Построение Гюйгенса. Определим волны постоянного действия (лагранжева или гамильтонова; в обоих случаях они одни и те же) для когерентной системы лучей или траекторий, введенной в § 74, следующим условием ${ }^{2}$ ):
\[
U(B)=\text { const. }
\]
Лучи пересекают волны, как показано на рис. 35 , на котором изображены волны $W^{*}, W$ с точками $B^{*}, B$ на них; кривая, соединяющая эти точки, и есть луч $\Gamma$. Действие вдоль этого луча равно действию вдоль любого другого пути, проведенного от $W^{*} \mathrm{\kappa} W$, и равно интегралу $\int y_{r} d x_{r}$, взятому по произвольной кривой в $R$, проведенной от $W^{*}$ к $W$; вектор $y_{r}$ принадлежит полю, определенному когерентной системой уравнений (74.3).
В развитой здесь теории не имеет смысла вопрос о том, ортогонально или неортогонально пересекаются лучи и поверхности. Мы не имеем римановой метрики в пространстве $Q T$, а понятие ортогональности кривой и подпространства неинвариантно относительно преобразований координат. Однако это возражение не относится к вектору импульса — энергии $y_{r}$, так как это – ковариантный
вектор (чтобы $y_{r} d x_{r}$ было инвариантом, нужно сделать $d x_{\text {, }}$ контравариантным). Вектор $y_{r}$ действительно ортогонален к поверхностям в том смысле, что выполняется соотношение
\[
y_{r} \delta x_{r}=0
\]
для каждого бесконечно малого смещения $\delta x_{r}$ вдоль „v. I. Этот вывод следует из определения (74.5), так как $U$ равно нулю при таких перемещениях.
Рис. 35. Лучи или траектории в $Q T$, пересекающие волны $W^{*}, W$.
Рис. 36. Построение Гюйгенса в пространстве $Q T$.
Волну $W$ можно получить из волны $W^{*}$ построением Гюйгенса (рис. 36 ). Из точки $B^{*}$ проводим лучи во всех направлениях в пространстве $Q T$ и определяем вдоль них величину действия следующим образом:
\[
A=U(W)-U\left(W^{*}\right),
\]
где $U(W)$ и $U\left(W^{*}\right)$ – значения $U$ на двух волнах. Таким образом, мы получим $N$-мерное пространство (назовем его $\left.V_{N}\right)$, уравнение которого имеет вид
\[
S\left(x^{*}, x\right)=A,
\]
где $S$ – двухточечная характеристическая функция. Пространство $V_{N}$, таким образом, само является волной,
а точка $B^{*}$ – ее источником. В формуле (75.4) величины $x_{r}^{*}$ фиксированы (координаты точки $B^{*}$ ), а величины $x-$ текущие координаты поверхности $V_{N}$. Покажем, что $V_{N}$ касается $W$ в точке $B$, в которой луч $\Gamma$, идущий из точки $B^{*}$, пересекает волну $W$.
Во-первых, точка $B$ должна лежать на $V_{N}$, потому что эта точка входит в класс всех точек, лежащих на расстоянии-действии $A$ от точки $B^{*}$.. Кроме того, если мы придаем точке $B$ некоторое бесконечно малое перемещение $\delta x_{r}$, переводящее ее в соседнее положение $B^{\prime}$ на волне $W$, то действие вдоль луча, соединяющего точки $B^{*}$ и $B^{\prime}$, превосходит $A$ на величину $y_{r} \delta x_{r}$ (cp. (72.5)). Эта разность обращается в нуль согласно условию (75.2). Таким образом, с точностью до членов первого порядка $B^{\prime}$ лежит на $V_{N}$, а это и доказывает, что волны $V_{N}$ и $W$ касаются в точке $B$. Ясно затем, что в пространстве $R$ когерентной системы $W$ есть огибающая семейства $N$-мерных пространств (75.4); при этом значение $A$ остается постоянным, а точка $B^{*}$ находится на поверхности начальной волны $W^{*}$. Так как эти $N$-пространства сами являются волнами, исходящими из источников на $W^{*}$, то имеем построение Гюйгенса.
Можно, конечно, рассматривать возникновение одной волны из другой, как если бы имели место бесконечно малые приращения (тем самым $A$ было бы бесконечно малым). Считая все величины конечными или бесконечно малыми, мы имеем контактное преобразование, которое устанавливает соответствие между точками и касательными элементами. в этих точках двух волновых поверхностей. Касательный элемент здесь означает совокупность бесконечно малых векторов $\delta x_{r}$, удовлетворяющих условию (75.2) для данных $y_{r}$.
