Пусть $\Gamma$ какая-нибудь кривая в пространстве $Q T$, соединяющая точки $B^{*}$ и $B$. Мы определим гамильтоново действие вдоль кривой $\Gamma$ следующим интегралом:
\[
A_{H}(\Gamma)=\int y_{r} d x_{r}=\int\left(p_{\rho} d q_{\rho}-H d t\right) .
\]

Поле векторов $y_{r}$ вдоль кривой $\Gamma$ задано каким-нибудь образом, совместимым с уравнением энергии (67.2). Таким образом, гамильтоново действие зависит не только от одной кривой $\Gamma$, но также и от задания поля $y_{r}$ вдоль $\Gamma$.

Варьируем кривую $\Gamma$ (как на рис. $32 \S 65$ ) и в то же время проварьируем $y_{r}$ каким-либо образом, совместным с уравнением (67.2). Получаем следующее выражение для вариации гамильтонова действия:
\[
\begin{aligned}
\delta A_{H}=\int\left(\delta y_{r} d x_{r}\right. & \left.+y_{r} \delta d x_{r}\right)= \\
& =\left|y_{r} \delta x_{r}\right|+\int\left(\delta y_{r} d x_{r}-\delta x_{r} d y_{r}\right) .
\end{aligned}
\]

Так как $\Omega=0$ для кривой $\Gamma$ и для варьированной кривой, то имеөм
\[
\delta \Omega=\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}} \delta x_{r}+\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}} \delta y_{r}=0 .
\]

Если концы кривой закреплены, то уравнение (68.2) примет вид
\[
\delta A_{H}=\int\left(\delta y_{r} d x_{r}-\delta x_{r} d y_{r}\right) .
\]

Если принять во внимание условие (68.3), то кривая стационарного гамильтонова действия, т. е. кривая, удовлетворяющая уравнениям
\[
\delta \int y_{r} d x_{r}=0, \quad \Omega(x, y)=0,
\]

и имеющая закрепленные концевые точки, удовлетворяет также следующим уравнениям:
\[
d x_{r}=d w \frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}, \quad d y_{r}=-d w \frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}},
\]

где $d w$ — бесконечно малый множитель Ларанжа. Поэтому экстремаль удовлетворяет дифференциальным уравнениям
\[
\frac{d x_{r}}{d w}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}, \quad \frac{d y_{r}}{d w}=-\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}} .
\]

Назовем уравнения (68.5) второй формой принципа Гамильтона, а уравнения (68.7) — уравненияли движения в форме Гамильтона пли каноническими уравнениями.

Кривую с соответственными векторами $y_{r}$, удовлетворяющими этому принципу (или, что то же, этим дифференциальным уравнениям), назовем лучом или траекторией. Кривая в пространстве $Q T$ и соотнесенное ей векторное поле описываются уравнениями вида
\[
x_{r}=x_{r}(w), \quad y_{r}=y_{r}(w) .
\]

Эти функции определяются уравнениями (68.7), өсли заданы начальные значения переменных $x$ и $y$.

Параметр $w$ в уравнениях (68.7) есть спедиальный параметр в том смысле, что его нельзя изменить, если только задана функция $\Omega$. Так как элемент гамильтонова действия равен
\[
d A_{H}=y_{r} d x_{r}=y_{r} \frac{d x_{r}}{d w} d w=y_{r} \frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}} d w,
\]

то это соотношение и определяет $d w$. Но, конечно, некоторое соотношение может быть выражено различными $у р а в-$ нениями, и если мы перейдем от уравнения $\Omega=0$ к уравнению $\Omega^{*}=0$, и оба выражают одно и то же соотношение, то соответствующие параметры удовлетворяют условию
\[
\frac{d w^{*}}{d w}=\frac{d \Omega}{d \Omega^{*}} .
\]

Отметим, что уравнение $\Omega=$ const является прямым формальным следствием дифференциальных уравнений (68.7), ибо имеем
\[
\frac{d \Omega}{d w}=\frac{\partial \Omega}{\partial x_{r}} \frac{d x_{r}}{d w}+\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}} \frac{d y_{r}}{d w}=0 .
\]

Изложенная здесь теория имеет фундаментальное значение в классической динамике; выразим ее также в несимметричных обозначениях. Принцип Гамильтона (68.5)

имеет следующую формулировку ${ }^{1}$ ):
\[
\delta \int\left(p_{\rho} d q_{\rho}-H d t\right)=0, \quad H=H(q, t, p),
\]

если концы фиксированы в пространстве QT. Полная вариация этого интеграла выражается следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\delta A_{H}=\int\left(\delta p_{\rho} d q_{\rho}+p_{\rho} \delta d q_{\rho}-\delta H d t-H \delta d t\right)= \\
=\left|p_{\rho} \delta q_{\rho}-H \delta t\right|+ \\
+\int\left(\delta p_{\rho} d q_{\rho}+\delta q_{\rho} d p_{\rho}-\delta H d t+\delta t d H\right) .
\end{array}
\]

Но так как
\[
\delta H=\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}} \delta q_{\rho}+\frac{\partial H}{\partial t} \delta t+\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}} \delta p_{\rho},
\]

то вариацию можно преобразовать к виду
\[
\begin{aligned}
\delta A_{H} & =\left|p_{\rho} \delta q_{\rho}-H \delta t\right|+\int\left\{\delta p_{\rho}\left(d q_{\rho}-\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}} d t\right)-\right. \\
& \left.-\delta q_{\rho}\left(d p_{\rho}+\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}} d t\right)+\delta t\left(d H-\frac{\partial H}{\partial t} d t\right)\right\}
\end{aligned}
\]

Первый член справа обращается в нуль, если концы фиксированы, а на остальной части кривой $\delta q_{\rho}, \delta p_{\rho}, \delta t$ остаются произвольными. Отсюда вариационное уравнение (68.12) приводит к уравнениям движения в форме Гамильтона для лучей или траектории, именно, к уравнениям
\[
\dot{q}_{\rho}=\frac{\partial H}{\partial p_{\rho}}, \quad \dot{p}_{\rho}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\rho}},
\]

согласующимся с уравнениями (47.7). Это — канонические уравнения, так же как уравнения (68.7). Мы получаем $\qquad$

так же как следствие
\[
\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t} .
\]

Это означает, что $H$ есть постоянная величина вдоль луча или траектории, если $t$ не входит яено в функцию $H(q, t, p)$ (система консервативна, ср. с § 62).

Можно использовать термин $\Omega$-динамика, чтобы указывать, что теория основана на уравнениях (68.5), или термин $H$-динамика в случае, когда теория основана на уравнении (68.12). Это только различные способы выражения и мы объединим их под общим названием гамильтонова динамика.

Относительные преимущества и слабости этих двух аспектов гамильтоновой динамики находятся в тесной аналогии с относительнымп достоинствами и недостатками выражения уравнения поверхности в двух формах, $f(x, y, z)=0$ и $z=f(x, y)$; впрочем, для того чтобы улучшить аналогию, следовало бы рассматривать любое число переменных. $\Omega$-динамика кажется предпочтительнее по общим причинам, когда желательно поставить все $2 N+2$ переменных в равное положение. $H$-динамика во многих отношениях предпочтительнее с аналитической точки зрения. Таким образом, уравнения движения (68.16) представляют собой, очевидно, систему $2 N$ уравнений первого порядка, в то время как в $(68.7)$, очевидно, систему $2 N+2$ уравнений. Число уравнений последней системы можно уменьпить до $2 N+1$, разделив все уравнения на $d x_{N+1} / d w$, так что $x_{N+1}$ (т. е. время) становится независимой переменной; а уравнение энергии $\Omega(x, y)=0$ делает возможным дальнейшее уменьшение числа уравнений до $2 N$. Мы вернемся к этому вопросу в § 91 .

Сравнивая (68.7) и (68.16), видим, что в $H$-динамике специальным параметром $w$ является время $t$. В $\Omega$-динамике $w$ не имеет простого физического смысла, но если с помощью уравнения $\Omega(x, y)=0$ превратить функцию $\Omega+1$ в однородную функцию первой степени относительно $y_{i}$, так что будут иметь место уравнения
\[
y_{r}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}=y_{r} \frac{\partial}{\partial y_{r}}(\Omega+1)=\Omega+1=1,
\]

то из (68.9) следует, что $w$ есть гамильтоново действие $A_{H}$.

В своих оптических исследованиях Гамильтон использует эту операцию как стандартный прием. Однако в этой книге мы не будем прибегать $\mathrm{k}$ нему, потому что более удобным оказывается не подчинять форму функции $\Omega(x, y)$ никаким ограничениям.