Пусть на систему с кинетической и потенциальной энергиями вида (101.4) наложены связи
\[
A_{\rho} q^{\rho}=0,
\]

где $A_{\rho}$ – постоянные.
Если мы рассматриваем энергии в (101.4) как приближения, справедливые при малых значениях скоростей и координат, то (102.1) можно считать следствием любой связи, которая не зависит от времени; она может быть даже неголономной, так как в линейном приближении не существует никакого различия между голономными и неголономными связями.

Как и в случае (46.15), уравнения движения системы, на которую наложены связи, таковы:
\[
a_{\rho \sigma} \ddot{q}_{\sigma}=-b_{\rho \sigma} q^{\sigma}+\vartheta A_{\rho},
\]

где $\vartheta$ – неопределенный множитель. Для того чтобы исследовать движение, подставим
\[
q^{\rho}=\alpha^{\rho} e^{i \omega t}
\]

в уравнения (102.1) и (102.2); исключая величины $\alpha^{\rho}$ и $\vartheta$, получим следующее детерминантное уравнение для круговой частоты $\omega$ :
\[
\left|\begin{array}{cc}
a_{\rho \sigma} \omega^{2}-b_{\rho \sigma} & A_{\rho} \\
A_{\sigma} & 0
\end{array}\right|=0 .
\]

Таков план практических действий. Но для того чтобы найти соотношение между частотами свободной системы и системы, подчиненной связям, лучше использовать нормальные координаты свободной системы, как в выражениях (101.18). Тогда, если обовначить $\omega^{2}$ через $\lambda$,

уравнение (102.4) примет вид
\[
\Delta(\lambda)=0,
\]

где
\[
\Delta(\lambda)=-\left|\begin{array}{ccccc}
\lambda-\lambda_{1} & 0 & \cdots & & A_{1} \\
0 & \lambda-\lambda_{2} & \cdots & & A_{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda-\lambda_{N} & A_{N} \\
A_{1} & A_{2} & & A_{N} & 0
\end{array}\right| .
\]

Числа $A_{\rho}$ – коэффициенты в уравнении связи (102.1), выраженном через нормальные. координаты. Разлагая в ряд, имеем
\[
\left.\begin{array}{rl}
\Delta(\lambda) & =A_{1}^{2}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)\left(\lambda-\lambda_{3}\right) \cdots\left(\lambda-\lambda_{N}\right)+ \\
& +A_{2}^{2}\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{3}\right) \cdots\left(\lambda-\lambda_{N}\right)+ \\
& +A_{3}^{2}\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right) \cdots\left(\lambda-\lambda_{N}\right)+ \\
& \cdots \because \cdots \\
& +A_{N}^{2}\left(\lambda-\lambda_{1}\left(\lambda-\lambda_{2} \cdots \cdots\left(\lambda-\lambda_{N-1}\right) .\right.\right.
\end{array}\right\}
\]

Здесь $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{N}$ – квадраты круговых частот свободной системы.

Предположим, что свободная система невырождена; тогда простой перестановкой координат можно упорядочить $\lambda$ так, что
\[
\lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots<\lambda_{N} .
\]

Предположим, кроме того, что ни одна из величин $A_{\rho}$ в уравнении (102.7) не обращается в нуль. Тогда
\[
\Delta\left(\lambda_{N}\right)>0, \Delta\left(\lambda_{N-1}\right)<0, \Delta\left(\lambda_{N-2}\right)>0, \ldots
\]

п поэтому $\Delta(\lambda)$ имеет $N-1$ действительных корней, разделяющих числа $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{N}$. При этих обстоятельствах (т. ө., можно сказать, в общем случае) ч а ст т ты системы, подчиненной связям, разделяют частоты свободной системы.

Для того чтобы сделать поправку на возможность обращения в нуль одного или более $A_{\rho}$, нужно ослабить

это утверждение, а именно, положить
\[
v_{1} \leqslant v_{1}^{\prime} \leqslant v_{2} \leqslant v_{2}^{\prime} \ldots \leqslant v_{N-1} \leqslant v_{N-1}^{\prime} \leqslant v_{N},
\]

где $v$ означают частоты свободной системы, а $v^{\prime}-$ связанной. Вырождение может быть следствием введения связи; на геометрическом языке – эллипсоид допускает круговые сечения.
Рис. 48. Действие связи на вырожденную систему.
Эффект наложения связи на вырожденную систему лучше всего иллюстрировать примером. Возьмем $N=5$ и предположим
\[
\lambda_{1}<\lambda_{2}=\lambda_{3}=\lambda_{4}<\lambda_{5},
\]

так что в свободной системе имеет место тройное вырождение. Тогда уравнение (102.7) примет вид
\[
\begin{aligned}
\Delta(\lambda)= & A_{1}^{2}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{3}\left(\lambda-\lambda_{5}\right)+ \\
& +\left(A_{2}^{2}+A_{3}^{2}+A_{4}^{2}\right)\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{2}\left(\lambda-\lambda_{5}\right)+ \\
& +A_{5}^{2}\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{3} .(102.1
\end{aligned}
\]

Предположим, что ни одна из величин $A_{\rho}$ не обращается в нуль, тогда кривая $\Delta(\lambda)$ ведет себя так, как показано на рис. 48. Имеем, таким образом,
\[
\Delta\left(\lambda_{1}\right)>0, \quad \Delta\left(\lambda_{2}\right)=0, \quad \Delta\left(\lambda_{5}\right)>0,
\]

а вблизи $\lambda=\lambda_{2}$
$\Delta(\lambda) \sim\left(A_{2}^{2}+A_{3}^{2}+A_{4}^{2}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{2}\left(\lambda_{2}-\lambda_{5}\right)<0$.

Система, подчиненная связям, имеет нормальные частоты $v_{1}^{\prime}<v_{2}=v_{3}^{\prime}<v_{4}^{\prime}$, как показано на рис. 48 (переход от $\lambda^{\prime}$ к $v^{\prime}$ определяется соотношением $4 \pi^{2} v^{\prime 2}=\lambda^{\prime}$ ). Тройное вырождение сводится к двойному.

Устойчивая система остается устойчивой при наложении связи, а неустойчивая может быть сделана устойчивой с цомощью связи.

Если система подчинена одной связи (как это было в рассмотренном случае), то можно исключить одну из координат и ввести $N-1$ новых нормальных координат. Такой ход рассуждений позволяет изучить действие дополнительных связей. В общем случае, когда нет никакого вырождения и связи не выбраны какимлибо специальным образом, мы имеем последовательные разделения в следующем виде:
$\begin{array}{lllllll}\text { Никаких связей: } & v_{1} & v_{2} & v_{3} & \ldots & v_{N-1} & v_{N}\end{array}$ Одна связь: $\quad v_{1}^{\prime} \quad v_{2}^{\prime} \quad v_{3}^{\prime} \quad \ldots v_{N-1}^{\prime}$ Две связи: $v_{1}^{\prime \prime} \quad v_{2}^{\prime \prime} \quad v_{3}^{\prime \prime} \ldots v_{N-2}^{\prime \prime}$
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
$N-2$ свлзи:
$N-1$ связи:
\[
v_{1}^{(N-2)} v_{1}^{(N-1)} v_{2}^{(N-2)} \cdots
\]

Все эти вопросы с геометрической точки зрения являются вопросами о длинах главных осей плоских сечений әллипсоида в многомерном евклидовом пространстве; если встать на эту точку зрения, то на некоторые из этих вопросов можно сравнительно легко ответить.