Ускорение а точки или частицы – это скорость изменения скорости,
\[
\boldsymbol{a}=\dot{\boldsymbol{v}}=\ddot{\boldsymbol{r}}=(\ddot{x}, \ddot{y}, \ddot{z}) .
\]

Разложение по векторам $\boldsymbol{i}$ и $\boldsymbol{j}$, т. е. по единичным векторам соответственно касательной к траектории и ее главной нормали, дает
\[
\boldsymbol{a}=\dot{v} \boldsymbol{i}+\frac{v^{2}}{\varrho} \boldsymbol{j}=v \frac{d v}{d s} \boldsymbol{i}+\frac{v^{2}}{\varrho} \boldsymbol{j},
\]

где $v$-абсолютная величина скорости и $\mathrm{Q}$ – радиус кривизны траектории.

Для криволинейных координат $x^{\ell}$ с элементом длины $d s^{2}=g_{\rho \sigma} d x^{\rho} d x^{\sigma}$ (cp. § 17) контравариантный вектор ускорения есть ${ }^{1}$ )
\[
a^{\rho}=\ddot{x^{\rho}}+\left\{\begin{array}{c}
\varrho \\
\mu
u
\end{array}\right\} \dot{x}^{\mu} \dot{x}^{
u},
\]

где символ Кристоффеля определяется следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{c}
\varrho \\
\mu
u
\end{array}\right\}=g^{\rho \sigma}[\mu
u, \sigma], 2[\mu
u, \sigma]= \\
=\frac{\partial g_{\mu \sigma}}{\partial x^{v}}+\frac{\partial g_{v \sigma}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial g_{\mu
u}}{\partial x^{\sigma}}, \quad g^{\rho \mu} g_{\sigma \mu}=\delta_{\sigma}^{\rho} .
\end{array}
\]

Здесь $\delta_{\sigma}^{\rho}$ – дельта-символ Кронекера $\left(\delta_{\sigma}^{\rho}=\left\{\begin{array}{l}1, \text { если } \varrho=\sigma \\ 0, \text { если } \varrho
eq \sigma\end{array}\right)\right.$. Обычно легче вычислить вектор ковариантного ускорения
\[
\dot{a}_{\rho}=\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{\rho}}-\frac{\partial T}{\partial x^{\rho}}, \quad T=\frac{1}{2} g_{\rho \sigma} \dot{x}^{\rho} \dot{x}^{\sigma} .
\]

Физическая компонента ${ }^{1}$ ) ускорения по направлению единичного вектора $\lambda^{\rho}$ есть
\[
a(\lambda)=a_{\rho} \lambda^{\rho}=a^{\rho} \lambda_{\rho} .
\]

В цилиндрических координатах имеем
\[
d s^{2}=d r^{2}+r^{2} d \varphi^{2}+d z^{2}
\]

и физические компоненты ускорения по координатным осям будут
\[
a_{r}=\ddot{r}-r \dot{\varphi}^{2}, \quad a_{\varphi}=\frac{1}{r} \frac{d}{d t}\left(r^{2} \dot{\varphi}\right), \quad a_{z}=\ddot{z} .
\]

В сферических полярных координатах $(r, \vartheta, \varphi)$ имеем
\[
d s^{2}=d r^{2}+r^{2} d \vartheta^{2}+r^{2} \sin ^{2} \vartheta d \varphi^{2}
\]

и физические компоненты ускорения по координатным линиям равны ${ }^{2}$ )
\[
\left.\begin{array}{l}
a_{r}=\ddot{r}-r \dot{\vartheta}^{2}-r \sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\varphi}^{2}, \\
a_{\vartheta}=\frac{1}{r} \frac{d}{d t}\left(r^{2} \dot{\vartheta}\right)-r \sin \vartheta \cos \vartheta \cdot \dot{\varphi}^{2}, \\
a_{\varphi}=\frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{d}{d t}\left(r^{2} \sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\varphi}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Кривая, уравнение которой $r^{\prime}=v(t)$, где $v(t)$ скорость движущейся точки, называется годографом движения. Для движения с постоянной скоростью годограф одна точка; для постоянного ускорения это – прямая линия; для движения, при котором $a=k r / r^{3}$ (ускорение обратно пропорционально квадрату расстояния) годограф – окружность ${ }^{3}$ ).