Рассмотрим твердое тело, на которое не действуют никакие внешние силы. Согласно уравнению (44.4) его центр масс имеет постоянную скорость, а согласно (44.7) движение относительно центра масс удовлетворяет уравнению
\[
\dot{\boldsymbol{h}}^{*}=0,
\]

где $h^{*}$ — момент относительного импульса, взятый для центра масс. Относительно этого центра тело имеет три степени свободы, и трех скалярных уравнений, содержащихся в уравнении (55.1), достаточно для определения движения.

Если на тело действуют внешние силы, которые, однако, не имеют результирующего момента относительно центра масс, то движение относительно центра масс по-прежнему выражается уравнением (55.1). Этот случай встретится, когда твердое тело движется в однородном гравитационном поле; тогда центр масс движется по параболе, но сила тяжести не влияет на движение относительно центра масс.

Если твердое тело не свободно, а имеет неподвижную точку $O$, вокруг которой ово может свободно поворачи-

ваться, и если на тело не действуют никакие внешние силы, кроме реакции, вызванной этой связью, то, как в случае (44.5), имеем
\[
\dot{\boldsymbol{h}}=0 \text {, }
\]

где $h$ — момент импульса, взятый для неподвижной точки.

Математические задачи, выраженные уравнениями (55.1) и (55.2), тождественны, за исключением того факта, что в уравнениях (55.1) моменты инерции берутся для центра масс, а в уравнениях (55.2) — для неподвижной точки. В дальнейшем с помощью уравнения (55.2) мы будем рассматривать задачу о вращении тела вокруг закрепленной точки $O$; заметим, однако, что все рассуждения приложимы также к случаю движения вокруг центра масс в свободном движении.

Пусть ( $i, j, k)$ — главный (с ортами, взятыми вдоль главных осей инерции) ортонормальный триәдр, закрепленный в теле, и пусть $\omega$ — угловая скорость тела и триәдра. Тогда
\[
\boldsymbol{h}=A \omega_{1} \boldsymbol{i}+B \omega_{2} \boldsymbol{j}+C \omega_{3} \boldsymbol{k},
\]

где $A, B, C$ — главные моменты инерции для неподвижной точки $O$. Согласно уравнению (55.2), вектор $h$ неподвижен в пространстве, и его абсолютная величина $h$ постоянна. Следовательно,
\[
A^{2} \omega_{1}^{2}+B^{2} \omega_{2}^{2}+C^{2} \omega_{3}^{2}=h^{2} .
\]

Согласно уравнению (25.4), кинетическая энергия имеет вид
\[
A \omega_{1}^{2}+B \omega_{2}^{2}+C \omega_{3}^{2}=2 T,
\]

и она постоянна, так как реакция связи не совершает работы.

Движение может быть очень наглядно описано методом Пуансо $^{1}$ ). Эллипсоид Пуансо, определяемый уравнением
\[
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}=2 T,
\]

неподвижен в теле и движение описывается следующим образом: эллипсоид катится по неизменяемой плоскости (неподвижной в пространстве), проведенной перпендикулярно к неподвижному вектору $h$ на расстоянии $2 T / h$ от точки $O$. Вектор, проведенный из точки $O$ в точку касания, есть вектор угловой скорости $\omega$; кривые, вычерчиваемые этой точкой касания на эллипсоиде и на плоскости, называются соответственно полодия и герполодия.

Согласно уравнениям Эйлера (49.14) компоненты угловой скорости удовлетворяют уравнениям

Уравнения (55.4) и (55.5) являются интегралами этих уравнений. Полагая тело несимметричным ( $A, B$ и $C$ все различны) и выбирая триәдр $(i, j, k)$ так, что $A>B>C$, получим аналитическое решение проблемы следующим путем. Уравнения (55.4) и (55.5) нужно разрешить относительно $\omega_{1}$ и $\omega_{3}$ и подставить решения во второе уравнение (55.7). Таким образом получим дифференциальное уравнение для $\omega_{2}$, решением которого является эллиптическая функция. Нужно различать два случая в зависимости от того, какое из соотношений имеет место: $h^{2}<2 B T$ или $h^{2}>2 B T$.

Итак, решение, выраженное через эллиптические функции Якоби модуля $k$, таково ${ }^{1}$ ):
для $h^{2}>2 B T$ :

для $h^{2}<2 B T$ :
\[
\left.\begin{array}{c}
\omega_{1}=\alpha \operatorname{cn} p\left(t-t_{0}\right), \quad \omega_{2}=\beta \operatorname{sn} p\left(t-t_{0}\right), \\
\omega_{3}=\gamma \operatorname{dn} p\left(t-t_{0}\right), \\
\beta=\sqrt{\frac{h^{2}-2 C T}{B(B-C)}}, p=\sqrt{\frac{\left(2 A T-h^{2}\right)(B-C)}{A B C}}, \\
k=\sqrt{B-C} \cdot \frac{h^{2}-2 C T}{2 A T-h^{2}} .
\end{array}\right\}
\]

В обоих случаях имеем
\[
\alpha=\sqrt{\frac{h^{2}-2 C T}{A(A-C)}}, \quad \gamma=-\sqrt{\frac{2 A T-h^{2}}{C(A-C)}} .
\]

Как только найдены эти компоненты угловой скорости, описание движения завершается введением углов Эйлера $\vartheta, \varphi, \psi$ (§ 11), описывающих положение триәдра $(i, j, k)$ относительно неподвижного триэдра $(I, J, K)$. Выбирая $K$ совпадающим по направлению с вектором $h$, получим $\vartheta$ п $\psi$ из уравнений
\[
\cos \vartheta=\frac{C \omega_{3}}{h}, \quad \operatorname{tg} \psi=-\frac{B \omega_{2}}{A \omega_{1}},
\]

а $\varphi$ найдем квадратурой из уравнения
\[
\sin \vartheta \dot{\varphi}=\omega_{2} \sin \psi-\omega_{1} \cos \psi .
\]

В этих вычислениях мы воспользовались последней строкой из (11.5) и (19.4).

Уравнения (55.7) имеют частные решения, в которых какая-либо одна компонента угловой скорости постоянна, а две другие обращаются в нуль. Эти решения соответствуют установившимся вращениям вокруг трех главных осей.

Чтобы исследовать устойчивость этих установившихся движений, заметим, что (55.4) и (55.5) можно также

выразить через компоненты $h$ по осям $(i, j, k)$ :
\[
\left.\begin{array}{c}
h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+h_{3}^{2}=h^{2}, \\
\frac{h_{1}^{2}}{A}+\frac{h_{2}^{2}}{B}+\frac{h_{3}^{2}}{C}=2 T .
\end{array}\right\}
\]

Принимая ( $h_{1}, h_{2}, h_{3}$ ) за декартовы ортогональные координаты в пространстве представлений, мы видим, что установившиеся вращения соответствуют точкам $(h, 0,0)$, $(0, h, 0),(0,0, h)$. Изображающая точка движется по кривой, которая согласно уравнениям (55.13) является линией пересечения сферы и эллипсоида. Исследуя формы этих кривых, легко увидеть, что установившиеся вращения вокруг наибольшей и наименьшей осей инерции устойчивы, тогда как установившееся вращение вокруг промежуточной оси инеруии неустойчиво ${ }^{1}$ ).

Если осью симметрии тела является главная ось инерции, так что $A=B
eq C$, то движение значительно упрощается. Эллипсоид Пуансо становится эллишсоидом вращения, и мы опипем движение качением прямого кругового конуса, фиксированного в теле (подвижной полодии), по неподвижному в пространстве прямому круговому конусу (герполодии). Нужно различать случаи $A>C$ и $A<C$; в первом случае один конус находится вне другого, в последнем — конус полодии (или конус тела) содержит внутри себя конус герполодии (или пространственный конус) ${ }^{2}$ ):