Пусть на систему с кинетической и потенциальной энергиями вида (101.4) наложены связи
$$A_{\rho }{q}^{\rho }=0,$$

где $A_{\rho }$ — постоянные.
Если мы рассматриваем энергии в (101.4) как приближения, справедливые при малых значениях скоростей и координат, то (102.1) можно считать следствием любой связи, которая не зависит от времени; она может быть даже неголономной, так как в линейном приближении не существует никакого различия между голономными и неголономными связями.

Как и в случае (46.15), уравнения движения системы, на которую наложены связи, таковы:
$$a_{\rho \sigma }{\ddot{q}}_{\sigma }=-b_{\rho \sigma }{q}^{\sigma }+\vartheta A_{\rho },$$

где $\vartheta$ — неопределенный множитель. Для того чтобы исследовать движение, подставим
$$q^{\rho }={\alpha }^{\rho }{e}^{i\omega t}$$

в уравнения (102.1) и (102.2); исключая величины ${\alpha }^{\rho }$ и $\vartheta$, получим следующее детерминантное уравнение для круговой частоты $\omega$ :
$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{\rho \sigma }{\omega }^2-b_{\rho \sigma }& A_{\rho }\\ A_{\sigma }& 0\end{array}\right|=0.$$

Таков план практических действий. Но для того чтобы найти соотношение между частотами свободной системы и системы, подчиненной связям, лучше использовать нормальные координаты свободной системы, как в выражениях (101.18). Тогда, если обовначить ${\omega }^2$ через $\lambda$,

уравнение (102.4) примет вид
$$\mathrm{\Delta }(\lambda )=0,$$

где
$$\mathrm{\Delta }(\lambda )=-\left|\begin{array}{ccccc}\lambda -{\lambda }_1& 0& \cdots & & A_1\\ 0& \lambda -{\lambda }_2& \cdots & & A_2\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & \lambda -{\lambda }_N& A_N\\ A_1& A_2& & A_N& 0\end{array}\right|.$$

Числа $A_{\rho }$ — коэффициенты в уравнении связи (102.1), выраженном через нормальные. координаты. Разлагая в ряд, имеем
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }(\lambda )& =A_1^2(\lambda -{\lambda }_2)(\lambda -{\lambda }_3)\cdots (\lambda -{\lambda }_N)+\\ & +A_2^2(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_3)\cdots (\lambda -{\lambda }_N)+\\ & +A_3^2(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)\cdots (\lambda -{\lambda }_N)+\\ & \cdots \because \cdots \\ & +A_N^2(\lambda -{\lambda }_1(\lambda -{\lambda }_2\cdots \cdots (\lambda -{\lambda }_{N-1}).\end{array}\}$$

Здесь ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_N$ — квадраты круговых частот свободной системы.

Предположим, что свободная система невырождена; тогда простой перестановкой координат можно упорядочить $\lambda$ так, что
$${\lambda }_1<{\lambda }_2<\dots <{\lambda }_N.$$

Предположим, кроме того, что ни одна из величин $A_{\rho }$ в уравнении (102.7) не обращается в нуль. Тогда
$$\mathrm{\Delta }\left({\lambda }_N\right)>0,\mathrm{\Delta }\left({\lambda }_{N-1}\right)<0,\mathrm{\Delta }\left({\lambda }_{N-2}\right)>0,\dots$$

п поэтому $\mathrm{\Delta }(\lambda )$ имеет $N-1$ действительных корней, разделяющих числа ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_N$. При этих обстоятельствах (т. ө., можно сказать, в общем случае) ч а ст т ты системы, подчиненной связям, разделяют частоты свободной системы.

Для того чтобы сделать поправку на возможность обращения в нуль одного или более $A_{\rho }$, нужно ослабить

это утверждение, а именно, положить
$$v_1⩽v_1^{\prime }⩽v_2⩽v_2^{\prime }\dots ⩽v_{N-1}⩽v_{N-1}^{\prime }⩽v_N,$$

где $v$ означают частоты свободной системы, а $v^{\prime }-$ связанной. Вырождение может быть следствием введения связи; на геометрическом языке — эллипсоид допускает круговые сечения.
Рис. 48. Действие связи на вырожденную систему.
Эффект наложения связи на вырожденную систему лучше всего иллюстрировать примером. Возьмем $N=5$ и предположим
$${\lambda }_1<{\lambda }_2={\lambda }_3={\lambda }_4<{\lambda }_5,$$

так что в свободной системе имеет место тройное вырождение. Тогда уравнение (102.7) примет вид
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }(\lambda )=& A_1^2{(\lambda -{\lambda }_2)}^3(\lambda -{\lambda }_5)+\\ & +(A_2^2+A_3^2+A_4^2)(\lambda -{\lambda }_1){(\lambda -{\lambda }_2)}^2(\lambda -{\lambda }_5)+\\ & +A_5^2(\lambda -{\lambda }_1){(\lambda -{\lambda }_2)}^3.(102.1\end{array}$$

Предположим, что ни одна из величин $A_{\rho }$ не обращается в нуль, тогда кривая $\mathrm{\Delta }(\lambda )$ ведет себя так, как показано на рис. 48. Имеем, таким образом,
$$\mathrm{\Delta }\left({\lambda }_1\right)>0,\mathrm{\Delta }\left({\lambda }_2\right)=0,\mathrm{\Delta }\left({\lambda }_5\right)>0,$$

а вблизи $\lambda ={\lambda }_2$
$\mathrm{\Delta }(\lambda )\sim (A_2^2+A_3^2+A_4^2)({\lambda }_2-{\lambda }_1){(\lambda -{\lambda }_2)}^2({\lambda }_2-{\lambda }_5)<0$.

Система, подчиненная связям, имеет нормальные частоты $v_1^{\prime }<v_2=v_3^{\prime }<v_4^{\prime }$, как показано на рис. 48 (переход от ${\lambda }^{\prime }$ к $v^{\prime }$ определяется соотношением $4{\pi }^2{v}^{\prime 2}={\lambda }^{\prime }$ ). Тройное вырождение сводится к двойному.

Устойчивая система остается устойчивой при наложении связи, а неустойчивая может быть сделана устойчивой с цомощью связи.

Если система подчинена одной связи (как это было в рассмотренном случае), то можно исключить одну из координат и ввести $N-1$ новых нормальных координат. Такой ход рассуждений позволяет изучить действие дополнительных связей. В общем случае, когда нет никакого вырождения и связи не выбраны какимлибо специальным образом, мы имеем последовательные разделения в следующем виде:
$\begin{array}{lllllll}\text{ Никаких связей: }& v_1& v_2& v_3& \dots & v_{N-1}& v_N\end{array}$ Одна связь: $v_1^{\prime }{v}_2^{\prime }{v}_3^{\prime }\dots v_{N-1}^{\prime }$ Две связи: $v_1^{\prime \prime }{v}_2^{\prime \prime }{v}_3^{\prime \prime }\dots v_{N-2}^{\prime \prime }$
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
$N-2$ свлзи:
$N-1$ связи:
$$v_1^{(N-2)}{v}_1^{(N-1)}{v}_2^{(N-2)}\cdots$$

Все эти вопросы с геометрической точки зрения являются вопросами о длинах главных осей плоских сечений әллипсоида в многомерном евклидовом пространстве; если встать на эту точку зрения, то на некоторые из этих вопросов можно сравнительно легко ответить.