Рассмотрим твердое тело, на которое не действуют никакие внешние силы. Согласно уравнению (44.4) его центр масс имеет постоянную скорость, а согласно (44.7) движение относительно центра масс удовлетворяет уравнению
$${\dot{\mathit{h}}}^{\ast }=0,$$

где $h^{\ast }$ — момент относительного импульса, взятый для центра масс. Относительно этого центра тело имеет три степени свободы, и трех скалярных уравнений, содержащихся в уравнении (55.1), достаточно для определения движения.

Если на тело действуют внешние силы, которые, однако, не имеют результирующего момента относительно центра масс, то движение относительно центра масс по-прежнему выражается уравнением (55.1). Этот случай встретится, когда твердое тело движется в однородном гравитационном поле; тогда центр масс движется по параболе, но сила тяжести не влияет на движение относительно центра масс.

Если твердое тело не свободно, а имеет неподвижную точку $O$, вокруг которой ово может свободно поворачи-

ваться, и если на тело не действуют никакие внешние силы, кроме реакции, вызванной этой связью, то, как в случае (44.5), имеем
$$\dot{\mathit{h}}=0\text{, }$$

где $h$ — момент импульса, взятый для неподвижной точки.

Математические задачи, выраженные уравнениями (55.1) и (55.2), тождественны, за исключением того факта, что в уравнениях (55.1) моменты инерции берутся для центра масс, а в уравнениях (55.2) — для неподвижной точки. В дальнейшем с помощью уравнения (55.2) мы будем рассматривать задачу о вращении тела вокруг закрепленной точки $O$; заметим, однако, что все рассуждения приложимы также к случаю движения вокруг центра масс в свободном движении.

Пусть ( $i,j,k)$ — главный (с ортами, взятыми вдоль главных осей инерции) ортонормальный триәдр, закрепленный в теле, и пусть $\omega$ — угловая скорость тела и триәдра. Тогда
$$\mathit{h}=A{\omega }_1\mathit{i}+B{\omega }_2\mathit{j}+C{\omega }_3\mathit{k},$$

где $A,B,C$ — главные моменты инерции для неподвижной точки $O$. Согласно уравнению (55.2), вектор $h$ неподвижен в пространстве, и его абсолютная величина $h$ постоянна. Следовательно,
$$A^2{\omega }_1^2+B^2{\omega }_2^2+C^2{\omega }_3^2=h^2.$$

Согласно уравнению (25.4), кинетическая энергия имеет вид
$$A{\omega }_1^2+B{\omega }_2^2+C{\omega }_3^2=2T,$$

и она постоянна, так как реакция связи не совершает работы.

Движение может быть очень наглядно описано методом Пуансо ${}^1$ ). Эллипсоид Пуансо, определяемый уравнением
$$A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2=2T,$$

неподвижен в теле и движение описывается следующим образом: эллипсоид катится по неизменяемой плоскости (неподвижной в пространстве), проведенной перпендикулярно к неподвижному вектору $h$ на расстоянии $2T/h$ от точки $O$. Вектор, проведенный из точки $O$ в точку касания, есть вектор угловой скорости $\omega$; кривые, вычерчиваемые этой точкой касания на эллипсоиде и на плоскости, называются соответственно полодия и герполодия.

Согласно уравнениям Эйлера (49.14) компоненты угловой скорости удовлетворяют уравнениям

Уравнения (55.4) и (55.5) являются интегралами этих уравнений. Полагая тело несимметричным ( $A,B$ и $C$ все различны) и выбирая триәдр $(i,j,k)$ так, что $A>B>C$, получим аналитическое решение проблемы следующим путем. Уравнения (55.4) и (55.5) нужно разрешить относительно ${\omega }_1$ и ${\omega }_3$ и подставить решения во второе уравнение (55.7). Таким образом получим дифференциальное уравнение для ${\omega }_2$, решением которого является эллиптическая функция. Нужно различать два случая в зависимости от того, какое из соотношений имеет место: $h^2<2BT$ или $h^2>2BT$.

Итак, решение, выраженное через эллиптические функции Якоби модуля $k$, таково ${}^1$ ):
для $h^2>2BT$ :

для $h^2<2BT$ :
$$\begin{array}{c}{\omega }_1=\alpha \mathrm{cn}p(t-t_0),{\omega }_2=\beta \mathrm{sn}p(t-t_0),\\ {\omega }_3=\gamma \mathrm{dn}p(t-t_0),\\ \beta =\sqrt{\frac{h^2-2CT}{B(B-C)}},p=\sqrt{\frac{(2AT-h^2)(B-C)}{ABC}},\\ k=\sqrt{B-C}\cdot \frac{h^2-2CT}{2AT-h^2}.\end{array}\}$$

В обоих случаях имеем
$$\alpha =\sqrt{\frac{h^2-2CT}{A(A-C)}},\gamma =-\sqrt{\frac{2AT-h^2}{C(A-C)}}.$$

Как только найдены эти компоненты угловой скорости, описание движения завершается введением углов Эйлера $\vartheta ,\phi ,\psi$ (§ 11), описывающих положение триәдра $(i,j,k)$ относительно неподвижного триэдра $(I,J,K)$. Выбирая $K$ совпадающим по направлению с вектором $h$, получим $\vartheta$ п $\psi$ из уравнений
$$\cos \vartheta =\frac{C{\omega }_3}{h},\mathrm{tg}\psi =-\frac{B{\omega }_2}{A{\omega }_1},$$

а $\phi$ найдем квадратурой из уравнения
$$\sin \vartheta \dot{\phi }={\omega }_2\sin \psi -{\omega }_1\cos \psi .$$

В этих вычислениях мы воспользовались последней строкой из (11.5) и (19.4).

Уравнения (55.7) имеют частные решения, в которых какая-либо одна компонента угловой скорости постоянна, а две другие обращаются в нуль. Эти решения соответствуют установившимся вращениям вокруг трех главных осей.

Чтобы исследовать устойчивость этих установившихся движений, заметим, что (55.4) и (55.5) можно также

выразить через компоненты $h$ по осям $(i,j,k)$ :
$$\begin{array}{c}{h}_1^2+h_2^2+h_3^2=h^2,\\ \frac{h_1^2}{A}+\frac{h_2^2}{B}+\frac{h_3^2}{C}=2T.\end{array}\}$$

Принимая ( $h_1,h_2,h_3$ ) за декартовы ортогональные координаты в пространстве представлений, мы видим, что установившиеся вращения соответствуют точкам $(h,0,0)$, $(0,h,0),(0,0,h)$. Изображающая точка движется по кривой, которая согласно уравнениям (55.13) является линией пересечения сферы и эллипсоида. Исследуя формы этих кривых, легко увидеть, что установившиеся вращения вокруг наибольшей и наименьшей осей инерции устойчивы, тогда как установившееся вращение вокруг промежуточной оси инеруии неустойчиво ${}^1$ ).

Если осью симметрии тела является главная ось инерции, так что $A=BeqC$, то движение значительно упрощается. Эллипсоид Пуансо становится эллишсоидом вращения, и мы опипем движение качением прямого кругового конуса, фиксированного в теле (подвижной полодии), по неподвижному в пространстве прямому круговому конусу (герполодии). Нужно различать случаи $A>C$ и $A<C$; в первом случае один конус находится вне другого, в последнем — конус полодии (или конус тела) содержит внутри себя конус герполодии (или пространственный конус) ${}^2$ ):