Возвратимся к вопросу о числе уравнений движения, возникшему в конце § 68 .

Пусть дана функция энергии $\mathrm{\Omega }(x,y)$, удовлетворяющая системе $2N+2$ канонических уравнений:
$$\frac{d{x}_r}{dw}=\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial y_r},\frac{d{y}_r}{dw}=-\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_r}.$$

Умножив их на $dw/d{x}_{N+1}$, получим
$$\begin{array}{c}\frac{d{x}_{\rho }}{d{x}_{N+1}}=\frac{\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial y_{\rho }}}{\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial y_{N+1}}},\frac{d{y}_{\rho }}{d{x}_{N+1}}=-\frac{\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_{\rho }}}{\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial y_{N+1}}},\\ \frac{d{y}_{N+1}}{d{x}_{N+1}}=-\frac{\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_{N+1}}}{\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial y_{N+1}}}.\end{array}$$

Это — система $2N+1$ уравнений; независимая переменная $x_{N+1}$ входит явно в $\mathrm{\Omega }$.

Известно, что вдоль каждой траектории вышолняется условие
$$\mathrm{\Omega }(x,y)=c.$$

Разрешая это уравнение относительно $y_{N+1}$, имеем
$$y_{N+1}=-\omega (x_1,\dots ,x_{N+1},y_1,\dots ,y_N,c).$$

Подставляя это значение в (92.2), получим систему $2\mathrm{N}$ уравнений, содержащую постоянную $c$. Если эти уравнения разрешены относительно $x_1,\dots ,x_N,y_1,\dots ,y_N$, то $y_{N+1}$ определяется формулой (92.5). Таким образом, систему канонических уравнений (92.1) можно свести к системе $2N$ уравнений, но полученные уравнения (92.2) уже не будут каноническими.

Предположим теперь, что вместо заданной функции әнергии (которая приводит к естественной конгруэнции, заполняющей $QTPH$ ) задана поверхность энергии уравнением
$$\mathrm{\Omega }(x,y,=0.$$

Траектории теперь проходят через точки этой поверхности. Все еще остаются справедливыми уравнения (92.1) (92.3), а также (92.4) и (92.5) при $c=0$. Однако сейчас мы интересуемся поверхностью, и уравнение этой поверхности можно взять в различных формах. В самом деле, форма функции $\mathrm{\Omega }$ не задана раз навсегда; мы имеем право изменить ее так, что уравнение поверхности энергии примет вид
$$\mathrm{\Omega }(x,y)=y_{N+1}+\omega (x_1,\dots ,x_{N+1},y_1,\dots ,y_N)=0.$$

Таким образом получим
$$\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial y_{N+1}}=1,$$

и уравнения (92.2) преобразуются к виду
$$\frac{d{x}_{\rho }}{d{x}_{N+1}}=\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial y_{\rho }},\frac{d{y}_{\rho }}{d{x}_{N+1}}=-\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_{\rho }}.$$

Это — система $2N$ уравнений. Если положить в основу динамики поверхность энергии в пространстве QTPH, то уравнения движения можно свести к системе $2N$ уравнений с сохранением канонической формы, если при этом I) писать уравнение поверхности энергии в форме (92.7) и II) выбрать в качестве параметра $x_{N+1}$. Заметим, что параметр $x_{N+1}$ содержится теперь в $\mathrm{\Omega }$, в то время как $w$ не входил явно в $\mathrm{\Omega }$ в уравнениях (92.1).

Обычный переход от переменных $(x,y)$ к $(q,t,p,H)$ определяется формулами вида
$$\begin{array}{ll}{x}_{\rho }=q_{\rho },& x_{N+1}=t,\\ y_{\rho }=p_{\rho },& y_{N+1}=-H.\end{array}\}$$

Однако вследствие симметрии формул при обозначениях $(x,y)$ нет необходимости настаивать именно на этом переходе. Мы вправе переставить индексы при $x_r$ (сделав такую же перестановку и у $y_r$ ). Таким образом, в уравнении (92.7) $y_{N+1}$ отнюдь не обязательно обозначает $-H$; он может означать $p_1$, и в этом случае параметром в уравнениях (92.9) является не $t$, а $q_1$. Никогда нельзя забывать многозначности обозначений $(x,y)$.

В дальнейшем мы будем предполагать, что задана функция энергии. Рассмотрим систему, которая обладает первым интегралом $F(x,y)$, т. е.
$$\frac{dF}{dw}=[F,\mathrm{\Omega }]=0$$
(cp. с (89.15)), так что вдоль каждой траектории
$$F(x,y)=\text{ const. }$$

Обсудим, как с помощью этого первого интеграла ${}^1$ ) уменьшить число канонических уравнений с $2N+2$ до $2N$, сохраняя каноническую форму уравнений и специальный параметр $w$.

Пусть $G(x,y^{\prime })$ — решение дифференциального уравнения в частных производных,
$$F(x,\frac{\partial G}{\partial x})=y_{N+1}^{\prime },$$

удовлетворяющее условию
$$\det \frac{{\partial }^{2}G}{\partial x_r\partial y_s^{\prime }}eq0.$$

Рассуждения аналогичны рассуждениям § 91 , в которых уравнение Гамильтона — Якоби (91.2) заменено уравнением (92.13), и можно спросить, есть ли смысл тратить время на рассмотрение (92.13), когда решение уравнения (91.2) дает решение задачи движения. Ответ заключается в том, что практические возможности получения такого решения в большой стешени зависят от сложности функции (соответственно $\mathrm{\Omega }$ или $F$ ). Может случиться, что функция $F$ значительно проще, чем $\mathrm{\Omega }$.

Решив уравнение (92.13), применим КП
$$y_r=\frac{\partial G}{\partial x_r},x_r^{\prime }=\frac{\partial G}{\partial y_r^{\prime }}$$

и уравнения движения преобразуются к следующему виду:
$$\frac{\partial x_r^{\prime }}{d\overline{w}}=\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}^{\prime }}{\partial y_r^{\prime }},\frac{d{y}_r^{\prime }}{dw}=-\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}^{\prime }}{\partial x_r^{\prime }},$$

где ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ — новая функция энергии
$${\mathrm{\Omega }}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })=\mathrm{\Omega }(x,y).$$

Имеем тогда
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}^{\prime }}{\partial x_{N+1}^{\prime }}=-\frac{d{y}_{N+1}^{\prime }}{dw}=-\frac{d}{dw}& F(x,\frac{\partial G}{\partial x})=\\ & =-\frac{d}{dw}F(x,y)=0,\end{array}$$

так что переменная $x_{N+1}^{\prime }$ не входит явно в ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ :
$${\mathrm{\Omega }}^{\prime }={\mathrm{\Omega }}^{\prime }(x_1^{\prime },\dots ,x_N^{\prime },y_1^{\prime },\dots ,y_N^{\prime },y_{N+1}^{\prime }).$$

Если теперь выделить из (92.16) $2N$ уравнений
$$\frac{d{x}_{\rho }^{\prime }}{dw}=\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}^{\prime }}{\partial y_{\rho }^{\prime }},\frac{d{y}_{\rho }^{\prime }}{dw}=-\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}^{\prime }}{\partial x_{\rho }^{\prime }},$$

то получим систему $2N$ канонических уравнений, что и требовалось; новая функция энергии содержит $y_{N+1}^{\prime }$ как постоянную.

Если ограничиться рассмотрением траектории на поверхности энергии $\mathrm{\Omega }\rightleftharpoons 0$, то возможно понизить порядок системы еще на 2 . В новых координатах поверхность энергии имеет уравнение
$${\mathrm{\Omega }}^{\prime }(x_1^{\prime },\dots ,x_N^{\prime },y_1^{\prime },\dots ,y_{N+1})=0;$$

разрешаем это уравнение относительно одного из $y^{\prime }$, например $y_N^{\prime }$, и продолжаем рассуждать как в случае (92.7), получим $2N-2$ канонических уравнений, анало-

гичных системе (92.9). Таким образом, используя первый интеграл и уравнение поверхности энергии, можно уменьшить число уравнений системы до $2N-2$.
Далее следуют некоторые примеры.
а) Уменьшение числа уравнений с помощью иенорируемой координаты или с помощью. интеграла энергии в случае консервативной системы. Как мы увидим, все эти рассуждения тривиальны, но они помогают объяснить метод. Предположим, что одна из координат, например $x_{N+1}$, не входит явно в $\mathrm{\Omega }(x,y)$. Принимая во внимание все, что сказано выше о симметрии обозначений, можно утверждать, что либо I) система имеет игнорируемую координату (§ 46), либо II) система консервативна ( $t$ не входит явно в $H(q,t,p)$ ). Следующее рассуждение охватывает оба случая.
Итак, предполагаем, что
$$\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_{N+1}}=0,$$

а следовательно, имеем первый интеграл
$$F(x,y)=y_{N+1}=\text{ const. }$$

Дифференциальное уравнение в частных производных (92.13) имеет очень простую форму:
$$\frac{\partial G}{\partial x_{N+1}}=y_{N+1}^{\prime }$$

решение его можно взять в виде
$$G(x,y^{\prime })=x_r{y}_r^{\prime }.$$

Согласно (92.15) эта функция определяет тождественное преобразование
$$y_r=y_r^{\prime },x_r^{\prime }=x_r,$$

и задача уменьшения числа уравнений системы до $2N$ состоит просто в том, что из канонических уравнений нужно выбрать $2N$ уравнений:
$$\frac{d{x}_{\rho }}{dw}=\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial y_{\rho }},\frac{d{y}_{\rho }}{dw}=-\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_{\rho }}.$$

Для того чтобы уменьшить это число до $2N-2$ на поверхности энергии, напишем уравнение поверхности в форме
$$\mathrm{\Omega }(x,y)=y_N+\omega (x_1,\dots ,x_N,y_1,\dots ,y_{N-1},y_{N+1})=0.$$

Тогда уравнения (92.27) дают, как и в случае (92.9), систему
$$\begin{array}{l}\frac{d{x}_1}{d{x}_N}=\frac{\partial \omega }{\partial y_1},\dots ,\frac{d{x}_{N-1}}{d{x}_N}=\frac{\partial \omega }{\partial y_{N-1}},\\ \frac{d{y}_1}{d{x}_N}=-\frac{\partial \omega }{\partial x_1},\dots ,\frac{d{y}_{N-1}}{d{x}_N}=-\frac{\partial \omega }{\partial x_{N-1}}.\end{array}\}$$

Перейдем теперь к обозначениям $q,t,p,H$, используя формулы перехода (92.10). Исходим из функции энергии
$$\mathrm{\Omega }(q,p,-H);$$

по предположению, $t$ не входит явно в эту функцию. Имеем первый интеграл
$$H=E$$

и уравнения движения вида (92.27)
$$\frac{d{q}_{\rho }}{dw}=\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial p_{\rho }},\frac{d{p}_{\rho }}{dw}=-\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial q_{\rho }}.$$

Возьмем теперь поверхность энергии $\mathrm{\Omega }=0$ и напишем ее уравнение в новой форме,
$$\mathrm{\Omega }=p_N+\omega (q_1,\dots ,q_N,p_1,\dots ,p_{N-1},-E)=0;$$

вместо $H$ здесь подставлена постоянная $E$. Тогда имеем следующие уравнения движения, аналогичные (92.29):
$$\begin{array}{l}\frac{d{q}_1}{d{q}_N}=\frac{\partial \omega }{\partial p_1},\dots ,\frac{d{q}_{N-1}}{d{q}_N}=\frac{\partial \omega }{\partial p_{N-1}},\\ \frac{d{p}_1}{d{q}_N}=-\frac{\partial \omega }{\partial q_1},\dots ,\frac{d{p}_{N-1}}{d{q}_N}=-\frac{\partial \omega }{\partial q_{N-1}}.\end{array}$$

Здесь $\omega$ содержит независимую переменную $q_N$. Таким обравом, для консервативной системы с помощью инте

грала энергии $H=E$ можно уменьшить ${}^1$ ) число канонических уравнений до $2N-2$.
в) Уменьшение числа уравнений с помощью интеграла, линейного относительно импульсов. Предположим, что система имеет первый интеграл
$$y_1+y_2+y_3=\text{ const. }$$

Удобно несколько изменить план исследования, ввести производящую функцию $G(x^{\prime },y)$ и получить КПं
$$x_r=\frac{\partial G}{\partial y_r},y_r^{\prime }=\frac{\partial G}{\partial x_r^{\prime }}.$$

Итак, ищем функцию $G$, которая удовлетворяла бы уравнению
$$y_1+y_2+y_3=y_1^{\prime }=\frac{\partial G}{\partial x_1^{\prime }}.$$

Таким решением может быть
$$G=x_1^{\prime }(y+y_2+y_3)+x_2^{\prime }{y}_2+\dots +x_{N+1}^{\prime }{y}_{N+1};$$

эта функция удовлетворяет условию
$$\det \frac{{\partial }^{2}G}{\partial x_r^{\prime }\partial y_s!}eq0,$$

так что (92.36) дает КП $(x,y)\to (x^{\prime },y^{\prime })$. Так как $y_1^{\prime }-$ постоянная движения, то ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ не содержит переменной $x_1^{\prime }$, следовательно, новые уравнения движения имеют вид
$$\begin{array}{rl}\frac{d{x}_2^{\prime }}{dw}& =\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}^{\prime }}{\partial y_2^{\prime }},\dots ,\frac{d{x}_{N+1}^{\prime }}{dw}=\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}^{\prime }}{\partial y_{N+1}^{\prime }},\\ \frac{d{y}_2^{\prime }}{dw}& =-\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}^{\prime }}{\partial x_2^{\prime }},\dots ,\frac{d{y}_{N+1}^{\prime }}{dw}=-\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}^{\prime }}{\partial x_{N+1}^{\prime }},\end{array}\}$$

т. е. они представляют собой систему $2N$ уравнений. Интегралы приведенного выше типа встречаются в проблеме трех тел (§53); в этом случае мы имеем три интеграла. количества движения:
$$\begin{array}{l}{y}_1+y_4+y_7=y_1^{\prime },\\ y_2+y_5+y_8=y_2^{\prime },\\ y_3+y_6+y_9=y_3^{\prime }\end{array}\}$$

здесь в правых частях стоят постоянные движения. Система имеет девять степеней свободы $(N=9)$. Выбирая производящую функцию в виде
$$\begin{array}{c}G(x^{\prime },y)=x_1^{\prime }(y_1+y_4+y_7)+x_2^{\prime }(y_2+y_5+y_8)+\\ +x_3^{\prime }(y_3+y_6+y_9)+x_4^{\prime }{y}_4+\dots +x_{10}^{\prime }{y}_{10},\end{array}$$

исключаем $x_1^{\prime },x_2^{\prime },x_3^{\prime }$ из преобразованной функции $\mathrm{\Omega }$, в которую $y_1^{\prime },y_2^{\prime },y_3^{\prime }$ входят как постоянные. Вследствие этого число канонических уравнений, взятых в форме (92.1), сводится с 20 до $20-6=14$. Но если мы рассматриваем задачу в пространстве $QP$ ( $\mathrm{\$}96$ ), используя вместо $\mathrm{\Omega }(x,y)$ функцию энергии $H(q,p)$, то при этом число уравнений уменьшается с 18 до ${12}^1$ ).

ү) Уменьшение числа уравнений с помощью интеграла площадей. Предположим, что
$$F(x,y)=x_1{y}_2-x_2{y}_1=y_1^{\prime }$$

является постоянной движения. Согласно (92.13) мы должны решить дифференциальное уравнение в тастных производных
$$x_1\frac{\partial G}{\partial x_2}-x_2\frac{\partial G}{\partial x_1}=y_1^{\prime }.$$

Легко проверить, что $G(x,y^{\prime })$ есть решение:
$$\begin{array}{rl}G(x,y^{\prime })=y_1^{\prime }[y_2^{\prime }(x_1^2+& x_2^2)+\mathrm{arctg}\frac{x_2}{x_1}]+\\ & +x_3{y}_3^{\prime }+\dots +x_{N+1}{y}_{N+1}^{\prime }.\end{array}$$

$G(x,y^{\prime })$ удовлетворяет детерминантному условию (92.14) и дает КПI
$$\begin{array}{l}{y}_1=\frac{\partial G}{\partial x_1}=2y_1^{\prime }{y}_2^{\prime }{x}_1-\frac{y_1^{\prime }{x}_2}{x_1^2+x_2^2},\\ y_2=\frac{\partial G}{\partial x_2}=2y_1^{\prime }{y}_2^{\prime }{x}_2-\frac{y_1^{\prime }{x}_1}{x_1^2+x_2^2},\\ y_3=\frac{\partial G}{\partial x_3}=y_3^{\prime },\\ x_1^{\prime }=\frac{\partial G}{\partial y_1^{\prime }}=y_2^{\prime }(x_1^2+x_2^2)+\mathrm{arctg}\frac{x_2}{x_1},\\ x_2^{\prime }=\frac{\partial G}{\partial y_2^{\prime }}=y_1^{\prime }(x_1^2+x_2^2),\\ x_3^{\prime }=\frac{\partial G}{\partial y_3^{\prime }}=\dot{x_3},\end{array}$$

Переменная $x_1^{\prime }$ не входит в новую функцию энергии. Производящую функцию ( 92.45 ) легко получить, используя полярные координаты $x_1=r\cos \vartheta ,x_2=r\sin \vartheta$.