]

Для того чтобы уменьшить это число до $2 N-2$ на поверхности энергии, напишем уравнение поверхности в форме
\[
\Omega(x, y)=y_{N}+\omega\left(x_{1}, \ldots, x_{N}, y_{1}, \ldots, y_{N-1}, y_{N+1}\right)=0 .
\]

Тогда уравнения (92.27) дают, как и в случае (92.9), систему
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x_{1}}{d x_{N}}=\frac{\partial \omega}{\partial y_{1}}, \ldots, \frac{d x_{N-1}}{d x_{N}}=\frac{\partial \omega}{\partial y_{N-1}}, \\
\frac{d y_{1}}{d x_{N}}=-\frac{\partial \omega}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{d y_{N-1}}{d x_{N}}=-\frac{\partial \omega}{\partial x_{N-1}} .
\end{array}\right\}
\]

Перейдем теперь к обозначениям $q, t, p, H$, используя формулы перехода (92.10). Исходим из функции энергии
\[
\Omega(q, p,-H) ;
\]

по предположению, $t$ не входит явно в эту функцию. Имеем первый интеграл
\[
H=E
\]

и уравнения движения вида (92.27)
\[
\frac{d q_{\rho}}{d w}=\frac{\partial \Omega}{\partial p_{\rho}}, \quad \frac{d p_{\rho}}{d w}=-\frac{\partial \Omega}{\partial q_{\rho}} .
\]

Возьмем теперь поверхность энергии $\Omega=0$ и напишем ее уравнение в новой форме,
\[
\Omega=p_{N}+\omega\left(q_{1}, \ldots, q_{N}, p_{1}, \ldots, p_{N-1},-E\right)=0 ;
\]

вместо $H$ здесь подставлена постоянная $E$. Тогда имеем следующие уравнения движения, аналогичные (92.29):
\[
\begin{array}{l}
\frac{d q_{1}}{d q_{N}}=\frac{\partial \omega}{\partial p_{1}}, \ldots, \frac{d q_{N-1}}{d q_{N}}=\frac{\partial \omega}{\partial p_{N-1}}, \\
\frac{d p_{1}}{d q_{N}}=-\frac{\partial \omega}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{d p_{N-1}}{d q_{N}}=-\frac{\partial \omega}{\partial q_{N-1}} .
\end{array}
\]

Здесь $\omega$ содержит независимую переменную $q_{N}$. Таким обравом, для консервативной системы с помощью инте

грала энергии $H=E$ можно уменьшить ${ }^{1}$ ) число канонических уравнений до $2 N-2$.
в) Уменьшение числа уравнений с помощью интеграла, линейного относительно импульсов. Предположим, что система имеет первый интеграл
\[
y_{1}+y_{2}+y_{3}=\text { const. }
\]

Удобно несколько изменить план исследования, ввести производящую функцию $G\left(x^{\prime}, y\right)$ и получить КПं
\[
x_{r}=\frac{\partial G}{\partial y_{r}}, \quad y_{r}^{\prime}=\frac{\partial G}{\partial x_{r}^{\prime}} .
\]

Итак, ищем функцию $G$, которая удовлетворяла бы уравнению
\[
y_{1}+y_{2}+y_{3}=y_{1}^{\prime}=\frac{\partial G}{\partial x_{1}^{\prime}} .
\]

Таким решением может быть
\[
G=x_{1}^{\prime}\left(y+y_{2}+y_{3}\right)+x_{2}^{\prime} y_{2}+\ldots+x_{N+1}^{\prime} y_{N+1} ;
\]

эта функция удовлетворяет условию
\[
\operatorname{det} \frac{\partial^{2} G}{\partial x_{r}^{\prime} \partial y_{s} !}
eq 0,
\]

так что (92.36) дает КП $(x, y) \rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$. Так как $y_{1}^{\prime}-$ постоянная движения, то $\Omega^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ не содержит переменной $x_{1}^{\prime}$, следовательно, новые уравнения движения имеют вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d x_{2}^{\prime}}{d w} & =\frac{\partial \Omega^{\prime}}{\partial y_{2}^{\prime}}, \ldots, \frac{d x_{N+1}^{\prime}}{d w}=\frac{\partial \Omega^{\prime}}{\partial y_{N+1}^{\prime}}, \\
\frac{d y_{2}^{\prime}}{d w} & =-\frac{\partial \Omega^{\prime}}{\partial x_{2}^{\prime}}, \ldots, \frac{d y_{N+1}^{\prime}}{d w}=-\frac{\partial \Omega^{\prime}}{\partial x_{N+1}^{\prime}},
\end{array}\right\}
\]

т. е. они представляют собой систему $2 N$ уравнений. Интегралы приведенного выше типа встречаются в проблеме трех тел (§53); в этом случае мы имеем три интеграла. количества движения:
\[
\left.\begin{array}{l}
y_{1}+y_{4}+y_{7}=y_{1}^{\prime}, \\
y_{2}+y_{5}+y_{8}=y_{2}^{\prime}, \\
y_{3}+y_{6}+y_{9}=y_{3}^{\prime}
\end{array}\right\}
\]

здесь в правых частях стоят постоянные движения. Система имеет девять степеней свободы $(N=9)$. Выбирая производящую функцию в виде
\[
\begin{array}{c}
G\left(x^{\prime}, y\right)=x_{1}^{\prime}\left(y_{1}+y_{4}+y_{7}\right)+x_{2}^{\prime}\left(y_{2}+y_{5}+y_{8}\right)+ \\
+x_{3}^{\prime}\left(y_{3}+y_{6}+y_{9}\right)+x_{4}^{\prime} y_{4}+\ldots+x_{10}^{\prime} y_{10},
\end{array}
\]

исключаем $x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, x_{3}^{\prime}$ из преобразованной функции $\Omega$, в которую $y_{1}^{\prime}, y_{2}^{\prime}, y_{3}^{\prime}$ входят как постоянные. Вследствие этого число канонических уравнений, взятых в форме (92.1), сводится с 20 до $20-6=14$. Но если мы рассматриваем задачу в пространстве $Q P$ ( $\$ 96$ ), используя вместо $\Omega(x, y)$ функцию энергии $H(q, p)$, то при этом число уравнений уменьшается с 18 до $12^{1}$ ).

ү) Уменьшение числа уравнений с помощью интеграла площадей. Предположим, что
\[
F(x, y)=x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}=y_{1}^{\prime}
\]

является постоянной движения. Согласно (92.13) мы должны решить дифференциальное уравнение в тастных производных
\[
x_{1} \frac{\partial G}{\partial x_{2}}-x_{2} \frac{\partial G}{\partial x_{1}}=y_{1}^{\prime} .
\]

Легко проверить, что $G\left(x, y^{\prime}\right)$ есть решение:
\[
\begin{aligned}
G\left(x, y^{\prime}\right)=y_{1}^{\prime}\left[y _ { 2 } ^ { \prime } \left(x_{1}^{2}+\right.\right. & \left.\left.x_{2}^{2}\right)+\operatorname{arctg} \frac{x_{2}}{x_{1}}\right]+ \\
& +x_{3} y_{3}^{\prime}+\ldots+x_{N+1} y_{N+1}^{\prime} .
\end{aligned}
\]

$G\left(x, y^{\prime}\right)$ удовлетворяет детерминантному условию (92.14) и дает КПI
\[
\begin{array}{l}
y_{1}=\frac{\partial G}{\partial x_{1}}=2 y_{1}^{\prime} y_{2}^{\prime} x_{1}-\frac{y_{1}^{\prime} x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}, \\
y_{2}=\frac{\partial G}{\partial x_{2}}=2 y_{1}^{\prime} y_{2}^{\prime} x_{2}-\frac{y_{1}^{\prime} x_{1}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}, \\
y_{3}=\frac{\partial G}{\partial x_{3}}=y_{3}^{\prime}, \\
x_{1}^{\prime}=\frac{\partial G}{\partial y_{1}^{\prime}}=y_{2}^{\prime}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)+\operatorname{arctg} \frac{x_{2}}{x_{1}}, \\
x_{2}^{\prime}=\frac{\partial G}{\partial y_{2}^{\prime}}=y_{1}^{\prime}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right), \\
x_{3}^{\prime}=\frac{\partial G}{\partial y_{3}^{\prime}}=\dot{x_{3}}, \\
\end{array}
\]

Переменная $x_{1}^{\prime}$ не входит в новую функцию энергии. Производящую функцию ( 92.45 ) легко получить, используя полярные координаты $x_{1}=r \cos \vartheta, x_{2}=r \sin \vartheta$.