Главная > КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА (Дж. Л. СИНГ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Рассмотрим твердое тело, на которое не действуют никакие внешние силы. Согласно уравнению (44.4) его центр масс имеет постоянную скорость, а согласно (44.7) движение относительно центра масс удовлетворяет уравнению
h˙=0,

где h — момент относительного импульса, взятый для центра масс. Относительно этого центра тело имеет три степени свободы, и трех скалярных уравнений, содержащихся в уравнении (55.1), достаточно для определения движения.

Если на тело действуют внешние силы, которые, однако, не имеют результирующего момента относительно центра масс, то движение относительно центра масс по-прежнему выражается уравнением (55.1). Этот случай встретится, когда твердое тело движется в однородном гравитационном поле; тогда центр масс движется по параболе, но сила тяжести не влияет на движение относительно центра масс.

Если твердое тело не свободно, а имеет неподвижную точку O, вокруг которой ово может свободно поворачи-

ваться, и если на тело не действуют никакие внешние силы, кроме реакции, вызванной этой связью, то, как в случае (44.5), имеем
h˙=0

где h — момент импульса, взятый для неподвижной точки.

Математические задачи, выраженные уравнениями (55.1) и (55.2), тождественны, за исключением того факта, что в уравнениях (55.1) моменты инерции берутся для центра масс, а в уравнениях (55.2) — для неподвижной точки. В дальнейшем с помощью уравнения (55.2) мы будем рассматривать задачу о вращении тела вокруг закрепленной точки O; заметим, однако, что все рассуждения приложимы также к случаю движения вокруг центра масс в свободном движении.

Пусть ( i,j,k) — главный (с ортами, взятыми вдоль главных осей инерции) ортонормальный триәдр, закрепленный в теле, и пусть ω — угловая скорость тела и триәдра. Тогда
h=Aω1i+Bω2j+Cω3k,

где A,B,C — главные моменты инерции для неподвижной точки O. Согласно уравнению (55.2), вектор h неподвижен в пространстве, и его абсолютная величина h постоянна. Следовательно,
A2ω12+B2ω22+C2ω32=h2.

Согласно уравнению (25.4), кинетическая энергия имеет вид
Aω12+Bω22+Cω32=2T,

и она постоянна, так как реакция связи не совершает работы.

Движение может быть очень наглядно описано методом Пуансо 1 ). Эллипсоид Пуансо, определяемый уравнением
Ax2+By2+Cz2=2T,

неподвижен в теле и движение описывается следующим образом: эллипсоид катится по неизменяемой плоскости (неподвижной в пространстве), проведенной перпендикулярно к неподвижному вектору h на расстоянии 2T/h от точки O. Вектор, проведенный из точки O в точку касания, есть вектор угловой скорости ω; кривые, вычерчиваемые этой точкой касания на эллипсоиде и на плоскости, называются соответственно полодия и герполодия.

Согласно уравнениям Эйлера (49.14) компоненты угловой скорости удовлетворяют уравнениям

Уравнения (55.4) и (55.5) являются интегралами этих уравнений. Полагая тело несимметричным ( A,B и C все различны) и выбирая триәдр (i,j,k) так, что A>B>C, получим аналитическое решение проблемы следующим путем. Уравнения (55.4) и (55.5) нужно разрешить относительно ω1 и ω3 и подставить решения во второе уравнение (55.7). Таким образом получим дифференциальное уравнение для ω2, решением которого является эллиптическая функция. Нужно различать два случая в зависимости от того, какое из соотношений имеет место: h2<2BT или h2>2BT.

Итак, решение, выраженное через эллиптические функции Якоби модуля k, таково 1 ):
для h2>2BT :

для h2<2BT :
ω1=αcnp(tt0),ω2=βsnp(tt0),ω3=γdnp(tt0),β=h22CTB(BC),p=(2ATh2)(BC)ABC,k=BCh22CT2ATh2.}

В обоих случаях имеем
α=h22CTA(AC),γ=2ATh2C(AC).

Как только найдены эти компоненты угловой скорости, описание движения завершается введением углов Эйлера ϑ,φ,ψ (§ 11), описывающих положение триәдра (i,j,k) относительно неподвижного триэдра (I,J,K). Выбирая K совпадающим по направлению с вектором h, получим ϑ п ψ из уравнений
cosϑ=Cω3h,tgψ=Bω2Aω1,

а φ найдем квадратурой из уравнения
sinϑφ˙=ω2sinψω1cosψ.

В этих вычислениях мы воспользовались последней строкой из (11.5) и (19.4).

Уравнения (55.7) имеют частные решения, в которых какая-либо одна компонента угловой скорости постоянна, а две другие обращаются в нуль. Эти решения соответствуют установившимся вращениям вокруг трех главных осей.

Чтобы исследовать устойчивость этих установившихся движений, заметим, что (55.4) и (55.5) можно также

выразить через компоненты h по осям (i,j,k) :
h12+h22+h32=h2,h12A+h22B+h32C=2T.}

Принимая ( h1,h2,h3 ) за декартовы ортогональные координаты в пространстве представлений, мы видим, что установившиеся вращения соответствуют точкам (h,0,0), (0,h,0),(0,0,h). Изображающая точка движется по кривой, которая согласно уравнениям (55.13) является линией пересечения сферы и эллипсоида. Исследуя формы этих кривых, легко увидеть, что установившиеся вращения вокруг наибольшей и наименьшей осей инерции устойчивы, тогда как установившееся вращение вокруг промежуточной оси инеруии неустойчиво 1 ).

Если осью симметрии тела является главная ось инерции, так что A=BeqC, то движение значительно упрощается. Эллипсоид Пуансо становится эллишсоидом вращения, и мы опипем движение качением прямого кругового конуса, фиксированного в теле (подвижной полодии), по неподвижному в пространстве прямому круговому конусу (герполодии). Нужно различать случаи A>C и A<C; в первом случае один конус находится вне другого, в последнем — конус полодии (или конус тела) содержит внутри себя конус герполодии (или пространственный конус) 2 ):

1
Оглавление
email@scask.ru