Пусть вращение вокруг точки $O$ переводит ортонормальный триэдр $(I, J, K)$ в $(i, j, k)$.
Рис. 5. Углы Эйлера Э, $\varphi, \psi$.
Разобьем это вращение на три (рис. 5). Во-первых,
вращение вокруг $\boldsymbol{K}$ такое, ттобы в новом положении плоскость $(I, K)$ содержала вектор $k$. Предположим, что это вращение на угол $\varphi$; оно дает преобразование
\[
(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{J}, \boldsymbol{K}) \rightarrow\left(\boldsymbol{I}_{1}, \boldsymbol{J}_{1}, \boldsymbol{K}_{1}\right)\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{I}_{1}=\boldsymbol{I} \cos \varphi+\boldsymbol{J} \sin \varphi, \\
\boldsymbol{J}_{1}=-\boldsymbol{I} \sin \varphi+\boldsymbol{J} \cos \varphi, \\
\boldsymbol{K}_{\mathbf{1}}=\boldsymbol{K} .
\end{array}\right.
\]
Во-вторых, вращение вокруг $J_{1}$ такое, чтобы совместить вектор $K_{1}$ с вектором $k$; пусть это будет вращение на угол $\vartheta$; оно дает преобразование:
\[
\left(\boldsymbol{I}_{1}, \boldsymbol{J}_{1}, \boldsymbol{K}_{1}\right) \rightarrow\left(\boldsymbol{I}_{2}, \boldsymbol{J}_{2}, \boldsymbol{k}\right)\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{I}_{2}=\boldsymbol{I} \cos \vartheta-\boldsymbol{K}_{1} \sin \vartheta \\
\boldsymbol{J}_{2}=\boldsymbol{J}_{1}, \\
k=\boldsymbol{I}_{1} \sin \vartheta+\boldsymbol{K}_{1} \cos \vartheta
\end{array}\right.
\]
Наконец, вращение вокруг $k$ такое, чтобы совместить вектор $I_{2}$ с вектором $i$, а вектор $J_{2}$ с $j$; пусть это будет вращение на угол $\psi$; это вращение дает преобразование
\[
\left(\boldsymbol{I}_{2}, \boldsymbol{J}_{2}, \boldsymbol{k}\right) \rightarrow(\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k})\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{i}=\boldsymbol{I}_{2} \cos \psi+\boldsymbol{J}_{2} \sin \psi, \\
\boldsymbol{j}=-\boldsymbol{I}_{2} \sin \psi+\boldsymbol{J}_{2} \cos \psi, \\
\boldsymbol{k}=\boldsymbol{k} .
\end{array}\right.
\]
Углы $(\vartheta, \varphi, \psi)$ называют углами Эйлера. Их значения определяют положение триэдра векторов $(i, j, k)$ относительно системы $(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{J}, \boldsymbol{K})$. Они могут иметь произвольные значения, но все положения $(i, j, k$ ) определяются следующими пределами изменения этих углов:
\[
\left.\begin{array}{l}
0 \leqslant \vartheta \leqslant \pi, \\
0 \leqslant \varphi<2 \pi, \\
0 \leqslant \psi<2 \pi .
\end{array}\right\}
\]
С помощью приведенных преобразований можно выразить $(i, j, k)$ как линейные функции $(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{J}, \boldsymbol{K})$ и отсюда получить матрицу скалярных произведений $\boldsymbol{M}$ вида (9.1) или матрицу направляющих косинусов вида (9.4). Эта матрица $\boldsymbol{M}$ компактно показана в следующей таблице, в которой для
краткости обозначено: $c=\cos , s=\sin$, а индексы $1,2,3$ относятся соответственно к $\vartheta, \varphi, \psi$ :
Мы имеем здесь иллюстрацию сложения вращений согласно формуле (9.13), ибо, транспонируя элементы в (11.1)-(11.3), можно получить матрицы $\boldsymbol{M}_{1}, \boldsymbol{M}_{2}, \boldsymbol{M}_{3}$ и непосредственно убедиться, что матрица $M$ (11.5) представима в виде
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{M} & =\boldsymbol{M}_{\mathbf{1}} \boldsymbol{M}_{2} \boldsymbol{M}_{3}= \\
& =\left(\begin{array}{ccc}
c_{2} & -s_{2} & 0 \\
s_{2} & c_{2} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
c_{1} & 0 & s_{1} \\
0 & 1 & 0 \\
-s_{1} & 0 & c_{1}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
c_{3} & -s_{3} & 0 \\
s_{3} & c_{3} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
\end{aligned}
\]
Сравнивая матрицу (11.5) с матрицей (10.9), легко получить параметры Эйлера, выраженные через углы Эйлера,
\[
\left.\begin{array}{l}
\lambda=\varepsilon \sin \frac{1}{2} \vartheta \sin \frac{1}{2}(\psi-\varphi), \\
\mu=\varepsilon \sin \frac{1}{2} \vartheta \cos \frac{1}{2}(\psi-\varphi), \\
u=\varepsilon \cos \frac{1}{2} \vartheta \sin \frac{1}{2}(\psi+\varphi), \\
\varrho=\varepsilon \cos \frac{1}{2} \vartheta \cos \frac{1}{2}(\psi+\varphi),
\end{array}\right\}
\]
где $\varepsilon= \pm 1$. Для определенности мы можем взять $\varepsilon=1$, определив тогда ( $\lambda, \mu, v, \varrho)$ через $(\vartheta, \psi, \varphi)$ единственным образом.
